李丹

摘 要 本文是從理解性學(xué)習(xí)的角度研究高中數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)，提出了促進(jìn)高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的策略，并將策略用于教學(xué)實踐進(jìn)行了實驗研究。

關(guān)鍵詞 有效教學(xué) 高中數(shù)學(xué)概念 理解性學(xué)習(xí)

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.08.060

High School Math Concepts Effective Teaching in

Understanding Learning Perspective

LI Dan

（Putian No.27 Middle School， Putian， Fujian 351164）

Abstract This paper studies of effective teaching of high school math concepts from the perspective of understanding learning， proposed strategies to promote effective teaching high school math concepts and strategies for teaching practice studied.

Key words effective teaching; high school math concept; understanding learning

1 基于理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的涵義

1.1 高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的涵義

高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)指的是教師在高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中依據(jù)數(shù)學(xué)的規(guī)律方法，高效地進(jìn)行教學(xué)活動，使教學(xué)過程中學(xué)生收獲與概念的內(nèi)涵與外延相關(guān)的豐富的知識，實現(xiàn)相關(guān)概念的教學(xué)目標(biāo)，同時使學(xué)生的理解能力和水平有所提高，應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力得到發(fā)展，充分體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的寶貴價值。

1.2 高中數(shù)學(xué)概念理解性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與層次

高中數(shù)學(xué)概念理解性學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)手段、學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)效果的辯證統(tǒng)一，而且學(xué)習(xí)者通過這樣的學(xué)習(xí)必須促進(jìn)對高中數(shù)學(xué)概念的深刻的理解。本研究將其劃分為四個層次：

（1）經(jīng)驗性理解。經(jīng)驗性理解的含義是對某個高中數(shù)學(xué)概念的起始性的理解，理解的程度往往是由自身經(jīng)驗決定的。自身經(jīng)驗指對真實世界與客觀對象的一種體悟和認(rèn)識。通常發(fā)生在接觸新概念的時候，含有較多的個人成分，較少的協(xié)商性內(nèi)涵，是一種相對低層次的理解。

（2）形式化理解。在形式化的理解層次的學(xué)習(xí)是指對自身經(jīng)驗的抽象化的整理和組織，概括和重新表征;對不同的刺激模式分類表征，從中發(fā)現(xiàn)不同模式的本質(zhì)屬性和共性加以分化，就達(dá)到了對高中數(shù)學(xué)概念的形式化的理解。

（3）結(jié)構(gòu)化理解。結(jié)構(gòu)化理解著眼于在概念的關(guān)系和脈絡(luò)中把握概念的本質(zhì)屬性和內(nèi)涵，結(jié)構(gòu)化理解的實質(zhì)是結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)化的理解。對一個高中數(shù)學(xué)概念，結(jié)構(gòu)的復(fù)雜、精確程度決定著對其本質(zhì)的理解程度。

（4）文化感悟與理解。數(shù)學(xué)文化感悟理解是指，在這一層次的理解是一種綜合性的，整體性的理解，是一種居高臨下的數(shù)學(xué)感受與體悟，是一種對數(shù)學(xué)意義的深層次的認(rèn)同和一種特別深刻的數(shù)學(xué)觀，并且它不但是一個終極的目標(biāo)，也是一個不間斷發(fā)展的過程。

2基于理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的策略

（1）利用各種教育技術(shù)手段創(chuàng)設(shè)有效問題情境，豐富經(jīng)驗性理解。經(jīng)驗性理解層次的學(xué)習(xí)受環(huán)境內(nèi)容、環(huán)境組織和解釋方式等與先前經(jīng)驗相關(guān)范疇的影響，表現(xiàn)出易錯性的特點。同時，由于學(xué)習(xí)者的認(rèn)知的多樣性，在概念學(xué)習(xí)過程中，概念的不同外在表征作用于學(xué)習(xí)者會產(chǎn)生不同的心智表征，人們往往依據(jù)占主導(dǎo)作用的心智表征去建構(gòu)對概念的理解。所以在概念的學(xué)習(xí)過程中，充分利用技術(shù)優(yōu)勢呈現(xiàn)概念不同的表征形式，與學(xué)生已有經(jīng)驗和現(xiàn)有知識形成廣泛的聯(lián)系，使技術(shù)的優(yōu)勢得以發(fā)揮。創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生自主理解的問題情境，幫助學(xué)生學(xué)會運用各種手段相互合作解決真正的問題，在問題的探究過程中，形成問題解決的技能，鍛煉自主學(xué)習(xí)能力，提高思維層次及水平，為概念的形式化與結(jié)構(gòu)化的理解奠定基礎(chǔ)。

