劉迎春

【內(nèi)容摘要】在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)非常重要。不僅能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也能夠有效提升課堂教學(xué)效率。本文對(duì)此進(jìn)行了分析研究。

【關(guān)鍵詞】研究性學(xué)習(xí) 高中數(shù)學(xué)教師 課堂角色

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)非常重要，不僅能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也能夠有效提升課堂教學(xué)效率。本文將結(jié)合實(shí)例，探究研究性學(xué)習(xí)中高中數(shù)學(xué)教師的課堂角色。

一、做好學(xué)生的引路人

研究性學(xué)習(xí)中，教師有必要給予學(xué)生們正確指引，教師在課堂上應(yīng)當(dāng)做學(xué)生的引路人。教師應(yīng)當(dāng)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，給予學(xué)生們相關(guān)引導(dǎo)與啟發(fā)，做課堂教學(xué)的引導(dǎo)者，往往能夠更加高效地理解與吸收知識(shí)。研究性學(xué)習(xí)非常注重學(xué)生各方面素質(zhì)的培養(yǎng)，這個(gè)過程也不是太容易。教師應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)與點(diǎn)撥。一方面，在研究性學(xué)習(xí)中教師要確保學(xué)生們掌握正確的學(xué)習(xí)方法，保障學(xué)習(xí)過程是有效的。另一方面，教師要注重對(duì)學(xué)生思維能力的引導(dǎo)，要讓他們掌握更多有效的數(shù)學(xué)思想以及好的解題思路。這不僅是研究性學(xué)習(xí)的根基，也是高效課堂存在的前提。

例題1：函數(shù)y=xe1-cosx的導(dǎo)數(shù)為_____。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：學(xué)生如果沒有仔細(xì)分析這個(gè)題目，很容易進(jìn)入誤區(qū)，教師引導(dǎo)學(xué)生明白：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即y'x=y'u·u'x。這才是正確的解題思路。

解析：y'=e1-cosx+x（e1-cosx）'

=e1-cosx+xe1-cosx（1-cosx）'

=E1-cosx+xe1-cosxsinx

=（1+xsinx）e1-cosx

知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：這個(gè)例子看似不難，能否高效的解答，取決于學(xué)生是否掌握了正確的解題方法與解題思路，這是研究性學(xué)習(xí)的根本。教師要引導(dǎo)學(xué)生們明白：掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。這不僅是解答這類問題的重要突破口，也是學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維的形成過程。

二、做好課堂的教學(xué)組織

研究性學(xué)習(xí)不僅能夠深化學(xué)生們對(duì)知識(shí)的理解與掌握，也能夠很大程度提升課堂教學(xué)效率，這一點(diǎn)已經(jīng)在很多教學(xué)過程中得以驗(yàn)證。在引導(dǎo)學(xué)生展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)自己扮演的角色有合適的設(shè)置，首先，教師應(yīng)當(dāng)做課堂教學(xué)的組織者。研究性學(xué)習(xí)是對(duì)于課堂教學(xué)一種很有效的深化，這個(gè)過程不僅對(duì)于學(xué)生們的能力提出了更高的要求，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)也能夠讓課堂教學(xué)模式更為多元，課堂教學(xué)氣氛更為活躍。這些優(yōu)越性都是實(shí)際存在的，但是，值得注意的一點(diǎn)是教師必需把握好課堂教學(xué)節(jié)奏，做好課堂教學(xué)的調(diào)節(jié)，讓學(xué)生們不至于在課堂上分心。只有這樣，才能夠真正讓研究性學(xué)習(xí)為教學(xué)過程起到輔助與推動(dòng)的正面作用。

例題1：已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角。

分析：在引導(dǎo)學(xué)生展開這個(gè)問題的研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師要做好教學(xué)過程的組織工作，首先要讓學(xué)生們找到正確的解題思路：本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。

