□陳德前

識(shí)別幾何圖形“六要”

□陳德前

初學(xué)平面幾何，學(xué)會(huì)識(shí)別幾何圖形是一項(xiàng)基本功.許多初學(xué)幾何者往往對(duì)識(shí)別幾何圖形不夠重視，從而影響到整個(gè)平面幾何的學(xué)習(xí).那么，怎樣學(xué)會(huì)識(shí)別平面幾何圖形呢？

一、要全面識(shí)別幾何圖形

如圖1，從和的角度來(lái)看，兩條線段合起來(lái)就是整條線段，即有AC＝AB＋BC；從差的角度來(lái)看，AB或BC是兩條線段的差，從而有AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.

圖1

二、要從不同的角度識(shí)別幾何圖形

同一個(gè)圖形，從不同的角度來(lái)看，則會(huì)得到不同的結(jié)論，如圖2就可以有若干種不同的說(shuō)法.

圖2

例如，它表明：

1.直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；

2.點(diǎn)B在射線OA的反向延長(zhǎng)線上；

3.∠AOB是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，OA、OB為邊的一個(gè)平角；

4.A、O、B三點(diǎn)在一條直線上.

三、要把幾何圖形看“活”

如圖3，若把點(diǎn)Q看“活”，易知它扮演了不同的角色：

圖3

1.點(diǎn)Q在線段PR上，常稱為線段PR的內(nèi)分點(diǎn)（同樣稱P點(diǎn)或R點(diǎn)分別為線段QR和線段PQ的外分點(diǎn)）；

2.特殊情況下，當(dāng)PQ＝QR時(shí)，點(diǎn)Q是線段PR的中點(diǎn)；

3.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P或點(diǎn)R重合時(shí)，點(diǎn)Q又可以看作線段PR的端點(diǎn).

四、要按一定的順序識(shí)別幾何圖形

有些圖形比較復(fù)雜，學(xué)會(huì)按順序識(shí)別圖形，可以避免重復(fù)或遺漏.如圖4，直線l上有多少條線段？以A為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？圖中的三角形有幾個(gè)？

圖4

遇到這類(lèi)問(wèn)題，可按照從左到右的順序去識(shí)別：（1）以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有3條，以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有2條，以D點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有1條，故共有6條線段；（2）按逆時(shí)針?lè)较?，以射線AB為始邊的角有3個(gè)，以射線AC為始邊的角有2個(gè)，以射線AD為始邊的角有1個(gè)，這樣以A為頂點(diǎn)的角有6個(gè)；（3）以線段A為一邊的三角形有3個(gè)，以線段A為一邊的三角形有2個(gè)，以線段A為一邊的三角形有1個(gè)，這樣圖中的三角形有6個(gè).

如果按照從右到左的順序去識(shí)別，同樣可以得到上述結(jié)論，同學(xué)們不妨試一試.可見(jiàn)順序識(shí)圖法是解決幾何識(shí)圖問(wèn)題的有效方法之一同學(xué)們要切實(shí)掌握，靈活應(yīng)用.

五、要用準(zhǔn)確的幾何語(yǔ)言表示圖形

幾何語(yǔ)言與代數(shù)語(yǔ)言有所不同，必須在開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)就加以注意做到準(zhǔn)確無(wú)誤.除了聽(tīng)老師敘述外，同學(xué)們?cè)诳磿?shū)時(shí)也應(yīng)特別注意要弄清每一句術(shù)語(yǔ)的含義，并有意識(shí)地加以應(yīng)用.例如，圖5中的兩個(gè)圖形，第（1）個(gè)圖形應(yīng)敘述為“延長(zhǎng)線段AB到C”，而第（2）個(gè)圖形應(yīng)敘述為“延長(zhǎng)線段BA到C”或“反向延長(zhǎng)線段AB到C”，其區(qū)別就在于是向哪一個(gè)方向延長(zhǎng)的，延長(zhǎng)AB就是由A到B的方向延長(zhǎng)，而延長(zhǎng)BA則是由B到A的方向延長(zhǎng)，顯然，兩者是“背道而馳”的.再如，圖6的兩個(gè)圖形，第（1）個(gè)圖形應(yīng)敘述為“兩條線段AB與CD互相平分于點(diǎn)O”，第（2）個(gè)圖形應(yīng)敘述為“線段AB被線段CD平分于點(diǎn)O”.它們表面上相近，都有“平分”二字，但實(shí)質(zhì)上有很大的差別，前者是互相平分，即A平分CD，CD也平分AB；而后者是CD平分AB，但AB沒(méi)有平分CD.因此，老師經(jīng)常要求同學(xué)們要看清題目（包括圖形），在平面幾何中，就是要細(xì)細(xì)體會(huì)每一句話，每一個(gè)詞的含義，注意幾何語(yǔ)言表達(dá)上的微小差別.

圖6

六、要學(xué)會(huì)用幾何語(yǔ)言說(shuō)理

如圖7，“因?yàn)锳M＝MB，所以M是線段AB的中點(diǎn)”；反之，“因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以AM＝MB”.同學(xué)們要學(xué)會(huì)應(yīng)用這種形式來(lái)說(shuō)理.

圖7

圖8

例1如圖8，點(diǎn)A、B、E、C、D在同一直線上，且AC＝BD，E是BC的中點(diǎn)，那么點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)嗎？為什么？

分析：要說(shuō)明E是AD的中點(diǎn)（圖形位置），只要說(shuō)明AE＝ED（等量關(guān)系）即可.

解：點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)A、B、E、C、D在同一直線上，且AC＝BD，所以AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以BE＝CE.所以AB＋BE＝CD＋CE，即AE＝ED，所以E是AD的中點(diǎn).

例2如圖9，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝21°，求∠AOB的度數(shù).

圖9

°，則可列出方程求解.

我們要善于利用中點(diǎn)或角平分線的概念進(jìn)行圖形位置與度量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，進(jìn)而去解決有關(guān)問(wèn)題，這是學(xué)習(xí)幾何的基本功，每一個(gè)同學(xué)都應(yīng)該練好這個(gè)基本功，才能順利通過(guò)幾何入門(mén)關(guān).