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        “函數(shù)的微分”教改設(shè)計

        2015-09-10 07:22:44董艷
        考試周刊 2015年85期
        關(guān)鍵詞:問題驅(qū)動微分數(shù)形結(jié)合

        董艷

        摘 要: 微分是學(xué)生以前從未接觸過的概念,比較抽象,特別是課本上的引例,經(jīng)過多次講解,發(fā)現(xiàn)通過此引例引入,學(xué)生不易理解,因此如何引入微分的概念是上好本節(jié)課的重點也是難點.本文主要是針對此特別設(shè)計的.以問題驅(qū)動引入本節(jié),讓學(xué)生通過做題體會其中遇到的困難,進(jìn)而分析問題,解決問題,帶著問題引入微分的概念,其中主要利用數(shù)形結(jié)合的方法講解概念,過渡自然,最終得出求微分就是求導(dǎo)數(shù)的.

        關(guān)鍵詞: 微分 概念 導(dǎo)數(shù) 問題驅(qū)動 數(shù)形結(jié)合

        一、課前準(zhǔn)備

        1.復(fù)習(xí)引入

        設(shè)計目的:求微分就是求導(dǎo)數(shù),因此新課前首先對導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行復(fù)習(xí);微分是為了解決函數(shù)值的增量而引入的,因而復(fù)習(xí)的第二個知識點就是增量的概念.

        2.課堂任務(wù)

        設(shè)計思想:讓學(xué)生通過做一道有關(guān)增量的題目(見下表),使學(xué)生體會到計算中的困難,并通過數(shù)形結(jié)合法分析所遇到的問題從而引入微分概念.

        課堂任務(wù):按要求完成下列表格:

        表1 函數(shù)y=x■-x在點2處當(dāng)取不同自變量增量時函數(shù)值增量的計算

        3.問題提出

        在上面任務(wù)完成的過程中,遇到的問題是:函數(shù)y=x■-x在點2附近處的函數(shù)值不容易計算,導(dǎo)致在這點附近函數(shù)值的增量也不容易計算.

        4.分析問題

        作出y=x■-x的圖像,為了求出函數(shù)在點2附近處的函數(shù)值,我們過這點作曲線的切線,會發(fā)現(xiàn)什么呢?

        圖1 函數(shù)的圖像及其在點2處的切線

        由圖可知在點2附近,曲線和切線十分接近,我們可以用切線上的函數(shù)值近似地代替曲線上的函數(shù)值,寫出切線的方程為:f(x)-6=11(x-2),觀察這個等式的左右兩邊可以進(jìn)一步寫成:Δy=11Δx,那么就用此式計算下剛才的那個問題,可得下表:

        表2 切線上的函數(shù)值增量與曲線上函數(shù)值增量作比較

        5.得出結(jié)論

        當(dāng)Δx→0時,Δy≈dy,今天我們講的函數(shù)的微分其實就是切線上的函數(shù)值的增量,它是用來近似代替曲線上的函數(shù)值的增量的,可是再怎么近似,也會有誤差,誤差有多大呢,微分的概念就可以解決這個問題.

        二、新課講解

        1.先請學(xué)生用心看一遍定義

        2.通過圖形解釋定義

        圖2 函數(shù)的微分概念的圖形解釋

        3.解決引入中的問題

        從圖3中很容易得出:Δy-dy=0(Δx),0(Δx)是什么意思呢?

        4.對0(Δx)的解釋

        5.公式中“A”的推導(dǎo)[1]

        6.導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系(可微的條件)

        三、課堂小結(jié)

        本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的微分概念,微分其實就是曲線函數(shù)在一點處,當(dāng)自變量變化很小時,相應(yīng)的切線上函數(shù)值的改變量,它是用來近似代替曲線上的函數(shù)值的改變量的,從而體現(xiàn)了以直代曲的思想.

        參考文獻(xiàn):

        [1]岳忠玉.高等數(shù)學(xué)[M].第一版,西北大學(xué)出版社,2012.

        [2]云連英.微積分應(yīng)用基礎(chǔ)[M].第三版,高等教育出版社,2014.

        [3]王福楹,等.高等數(shù)學(xué)[M].第三版,高等教育出版社,2006.

        [4]崔信.高等數(shù)學(xué)[M].第一版,北京出版社,2014.

        基金項目:陜西省職業(yè)技術(shù)教育學(xué)會2015年度教育科研規(guī)劃立項課題No.SZJYB2015040)

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