解析：由（a+3b）（7a-5b）=0

=>7a2+16ab-15b2=0 ①

（ a-4b）（7a-2b）=0

=>7a2-30ab+8b2=0 ②

兩式相減得：2ab=b2，代入①或②得：a2=b2。

設(shè)a、b的夾角為θ，則

cosθ=

∴θ=60°。

這個(gè)例子具備一定的綜合性，是非常適合展開研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)素材。在學(xué)生們展開研究性學(xué)習(xí)的過程中，教師要把握好學(xué)習(xí)節(jié)奏，要確保大家首先在解題思路上正確，再來進(jìn)一步讓問題得以解答。

三、做好課堂的教學(xué)協(xié)調(diào)

在針對(duì)具體問題展開研究性學(xué)習(xí)上，教師同樣應(yīng)當(dāng)做好教學(xué)過程的平衡與協(xié)調(diào)。教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)針對(duì)班上的每一個(gè)同學(xué)，然而，鑒于學(xué)生間的個(gè)體差異，針對(duì)相同的教學(xué)內(nèi)容，不同學(xué)生理解起來難度可能會(huì)不一樣，尤其是研究性學(xué)習(xí)會(huì)使得教學(xué)節(jié)奏變快，教學(xué)效率會(huì)更高。在這樣的背景下有些學(xué)生很可能會(huì)跟不上。教師要有意識(shí)的做好教學(xué)過程的協(xié)調(diào)，讓每個(gè)學(xué)生都能夠跟上課堂教學(xué)的步伐，讓大家都能夠在課堂上有所收獲。

例題3：已知函數(shù)f（x）=x3+bx2 +ax+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M[-1，f（-1）]處的切線方程為6x-y+7=0（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式。

思維分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。

解析：（Ⅰ）由f（x）的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx+c。

由在M[-1，f（-1）]處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f（-1）+7=0，即f（-1）=1，f'（-1）=6。

∴3-2b+c=6

-1+b-c+2=1

解得b=c=-3，故所求的解析式是f（x）=x3-3x2-3x+2

這個(gè)問題是綜合性較強(qiáng)的，在展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，并不是每一個(gè)學(xué)生都能夠立刻找到正確的方法。教師要做好課堂教學(xué)的協(xié)調(diào)，要針對(duì)更為廣泛的學(xué)生群體，讓大家都能夠慢慢明白這類問題的解題突破口。教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生們首先明白導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步：（1）求出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0），特別地，如果曲線y=f（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x=x0。只有找對(duì)了方法才能夠簡化問題，這也是在進(jìn)行教學(xué)協(xié)調(diào)時(shí)首先要引導(dǎo)學(xué)生們做的事情。

結(jié)語

在展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師在課堂上扮演的角色非常重要。教師首先應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓大家在研究性學(xué)習(xí)中掌握正確的學(xué)習(xí)方法與解題思路。其次，教師應(yīng)當(dāng)做好課堂教學(xué)的組織者與協(xié)調(diào)者，要確保學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)更為高效的展開。同時(shí)，保證每一個(gè)層面的學(xué)生都能夠在過程中有所收獲。這才是高效數(shù)學(xué)課堂的直觀體現(xiàn)。

（作者單位：江蘇省亭湖高級(jí)中學(xué)）

【內(nèi)容摘要】在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)非常重要。不僅能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也能夠有效提升課堂教學(xué)效率。本文對(duì)此進(jìn)行了分析研究。

【關(guān)鍵詞】研究性學(xué)習(xí) 高中數(shù)學(xué)教師 課堂角色

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)非常重要，不僅能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也能夠有效提升課堂教學(xué)效率。本文將結(jié)合實(shí)例，探究研究性學(xué)習(xí)中高中數(shù)學(xué)教師的課堂角色。

一、做好學(xué)生的引路人

研究性學(xué)習(xí)中，教師有必要給予學(xué)生們正確指引，教師在課堂上應(yīng)當(dāng)做學(xué)生的引路人。教師應(yīng)當(dāng)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，給予學(xué)生們相關(guān)引導(dǎo)與啟發(fā)，做課堂教學(xué)的引導(dǎo)者，往往能夠更加高效地理解與吸收知識(shí)。研究性學(xué)習(xí)非常注重學(xué)生各方面素質(zhì)的培養(yǎng)，這個(gè)過程也不是太容易。教師應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)與點(diǎn)撥。一方面，在研究性學(xué)習(xí)中教師要確保學(xué)生們掌握正確的學(xué)習(xí)方法，保障學(xué)習(xí)過程是有效的。另一方面，教師要注重對(duì)學(xué)生思維能力的引導(dǎo)，要讓他們掌握更多有效的數(shù)學(xué)思想以及好的解題思路。這不僅是研究性學(xué)習(xí)的根基，也是高效課堂存在的前提。

