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        如何判斷相對(duì)面

        2015-12-22 08:19:50
        初中生天地 2015年34期

        如何判斷相對(duì)面

        □趙國(guó)瑞

        在學(xué)習(xí)《幾何圖形初步》一章時(shí),我們會(huì)遇到一類判斷正方體或其表面展開圖的相對(duì)面的問題.對(duì)于這類問題,很多同學(xué)不知從何下手,其實(shí)只要能抓住正方體或其表面展開圖的一些基本特征,解答此類問題并不困難.

        一、已知一個(gè)正方體的三種不同的擺法或從三個(gè)不同角度觀察到的圖形判斷相對(duì)面

        圖1

        如圖1,一個(gè)正方體的6個(gè)面上分別標(biāo)有字母A、B、C、a、b、c,其中A的對(duì)面是a,B的對(duì)面是b,C的對(duì)面是c.觀察圖1可知,與A相鄰的4個(gè)面是:B、b、C、c,與B相鄰的4個(gè)面是:A、a、C、c,與a相鄰的4個(gè)面是:B、b、C、c.

        思考1:與A、a相鄰的4個(gè)面都是B、b、C、c,而A、a是一對(duì)相對(duì)面據(jù)此你有什么發(fā)現(xiàn)?

        結(jié)論1:與某4個(gè)面都相鄰的兩個(gè)面是一對(duì)相對(duì)面.

        思考2:與A相鄰的4個(gè)面是B、b、C、c,與B相鄰的4個(gè)面是:A a、C、c,因此與A、B都相鄰的面是C c,而C、c是一對(duì)相對(duì)面,據(jù)此你又有什么發(fā)現(xiàn)?

        結(jié)論2:與兩個(gè)相鄰面都相鄰的兩個(gè)面是一對(duì)相對(duì)面.

        由此我們可以得到判斷正方體相對(duì)面的兩種方法.

        例1有一個(gè)正方體,6個(gè)面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6,有三個(gè)人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示.如果記6的對(duì)面的數(shù)字為a,的對(duì)面的數(shù)字為b,那么a+b的值為()

        圖2

        A.3B.7

        C.8D.11

        解析:由圖2①和圖2②知與1相鄰的面是2、3、4、6,可知面5必然是面1的相對(duì)面.

        由圖2②和圖2③知,與3相鄰的面是1、2、4、5,可知面6必然是面3的相對(duì)面.

        剩下的2與4當(dāng)然是相對(duì)面了.于是a=3,b=4,a+b=7.選B.

        例2一個(gè)立方體木塊的6個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6.圖3是從不同的方向觀察這個(gè)立方體木塊看到的數(shù)字情況,數(shù)字1、數(shù)字5對(duì)面的數(shù)字和是________.

        圖3

        解析:由圖3①和圖3②可知與1、2都相鄰的面是4、5,由結(jié)論2可知4與5是一對(duì)相對(duì)面.由圖3②和圖3③可知與1、4都相鄰的面是2、6,由結(jié)論2可知2與6是一對(duì)相對(duì)面.剩下的1與3是相對(duì)面.于是數(shù)字1、數(shù)字5對(duì)面的數(shù)字和是7.

        二、已知一個(gè)正方體的表面展開圖判斷相對(duì)面

        正方體的表面展開圖一共有11種:

        1.“1-4-1”型.如圖4(1)-(6),有4個(gè)面處在同一行,其余兩個(gè)面分別位于這一行的兩側(cè).

        2.“2-3-1”型.如圖4(7)-(9),有3個(gè)面在一行,其余3個(gè)面分別位于兩側(cè).

        3.“2-2-2”型.如圖4(10),每行有兩個(gè)面,形成“階梯形”.

        4.“3-3”型.如圖4(11),共有兩行,每行3個(gè)面,且兩行之間只有一個(gè)面有公共邊.

        圖4

        觀察圖4我們發(fā)現(xiàn),正方體的相對(duì)面有兩種類型:一類是位于同一行(或同一列),中間間隔一個(gè)面的兩個(gè)面是相對(duì)面.如圖4(1)中的2個(gè)b位于同一行,中間間隔一個(gè)面c,它們是相對(duì)面,2個(gè)c也位于同一行,中間間隔一個(gè)面b,它們是相對(duì)面.再如圖4(7)中有2個(gè)b位于同一列,中間間隔一個(gè)面c,它們是相對(duì)面.

        另一類是位于同一行(或同一列)的兩側(cè),且與該行(或列)中的某一面有一條公共邊的兩個(gè)面是相對(duì)面.如圖4(5)中第1行的a與第2行中的c有一條公共邊,第3行的a與第2行中的b有一條公共邊,它們是相對(duì)面.再如圖4(10)中第2列的c與第3列的a有一條公共邊,第4列的c與第3列的b有一條公共邊,它們是相對(duì)面.

        說明:本文中的第幾行是指從上至下數(shù)第幾行,第幾列是指從左至右數(shù)第幾列.

        由此我們得到判斷正方體表面展開圖相對(duì)面的兩種方法:

        結(jié)論3:位于同一行(或同一列),中間間隔一個(gè)面的兩個(gè)面是相對(duì)面.

        結(jié)論4:位于同一行(或同一列)的兩側(cè),且與該行(或列)中的某一面有一條公共邊的兩個(gè)面是相對(duì)面.

        圖5

        例3如圖5是正方體的展開圖,則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字和最小的是().

        A.4B.6

        C.7D.8

        解析:2與6位于同一列,它們之間相隔一個(gè)面5,由結(jié)論3知,面與面6是相對(duì)面.面3與面4位于第2列的兩側(cè),且面3與第2列中的面5有一條公共邊,面4與第2列中的面2有一條公共邊,由結(jié)論4知,面與面4是相對(duì)面.剩下的面1與面是相對(duì)面.

        由于相對(duì)面上的數(shù)字和分別為2+6=8,3+4=7,1+5=6,因此最小的是6,答案選B.

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