冷慶生

摘要：曾有一段時(shí)間初中數(shù)學(xué)教材分為兩大版塊：“代數(shù)”與“幾何”，之后教材經(jīng)歷了若干次改革，數(shù)學(xué)中原本就不可分割的“代數(shù)”和“幾何”，變得數(shù)中有形，形中有數(shù)，代數(shù)和幾何相互穿插。二者不僅僅是表層意義上的結(jié)合，更關(guān)鍵的是思想上的結(jié)合，這就潛移默化地強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”這一重要的思想方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教材

仔細(xì)研讀初中數(shù)學(xué)教材（2012第3版），筆者發(fā)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想如同一條主線，貫穿于初中數(shù)學(xué)的始終。新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等。”這就要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合思想方法，并運(yùn)用它來幫助學(xué)生理解教材中知識，并解決實(shí)際問題。

縱觀整套初中數(shù)學(xué)的教材，可以把數(shù)形結(jié)合思想分為以下三種主要形式：“以數(shù)化形”、“以形變數(shù)”、“形數(shù)互變”。以下從“以數(shù)化形”這個(gè)維度來分析教材中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法。

在數(shù)學(xué)中，有些數(shù)量關(guān)系十分抽象，學(xué)生很難理解和把握；而圖形的優(yōu)點(diǎn)在于形象、直觀，能將抽象的思維形象地表現(xiàn)出來。數(shù)和形本就是一種對應(yīng)，所以我們可以把“數(shù)”的對應(yīng)形式——“形”找出來，利用“圖形”解決“數(shù)量”問題。也就是說，從己知問題情境中提煉出某種“模式”（數(shù)與形之間的一種特定的結(jié)構(gòu)或關(guān)系），再根據(jù)這種模式把數(shù)量問題變?yōu)閳D形問題，并通過分析圖形，最終解決此數(shù)量問題。初中階段將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題一般有兩種途徑：平面幾何知識和解析幾何知識。

“以數(shù)化形”意義在于：1。將抽象的代數(shù)語言化為幾何直觀，可避開復(fù)雜冗長的推理或計(jì)算；2。通過直觀形象的圖形來幫助人們理解和闡述抽象晦澀的代數(shù)關(guān)系，獲得出奇制勝的效果。

案例 一元一次不等式

七年級教材第十一章的內(nèi)容是“一元一次不等式”。本章第2節(jié)“不等式的解集”從“說出不等式x-3>0成立的x的值”出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有些數(shù)能使不等式成立，有些數(shù)不能使不等式成立，由此得出“不等式的解”的概念，并給出思考：不等式的解與方程的解有什么不同？

此思考的作用是使學(xué)生認(rèn)識到不等式解的無限性，由此得出“解集”概念，并用數(shù)軸來表示此解集。

用數(shù)軸表示實(shí)數(shù)是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)具體體現(xiàn)，用數(shù)軸來表示數(shù)集比用數(shù)軸來表示數(shù)又進(jìn)了一步。教材在得出“不等式的解集”的概念之后，立即就給出了用數(shù)軸表示不等式的解集的方法，使學(xué)生直觀地看到不等式的解有無限多個(gè)，并從直觀上理解“不等式的解集”與方程的解的區(qū)別，加深學(xué)生對解集的理解。這里借助數(shù)軸表示不等式解集，僅是讓學(xué)生對此有個(gè)初步的認(rèn)識，在之后確定一元一次不等式組的解集時(shí)，利用數(shù)軸更為有效。

本章第6節(jié)“一元一次不等式組”把數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得更加淋漓盡致。首先從一個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，得出“一元一次不等式組”的概念，之后利用不等式的性質(zhì)分別求出兩個(gè)不等式的解集，用同一數(shù)軸上分別表示這兩不等式的解集，兩個(gè)解集的公共部分即此不等式組的解集。

在這里我們能夠更加清楚地看到數(shù)軸的作用。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“會用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集?！睆?qiáng)調(diào)利用數(shù)軸，把借助于這種直觀、形象的方式，求兩個(gè)不等式解集的“公共部分”作為解題關(guān)鍵的一步，使學(xué)生容易理解和掌握。若是這里不借助數(shù)軸，僅憑“x≤170”和“x≥136”這兩個(gè)不等式去求解集，當(dāng)然是可以求出來的，但是對于七年級學(xué)生的思維水平來說有相當(dāng)大的難度。前面兩節(jié)己經(jīng)對“在數(shù)軸上表示數(shù)集”做了大量的鋪墊，因此學(xué)生能比較自然地接受在數(shù)軸上表示出“公共解集”，數(shù)軸在此功不可沒。

還有一點(diǎn)在這里不得不提，部分教師在本節(jié)課的教學(xué)過程中，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和在數(shù)軸上表示公共解集的特點(diǎn)，總結(jié)出了解一元一次不等式組的一個(gè)順口溜：“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了。” 在解不等式組時(shí)，有了這個(gè)順口溜，就可以通過不畫數(shù)軸便得到不等式的解集，從而節(jié)省解題的時(shí)間。這個(gè)順口溜總結(jié)得很形象，也很押韻，但筆者是不提倡的，原因有三：

一、這個(gè)順口溜里只有死記硬背，缺少應(yīng)有的理解，而且記憶起來相當(dāng)有難度的，整個(gè)順口溜每一句里都“擺”滿了“大”“小”二字，稍有不慎便記錯(cuò)規(guī)律，從而導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，雖然通過不畫數(shù)軸節(jié)省了時(shí)間，但似乎本末倒置，有點(diǎn)弄巧成拙了。

二、數(shù)軸是一個(gè)核心知識，它串聯(lián)了相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)運(yùn)算、不等式解集等一系列的內(nèi)容。在解決不等式組解集問題時(shí)，通過數(shù)軸的演示，學(xué)生對不等式組的公共解集的理解變得更加容易，能一目了然。

三、數(shù)軸建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，它溝通了數(shù)與形之間的聯(lián)系，提供了一個(gè)實(shí)用工具，使抽象的數(shù)量關(guān)系有了直觀形象的幾何意義，因此在此利用數(shù)軸求不等式組的解集，使這個(gè)抽象問題更加直觀化，繁瑣問題更加簡單化。

我們在教學(xué)中要分析教材中滲透的數(shù)形結(jié)合思想方法，首先要了解教材的編寫特色，將幫助我們了解教材的知識體系，以及挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法。其次，要了解教材的知識體系，我們要從整體入手，了解初中數(shù)學(xué)知識的編排序列，這對于我們在初中階段逐步地、反復(fù)地滲透數(shù)形結(jié)合思想有著極大的幫助。再次，要了解教材的編寫意圖，通過我們的思考，還原教材的本真，把握教材的實(shí)質(zhì)。