例題1：函數(shù)y=xe1-cosx的導(dǎo)數(shù)為_____。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：學(xué)生如果沒有仔細(xì)分析這個(gè)題目，很容易進(jìn)入誤區(qū)，教師引導(dǎo)學(xué)生明白：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即y'x=y'u·u'x。這才是正確的解題思路。

解析：y'=e1-cosx+x（e1-cosx）'

=e1-cosx+xe1-cosx（1-cosx）'

=E1-cosx+xe1-cosxsinx

=（1+xsinx）e1-cosx

知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：這個(gè)例子看似不難，能否高效的解答，取決于學(xué)生是否掌握了正確的解題方法與解題思路，這是研究性學(xué)習(xí)的根本。教師要引導(dǎo)學(xué)生們明白：掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。這不僅是解答這類問題的重要突破口，也是學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維的形成過程。

二、做好課堂的教學(xué)組織

研究性學(xué)習(xí)不僅能夠深化學(xué)生們對(duì)知識(shí)的理解與掌握，也能夠很大程度提升課堂教學(xué)效率，這一點(diǎn)已經(jīng)在很多教學(xué)過程中得以驗(yàn)證。在引導(dǎo)學(xué)生展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)自己扮演的角色有合適的設(shè)置，首先，教師應(yīng)當(dāng)做課堂教學(xué)的組織者。研究性學(xué)習(xí)是對(duì)于課堂教學(xué)一種很有效的深化，這個(gè)過程不僅對(duì)于學(xué)生們的能力提出了更高的要求，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)也能夠讓課堂教學(xué)模式更為多元，課堂教學(xué)氣氛更為活躍。這些優(yōu)越性都是實(shí)際存在的，但是，值得注意的一點(diǎn)是教師必需把握好課堂教學(xué)節(jié)奏，做好課堂教學(xué)的調(diào)節(jié)，讓學(xué)生們不至于在課堂上分心。只有這樣，才能夠真正讓研究性學(xué)習(xí)為教學(xué)過程起到輔助與推動(dòng)的正面作用。

例題1：已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角。

分析：在引導(dǎo)學(xué)生展開這個(gè)問題的研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師要做好教學(xué)過程的組織工作，首先要讓學(xué)生們找到正確的解題思路：本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。

解析：由（a+3b）（7a-5b）=0

=>7a2+16ab-15b2=0 ①

（ a-4b）（7a-2b）=0

=>7a2-30ab+8b2=0 ②

兩式相減得：2ab=b2，代入①或②得：a2=b2。

設(shè)a、b的夾角為θ，則

cosθ=

∴θ=60°。

這個(gè)例子具備一定的綜合性，是非常適合展開研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)素材。在學(xué)生們展開研究性學(xué)習(xí)的過程中，教師要把握好學(xué)習(xí)節(jié)奏，要確保大家首先在解題思路上正確，再來進(jìn)一步讓問題得以解答。

三、做好課堂的教學(xué)協(xié)調(diào)

在針對(duì)具體問題展開研究性學(xué)習(xí)上，教師同樣應(yīng)當(dāng)做好教學(xué)過程的平衡與協(xié)調(diào)。教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)針對(duì)班上的每一個(gè)同學(xué)，然而，鑒于學(xué)生間的個(gè)體差異，針對(duì)相同的教學(xué)內(nèi)容，不同學(xué)生理解起來難度可能會(huì)不一樣，尤其是研究性學(xué)習(xí)會(huì)使得教學(xué)節(jié)奏變快，教學(xué)效率會(huì)更高。在這樣的背景下有些學(xué)生很可能會(huì)跟不上。教師要有意識(shí)的做好教學(xué)過程的協(xié)調(diào)，讓每個(gè)學(xué)生都能夠跟上課堂教學(xué)的步伐，讓大家都能夠在課堂上有所收獲。

