□陳德前

識別幾何圖形“六要”

□陳德前

初學(xué)平面幾何，學(xué)會識別幾何圖形是一項基本功.許多初學(xué)幾何者往往對識別幾何圖形不夠重視，從而影響到整個平面幾何的學(xué)習(xí).那么，怎樣學(xué)會識別平面幾何圖形呢？

一、要全面識別幾何圖形

如圖1，從和的角度來看，兩條線段合起來就是整條線段，即有AC＝AB＋BC；從差的角度來看，AB或BC是兩條線段的差，從而有AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.

圖1

二、要從不同的角度識別幾何圖形

同一個圖形，從不同的角度來看，則會得到不同的結(jié)論，如圖2就可以有若干種不同的說法.

圖2

例如，它表明：

1.直線AB經(jīng)過點O；

2.點B在射線OA的反向延長線上；

3.∠AOB是以點O為頂點，OA、OB為邊的一個平角；

4.A、O、B三點在一條直線上.

三、要把幾何圖形看“活”

如圖3，若把點Q看“活”，易知它扮演了不同的角色：

圖3

1.點Q在線段PR上，常稱為線段PR的內(nèi)分點（同樣稱P點或R點分別為線段QR和線段PQ的外分點）；

2.特殊情況下，當PQ＝QR時，點Q是線段PR的中點；

3.當點Q與點P或點R重合時，點Q又可以看作線段PR的端點.

四、要按一定的順序識別幾何圖形

有些圖形比較復(fù)雜，學(xué)會按順序識別圖形，可以避免重復(fù)或遺漏.如圖4，直線l上有多少條線段？以A為頂點的角有幾個？圖中的三角形有幾個？

圖4

遇到這類問題，可按照從左到右的順序去識別：（1）以B點為左端點的線段有3條，以C點為左端點的線段有2條，以D點為左端點的線段有1條，故共有6條線段；（2）按逆時針方向，以射線AB為始邊的角有3個，以射線AC為始邊的角有2個，以射線AD為始邊的角有1個，這樣以A為頂點的角有6個；（3）以線段A為一邊的三角形有3個，以線段A為一邊的三角形有2個，以線段A為一邊的三角形有1個，這樣圖中的三角形有6個.

如果按照從右到左的順序去識別，同樣可以得到上述結(jié)論，同學(xué)們不妨試一試.可見順序識圖法是解決幾何識圖問題的有效方法之一同學(xué)們要切實掌握，靈活應(yīng)用.

五、要用準確的幾何語言表示圖形

幾何語言與代數(shù)語言有所不同，必須在開始學(xué)習(xí)時就加以注意做到準確無誤.除了聽老師敘述外，同學(xué)們在看書時也應(yīng)特別注意要弄清每一句術(shù)語的含義，并有意識地加以應(yīng)用.例如，圖5中的兩個圖形，第（1）個圖形應(yīng)敘述為“延長線段AB到C”，而第（2）個圖形應(yīng)敘述為“延長線段BA到C”或“反向延長線段AB到C”，其區(qū)別就在于是向哪一個方向延長的，延長AB就是由A到B的方向延長，而延長BA則是由B到A的方向延長，顯然，兩者是“背道而馳”的.再如，圖6的兩個圖形，第（1）個圖形應(yīng)敘述為“兩條線段AB與CD互相平分于點O”，第（2）個圖形應(yīng)敘述為“線段AB被線段CD平分于點O”.它們表面上相近，都有“平分”二字，但實質(zhì)上有很大的差別，前者是互相平分，即A平分CD，CD也平分AB；而后者是CD平分AB，但AB沒有平分CD.因此，老師經(jīng)常要求同學(xué)們要看清題目（包括圖形），在平面幾何中，就是要細細體會每一句話，每一個詞的含義，注意幾何語言表達上的微小差別.

圖6

六、要學(xué)會用幾何語言說理

如圖7，“因為AM＝MB，所以M是線段AB的中點”；反之，“因為M是線段AB的中點，所以AM＝MB”.同學(xué)們要學(xué)會應(yīng)用這種形式來說理.

圖7

圖8

例1如圖8，點A、B、E、C、D在同一直線上，且AC＝BD，E是BC的中點，那么點E是AD的中點嗎？為什么？

分析：要說明E是AD的中點（圖形位置），只要說明AE＝ED（等量關(guān)系）即可.

解：點E是AD的中點.理由如下：因為點A、B、E、C、D在同一直線上，且AC＝BD，所以AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD.又因為E是BC的中點，所以BE＝CE.所以AB＋BE＝CD＋CE，即AE＝ED，所以E是AD的中點.

例2如圖9，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝21°，求∠AOB的度數(shù).

圖9

°，則可列出方程求解.

我們要善于利用中點或角平分線的概念進行圖形位置與度量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，進而去解決有關(guān)問題，這是學(xué)習(xí)幾何的基本功，每一個同學(xué)都應(yīng)該練好這個基本功，才能順利通過幾何入門關(guān).