（2）學(xué)生充分參與高中數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過程，建構(gòu)形式化的理解。新課改的重要理念之一就是重視知識形成中學(xué)生要充分參與，使他們經(jīng)歷知識的形式化建構(gòu)過程，高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)也必然要遵循這個理念。不僅要讓學(xué)生體會一個高中數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的歷史背景和時代背景，更要知曉其曲折的發(fā)展與完善過程，是如何一步一步完成形式化的抽象概括。更為重要的是在自主探索和充分體驗的過程中，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)知識技能，提供數(shù)學(xué)探索能力，收獲成功的體驗，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心，為結(jié)構(gòu)化的理解提供保障。

（3）合理的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計與多角度的詮釋概念，形成結(jié)構(gòu)化的理解。形式化理解關(guān)注單一的高中數(shù)學(xué)概念或其他知識，沒有把與其有關(guān)的概念拿來一起比較、分析，發(fā)現(xiàn)其異同或是否有層次關(guān)系.所以理解的豐富性的程度和精確性都有所欠缺。所以，當(dāng)概念的學(xué)習(xí)具有很強的結(jié)構(gòu)性，緊密復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性，清晰的脈絡(luò)時，學(xué)習(xí)者對此概念的理解就會越來越深刻與精細(xì)，更能靈活自如地運用。要求概念的學(xué)習(xí)一定要有一個結(jié)構(gòu)合理，邏輯嚴(yán)密，思路清晰的教學(xué)設(shè)計，為形成高中數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化理解保駕護(hù)航。合理的教學(xué)設(shè)計是上好一節(jié)課的根本保證，教師面對的是一群有自己的知識、觀點、經(jīng)驗的活生生的個體，如果沒有一個靈活變化的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生形成正確的結(jié)構(gòu)化理解更無從談起了。從概念學(xué)習(xí)本身的特點來看，對概念的內(nèi)涵和外延的多角度詮釋也是形成良好的概念結(jié)構(gòu)必不可少的，把多角度的詮釋合理融入到教學(xué)設(shè)計中，可以很好地輔助高中數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化理解。

（4）對概念學(xué)習(xí)過程的深刻反思，提升文化感悟與理解。從某種意義上說，高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)能達(dá)到形式化的理解和結(jié)構(gòu)化的理解，就已經(jīng)達(dá)到了學(xué)習(xí)的基本要素，高中數(shù)學(xué)概念理解性學(xué)習(xí)的深層次的指向是更高一層的學(xué)習(xí)目標(biāo)，即達(dá)到了對數(shù)學(xué)的文化感悟與理解。適時地有效反思是高中數(shù)學(xué)概念理解層次深入進(jìn)行的根本保障，是提高高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的重要環(huán)節(jié)。不斷地反思成果與失敗，才能使理解層次向更深的方向發(fā)展。反思是貫穿于整個教學(xué)過程中的，也是隨著理解層次的提高層層遞進(jìn)不斷深入，要引導(dǎo)學(xué)生將高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中的反思經(jīng)驗運用到日常數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，乃至各科目的學(xué)習(xí)中，真正提升學(xué)習(xí)的素養(yǎng)，使高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)更加科學(xué)、合理、高效。

3基于理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的實驗研究

3.1 教材分析

概率的定義分為古典定義，頻率定義，主觀定義和公理化定義。其中頻率定義是指用在多次重復(fù)試驗中的相對頻數(shù)來定義事件發(fā)生的概率。它是建立在實驗基礎(chǔ)上的后驗的概率，它最能體現(xiàn)隨機性的思想，本文主要研究概念的頻率定義，選取了隨機事件的概率這一節(jié)，主要從以下幾個方面突破：（1）頻率穩(wěn)定于概率是對大量的隨機事件而言的，若實驗次數(shù)較少，用頻率衡量概率就不太好。（2）頻率與概率這兩個定義既有密切聯(lián)系又有內(nèi)在本質(zhì)區(qū)別。（3）穩(wěn)定于并非常規(guī)意義的極限的收斂于。（4）定義中的穩(wěn)定于的常數(shù)本質(zhì)上是一種理論的推斷。

