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        聯(lián)想思維在數(shù)學解題中的妙用

        2016-01-05 19:13:33齊琳麗
        甘肅教育 2015年24期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學教學解題

        齊琳麗

        【關(guān)鍵詞】 數(shù)學教學;聯(lián)想思維; 解題

        【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

        【文章編號】 1004—0463(2015)24—0120—01

        數(shù)學解題的過程其實質(zhì)就是聯(lián)想與題目條件、結(jié)論相關(guān)的內(nèi)容并建立關(guān)系的過程,難點就是聯(lián)想到與數(shù)學問題有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、解題思想、解題方法、解題技巧、解題規(guī)律等.因此,數(shù)學解題教學的任務之一,就是幫助學生如何聯(lián)想相關(guān)內(nèi)容、如何把聯(lián)想到的內(nèi)容與題目結(jié)論建立聯(lián)系,從而達到培養(yǎng)學生聯(lián)想思維的能力.下面,筆者結(jié)合自己的教學體會,舉例說明聯(lián)想思維在數(shù)學解題中的妙用.

        一、相似聯(lián)想

        相似聯(lián)想,就是根據(jù)問題條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及表形而聯(lián)想到應用相似知識點解決問題.

        例1 若a、b、c、d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求證-1≤ac+bd≤1.

        分析:由于已知條件a2+b2=1,c2+d2=1,與三角函數(shù)恒等式sin=1結(jié)構(gòu)特征相似,因此聯(lián)想到情形.設(shè)從而使本題得到解決.

        在解題中,對于形如a2+b2=u(u≥0)的情形,可以聯(lián)想sin2?琢+cos2?琢=1,對二次函數(shù)的問題可以聯(lián)想到二次方程或二次不等式等.

        二、接近聯(lián)想

        接近聯(lián)想,就是問題的意義或形式相近的一種聯(lián)想方法,即由問題或問題中的某一部分聯(lián)想到用與其相同或相近的知識去解決問題的思維方式.

        例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,證明:2y=x+z.

        分析:解此題一般是通過因式分解來證,但是如果注意觀察已知條件的特點,會發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程根的判別式相似,于是聯(lián)想到用一元二次方程的知識來解.

        當x-y≠0時,我們把等式(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0看作是關(guān)于t的一元二次方程(x-y)t2-(z-x)t+(y-z)=0有兩個等根的條件.觀察出這個方程的兩個等根為t1=t2=-1.

        ∴2y=x+z

        若x-y=0,易知x=y=z,顯然也有2y=x+z.

        在解題中,圓錐曲線上的點到焦點的距離問題就要聯(lián)想到圓錐曲線第二定義,關(guān)于曲線相交的問題就要聯(lián)想到解方程組的問題.

        三、對立聯(lián)想

        對立聯(lián)想,就是當問題不易直接求解時,聯(lián)想到其反面情形,就其反面進行分析探索,使問題得以解決.

        例3 若正實數(shù)a,b滿足ab=ba,且a<1,求證:a=b.

        分析本題如果由條件找結(jié)論或由結(jié)論找條件都難以下手,所以聯(lián)想結(jié)論的反面,假如a≠b,出現(xiàn)什么情形?

        若a≠b,則a>b或a

        (1)當a>b時,由1>a>b>0,利用冪函數(shù)y=xb的單調(diào)性,ab>bb利用指數(shù)函數(shù)y=bx的單調(diào)性bb>ba,故ab>ba,與已知ab=ba矛盾;

        (2)當a>b時,b>a>0,1>a,利用冪函數(shù)y=xa的單調(diào)性,aa>ba利用指數(shù)函數(shù)y=xa的單調(diào)性,aa>ab,故aa

        綜合(1)(2)知,a=b.

        對否定性、限定性、無窮性、存在性、肯定性、不等(相等)關(guān)系的問題,用對立聯(lián)想??色@得解題的思路.

        四、連鎖聯(lián)想

        連鎖聯(lián)想,就是由數(shù)學問題已知條件或結(jié)論中涉及的知識點,聯(lián)想其特有的性質(zhì),并將相關(guān)性質(zhì)適當推廣解決問題.

        例4 設(shè)f(x)的值.

        分析:觀察自變量的值,就能發(fā)現(xiàn):是等差數(shù)列,聯(lián)想到等差數(shù)列的性質(zhì)“與首末兩端等距離的項和相等”,于是又可聯(lián)想到f(x)、f(1-x)是否也有f(x)+f(1-x)為某一常數(shù)呢?

        每個數(shù)學概念都有其特定的規(guī)定,故具有特定的性質(zhì),因而,抓住題中各個概念,合理地充分聯(lián)想其特定的性質(zhì),常能獲取解題途徑.

        編輯:謝穎麗

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