高等數(shù)學(xué)幾種解題思維的探究

詹玉 ， 徐肖麗

(商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河南　商丘　476100)

摘要：思維的培養(yǎng)應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面，一題多解、一題多變是歸納思維、類比思維、發(fā)散思維、逆向思維在實際教學(xué)中的具體應(yīng)用和表現(xiàn)形式。通過高等數(shù)學(xué)的一些基本實例，具體闡述了培養(yǎng)學(xué)生思維的方法與途徑。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；解題思維；歸納思維；類比思維；發(fā)散思維；逆向思維

收稿日期：2014-09-22

作者簡介：詹玉(1964-)男，河南商丘人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)研究；徐肖麗(1966-)女，河南商丘人，副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)研究。

中圖分類號：G718.5

Exploration on Several Problem-solving Thinking of Advanced Mathematics

ZHANYu , XU Xiao-li

(Shangqiu Vocational and Technological College, Shangqiu476100,China)

Abstract:The thinking ability is useful in all aspects of math teaching. For example, the inductive thinking, analogical thinking, divergent thinking and reverse thinking can be applied and manifested in the conditions of one question with multi solutions or one question with multi variations. In this paper, certain methods of thinking ability will be described through some specific examples in advance mathematics.

Key words:Advanced Mathematics; problem-solving thinking; inductive thinking; analogical thinking; divergent thinking;reverse thinking

1　高等數(shù)學(xué)解題思維的研究現(xiàn)狀及意義

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往是上來就講某個數(shù)學(xué)題目的具體解法，不去講思維的過程，不去告訴學(xué)生老師到底是怎樣想的。難道老師就一下子找到正確的思考方法了？到底怎樣科學(xué)的思考問題？這是學(xué)好高等數(shù)學(xué)至關(guān)重要的問題，沒有一個好的思維習(xí)慣，不會辯證思維，不會科學(xué)地思考問題，是很難學(xué)好高等數(shù)學(xué)的。

在高等數(shù)學(xué)解題中，教師通常只會想到一種解法，這樣就具有很大的局限性，實際上一道題目如果從不同的角度去想，按照不同的思維方式，往往會有多種解法。對于同一題目采用不同解法與技巧，能夠使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，提高解題能力，加強運算技巧，還可以使我們對所學(xué)知識間的縱橫關(guān)系有所了解，同時還樂意從這些不同的解法中比較優(yōu)劣，從中找出更簡潔的解題途徑。

一題多解可以開闊解題思路，進而提高分析問題和解決問題能力。一題多變是指當條件減弱時結(jié)論還是不是成立？或者當條件適當加強時會有什么新的結(jié)論？培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性。

學(xué)校培養(yǎng)出來的學(xué)生如果缺少科學(xué)嚴謹?shù)乃枷牒蛷V闊的思維，是無法做出優(yōu)異的成績來的。教書育人教知識，更要教思想方法。高等數(shù)學(xué)中蘊涵的數(shù)學(xué)思想以及由數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)起來的思維能力和素養(yǎng),將會使學(xué)生終生受益。

歷史事實表明，創(chuàng)新能力是科技與社會發(fā)展的決定性力量。沒有創(chuàng)造思維的人，不可能開拓進?。粵]有創(chuàng)新精神的民族，難以實現(xiàn)繁榮和持續(xù)發(fā)展；沒有創(chuàng)新的時代，必將黯淡而平庸。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分重視歸納思維、類比思維、發(fā)散思維和逆向思維這四種解題思維能力的培養(yǎng)，對于提高學(xué)生解題能力和分析問題的能力，將起到至關(guān)重要的作用。

2　歸納思維探究

歸納思維是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理最基本的重要思維方法。歸納是在通過對具體事物的認真分析，總結(jié)出其中的一般規(guī)律性，是從特殊到一般的抽象化思維。

在高等數(shù)學(xué)中，許多重要結(jié)果的得出，都用到了歸納思維。例如，求某函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求出一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)，就可以找到規(guī)律。但有時還要求出四階、五階導(dǎo)數(shù)，然后才能歸納出n階導(dǎo)數(shù)的表達式。

[(x+2)-1]′=(-1)(x+2)-2，

[(x+2)-1]″=[(-1)(x+2)-2]′=(-1)(-2)(x+2)-3=(-1)2·2!·(x+2)-3

[(x+2)-1]?=[(-1)·2!·(x+2)-3]′=(-1)2·2!(-3)(x+2)-4=(-1)3·3!·(x+2)-4

……

所以[(x+2)-1](n)=(-1)n·n!·(x+2)-(n+1)

同理[(x-2)-1](n)=(-1)n·n!·(x-2)-(n+1)

3　類比思維探究

新知識與舊知識總是有聯(lián)系的，新知識建立在舊知識上，從思想方法上，從形式內(nèi)容上，新舊知識都有許多類似之處，即二者具有共性。關(guān)聯(lián)新舊知識是一項重要的教學(xué)內(nèi)容，不僅使學(xué)生能認識問題的實質(zhì)，而且使他們在運用中產(chǎn)生聯(lián)想，得出更多的結(jié)論[1]。

類比是根據(jù)兩個或兩個以上的對象在某些方面相似或相同，由此及彼，從而得出它們在其他方面也可能相同或相似的推理。類比使學(xué)習(xí)節(jié)省更多的時間，聯(lián)想會發(fā)現(xiàn)更多不同對象的共性、會使人更多的從宏觀上看問題。