3.2 教學(xué)設(shè)計

依據(jù)基于理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的策略，完成了隨機事件的概率這一節(jié)的教學(xué)設(shè)計，包含了七個探究問題，四個課內(nèi)活動和一個課外活動，隨機事件的概率必修三第三章概率第3.1.1節(jié)在初中九年級上冊第二十五章概率初步中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件、必然事件和不可能事件高中的學(xué)習(xí)使初中的進(jìn)一步抽象，理解也應(yīng)該更加準(zhǔn)確深刻，重視實際意義，通過實驗和自主探究生成對概念的理解。通過學(xué)生實驗計算機軟件的輔助，使學(xué)生突破理解“隨機事件的概率和概率的頻率定義”這一難點。概率的頻率定義：在隨機試驗中，若事件A出現(xiàn)的頻率隨著實驗次數(shù)的增加，穩(wěn)定于一個常數(shù)P。其中，則定義事件A的概率為P。概率的頻率定義賦予了概率一個可供參考的具體值，這是概率的頻率定義最有價值的地方。要理解概率頻率定義的這一難點，主要從以下幾個方面突破：（1）頻率穩(wěn)定于概率是對大量的隨機事件而言的，若實驗次數(shù)較少，用頻率估計概率就不太合理;（2）頻率與概率這兩個定義既有密切聯(lián)系又有內(nèi)在本質(zhì)區(qū)別;（3）穩(wěn)定于并非常規(guī)意義的極限的收斂于;（4）定義中的穩(wěn)定于的常數(shù)本質(zhì)上是一種理論的推斷。教材選擇拋擲硬幣的實驗引入概率的頻率定義，拋硬幣實驗的優(yōu)點有：第一，從學(xué)生的生活經(jīng)驗來考慮，硬幣正面朝上的概率是0.5，是眾所周知的生活常識，可以避免對于穩(wěn)定于的常數(shù)是什么的疑慮，可以借此實驗體會頻率具有穩(wěn)定性可用頻率來估計概率。第二，操作起來容易，比較貼近教學(xué)實際。第三，可以站在巨人的肩膀上研究此問題，因為歷史上有很多權(quán)威的實驗數(shù)據(jù)可以利用。當(dāng)然拋硬幣的實驗也有缺點，初中學(xué)習(xí)隨機實驗這一節(jié)時就用了拋硬幣的實驗，實驗過程基本與高中必修三教材中的設(shè)計相類似，由于學(xué)生已經(jīng)了解了過程和結(jié)果。如果重復(fù)同樣的實驗，不但消耗課堂大量的寶貴時間，而且學(xué)生追求未知事物的熱情度必然會下降，學(xué)生疲于應(yīng)付對學(xué)生的概念的理解更無幫助。由于篇幅限制教學(xué)設(shè)計在本文不能全部展示。

3.3 實驗的結(jié)論

本實驗在福建省莆田某普通高中高一年段進(jìn)行，高一（1）班和高一（2）班分別作為實驗班和對照班。首先，兩個班級都是平行班，都由同一名數(shù)學(xué)教師來執(zhí)教，保證每一個概念要注意的關(guān)鍵問題保持同步，習(xí)題和作業(yè)也基本保持相同，課外輔導(dǎo)書也完全相同，盡量排除其他因素的影響。進(jìn)行前后測實驗，實驗數(shù)據(jù)使用SPSS17軟件進(jìn)行統(tǒng)計分析。在有關(guān)學(xué)生實驗前概率頻率定義的前測試卷的統(tǒng)計結(jié)果中，對照班和實驗班的平均成績分別為83.75和83.5625，中值、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、最高分、最低分也沒有很大的差異。經(jīng)過獨立樣本T檢驗，發(fā)現(xiàn)齊性檢驗的顯著水平位0.799>0.05，說明方差齊性沒有特別顯著的差異，取獨立樣本T檢驗的第一行假設(shè)方差相等的結(jié)果0.943>0.05，所以有95%的置信度，說明對照班和實驗班的前測成績沒有明顯的差異。以上檢驗說明，在進(jìn)行基于理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)之前，對照班和實驗班的學(xué)生的概率頻率定義學(xué)習(xí)水平?jīng)]有明顯的差異，基本上相同。

在概率的頻率定義的理解情況后測試卷的統(tǒng)計中，對照組與實驗組的平均成績分別為82.1563和88.7500。經(jīng)過獨立樣本T檢驗，發(fā)現(xiàn)齊性檢驗的顯著水平位0.405>0.05，說明方差齊性沒有特別顯著的差異，取獨立樣本T檢驗的第一行假設(shè)方差相等的結(jié)果0.005<0.05，所以有95%的置信度，說明對照班和實驗班的前測成績有明顯的差異。學(xué)生對概率的頻率定義的理解水平有明顯的不同，明顯實驗班的理解比對照班的更深刻，更能靈活運用，說明基于理解性學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念有效教學(xué)的策略是有效的。

4 研究的啟示

本文主要從理解性學(xué)習(xí)的層次提升中探討高中數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)，還有很多因素也影響著高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，也是很有價值的研究課題。如在本研究的實驗過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的非智力因素，教師的專業(yè)素養(yǎng)，和諧的師生關(guān)系也影響著有效教學(xué)的實施。另外，如何因材施教，如何提高學(xué)生興趣也會促進(jìn)有效教學(xué)的進(jìn)行，都是具有實用價值的研究。最后，希望本文的觀點能為高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效實施提供借鑒，真正成為服務(wù)于教學(xué)實踐的研究。

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