例如，通過對牛頓—萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比，發(fā)現(xiàn)他們有某些本質(zhì)共有的規(guī)律：

若將牛頓—萊布尼茨公式：

視為：它建立了一元函數(shù)f(x)在一個區(qū)間的定積分與其“原函數(shù)”F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系，那么通過類比，就可以將格林公式：

視為：它建立了二元函數(shù)f(x,y)在一個平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；

就可以將高斯公式：

視為：它建立了三元函數(shù)f(x,y,z)在一個空間區(qū)域Ω上的三重積分與其“原函數(shù)” 在區(qū)域邊界曲面S上的曲面積分之間的聯(lián)系；

就可以將斯托克斯公式：

視為：它建立了三元函數(shù)f(x,y,z)在一個空間曲線S上的曲面積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線L上曲面積分之間的聯(lián)系。

從而，可將格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都看作牛頓—萊布尼茨公式的高維推廣，從宏觀上找到他們的本質(zhì)共性。

教學(xué)實踐證明：在學(xué)習(xí)過程中，將新知識與熟悉的舊知識進行類比，不但使學(xué)生對新知識易于接受理解，更重要的是培養(yǎng)、鍛煉了學(xué)生的類比思維，有利于開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

4　發(fā)散思維探究

所謂發(fā)散思維是指信息處理的途徑靈活多變，求解的豐富多樣。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。如，某公司在上下班時是坐電梯的高峰，員工們急忙趕路，很著急地等待，你爭我搶，秩序比較亂。于是公司為了緩解著急情緒，就有人想出在等待電梯的地方安裝一個穿衣鏡，不少員工們很注意自己的形象，紛紛照鏡，整理衣冠，于是分散了他們的注意力，問題很容易就得到了解決。

因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，可應(yīng)利用一題多解、一題多變來培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維。

解法一：“分子有理化法”

解法二：兩次用洛必達法則

解法三：用泰勒公式

通過一題多解，使得同一問題從不同角度思考，解法更加靈活了，更重要的是培養(yǎng)訓(xùn)練了發(fā)散思維。

5　逆向思維探究

逆向思維是相對于慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點是從已有思路的反方向去思考問題。它對解放思想、開闊思路、開創(chuàng)新的解決問題的方向，往往能起到積極的作用。1907年的一天，在倫教火車站舉行了一場“除塵器”的表演。研制者想用“除塵器”鼓起的風(fēng)把塵土吹走，結(jié)果是塵土飛揚，觀眾們被弄得渾身上下都是土，狼狽不堪，表演失敗。一位觀眾想，吹塵不行，吸塵行不行呢？經(jīng)過試驗，吸塵的方法果然可以，比起吹塵的方法要好得多。反“吹”為“吸”，思考方法跟原來正好相反，意想不到地解決了問題，所以吸塵器從此誕生了。因此， ⑴ 假如遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。 ⑵ 假如遇到某些問題直接解決困難，就應(yīng)想方設(shè)法間接解決。 ⑶ 正命題研究過后，研究逆命題。 ⑷ 探討可能性發(fā)生困難時，轉(zhuǎn)而探討不可能性。

若將x視為自變量，y視為未知函數(shù)，求解此方程就困難，因為它既不是可分離變量的微分方程，也不是齊次微分方程，也不是全微分方程，而且對未知函數(shù)y來說也不是線性微分方程和伯努利方程。但是，如果利用逆向思維，即反過來將視為未知函數(shù)，視為自變量，將方程變?yōu)椋?/p>

它就是未知函數(shù)x的一階線性非齊次微分方程，從而容易求出其通解。

例4[2]設(shè)f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-10000)，求f′(0)

分析：若對此題直接進行求導(dǎo)，難上加難，幾乎不可能。如果換一種角度看問題，則易于解決。比如，令g(x)=(x-1)(x-2)…(x-10000)，則有f(x)=x·g(x)

因為f′(x)=[x·g(x)]′=g(x)+x·g′(x)，所以f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=10000!

另外，也可以考慮用導(dǎo)數(shù)定義：

6　結(jié)　語

古人云：“授人以魚，不如授人以漁”，因此，教的最終目的是不再教，是教給學(xué)生怎樣自學(xué)。現(xiàn)代認知心理學(xué)家皮亞杰也認為“教育的宗旨不在于把盡可能多的東西教給學(xué)生，取得盡可能大的效果，而在于教學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)發(fā)展自己，以及離校后繼續(xù)發(fā)展?！边@就要求在教學(xué)過程中，除了讓學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識外，引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)也顯得非常重要，在掌握學(xué)習(xí)方法的同時，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)若僅僅限于具體問題教學(xué)，而不去尋找規(guī)律與方法，就偏離了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，學(xué)不到真正的數(shù)學(xué)思想與方法，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)去創(chuàng)造性地解決實際問題了。因此包括思想方法在內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)才是真正意義上的教學(xué)。

總之，教師應(yīng)該在傳授知識的同時，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。思維能力的培養(yǎng)，不僅可以讓學(xué)生獲得教材以外的思想方法，而且認識問題的深刻性、解決實際問題的能力也會大大提高，從而增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，解決更多的實際問題。

參考文獻：

[1] 詹玉.淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[J].中專天地,2001(10):49-50.

[2] 楊松華,王爵祿.高等數(shù)學(xué)一題多解[M].鄭州:鄭州大學(xué)出版社,2002:9,22,58.

[3] 李心燦.高等數(shù)學(xué)第二版下冊[M].北京:高等教育出版社,2003:368.