例題3：已知函數(shù)f（x）=x3+bx2 +ax+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M[-1，f（-1）]處的切線方程為6x-y+7=0（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式。

思維分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。

解析：（Ⅰ）由f（x）的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx+c。

由在M[-1，f（-1）]處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f（-1）+7=0，即f（-1）=1，f'（-1）=6。

∴3-2b+c=6

-1+b-c+2=1

解得b=c=-3，故所求的解析式是f（x）=x3-3x2-3x+2

這個(gè)問題是綜合性較強(qiáng)的，在展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，并不是每一個(gè)學(xué)生都能夠立刻找到正確的方法。教師要做好課堂教學(xué)的協(xié)調(diào)，要針對(duì)更為廣泛的學(xué)生群體，讓大家都能夠慢慢明白這類問題的解題突破口。教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生們首先明白導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步：（1）求出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0），特別地，如果曲線y=f（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x=x0。只有找對(duì)了方法才能夠簡化問題，這也是在進(jìn)行教學(xué)協(xié)調(diào)時(shí)首先要引導(dǎo)學(xué)生們做的事情。

結(jié)語

在展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師在課堂上扮演的角色非常重要。教師首先應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓大家在研究性學(xué)習(xí)中掌握正確的學(xué)習(xí)方法與解題思路。其次，教師應(yīng)當(dāng)做好課堂教學(xué)的組織者與協(xié)調(diào)者，要確保學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)更為高效的展開。同時(shí)，保證每一個(gè)層面的學(xué)生都能夠在過程中有所收獲。這才是高效數(shù)學(xué)課堂的直觀體現(xiàn)。

（作者單位：江蘇省亭湖高級(jí)中學(xué)）

【內(nèi)容摘要】在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)非常重要。不僅能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也能夠有效提升課堂教學(xué)效率。本文對(duì)此進(jìn)行了分析研究。

【關(guān)鍵詞】研究性學(xué)習(xí) 高中數(shù)學(xué)教師 課堂角色

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)非常重要，不僅能夠很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也能夠有效提升課堂教學(xué)效率。本文將結(jié)合實(shí)例，探究研究性學(xué)習(xí)中高中數(shù)學(xué)教師的課堂角色。

一、做好學(xué)生的引路人

研究性學(xué)習(xí)中，教師有必要給予學(xué)生們正確指引，教師在課堂上應(yīng)當(dāng)做學(xué)生的引路人。教師應(yīng)當(dāng)在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候，給予學(xué)生們相關(guān)引導(dǎo)與啟發(fā)，做課堂教學(xué)的引導(dǎo)者，往往能夠更加高效地理解與吸收知識(shí)。研究性學(xué)習(xí)非常注重學(xué)生各方面素質(zhì)的培養(yǎng)，這個(gè)過程也不是太容易。教師應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)與點(diǎn)撥。一方面，在研究性學(xué)習(xí)中教師要確保學(xué)生們掌握正確的學(xué)習(xí)方法，保障學(xué)習(xí)過程是有效的。另一方面，教師要注重對(duì)學(xué)生思維能力的引導(dǎo)，要讓他們掌握更多有效的數(shù)學(xué)思想以及好的解題思路。這不僅是研究性學(xué)習(xí)的根基，也是高效課堂存在的前提。

例題1：函數(shù)y=xe1-cosx的導(dǎo)數(shù)為_____。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：學(xué)生如果沒有仔細(xì)分析這個(gè)題目，很容易進(jìn)入誤區(qū)，教師引導(dǎo)學(xué)生明白：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，即y'x=y'u·u'x。這才是正確的解題思路。

解析：y'=e1-cosx+x（e1-cosx）'

=e1-cosx+xe1-cosx（1-cosx）'

=E1-cosx+xe1-cosxsinx

=（1+xsinx）e1-cosx

知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥：這個(gè)例子看似不難，能否高效的解答，取決于學(xué)生是否掌握了正確的解題方法與解題思路，這是研究性學(xué)習(xí)的根本。教師要引導(dǎo)學(xué)生們明白：掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。這不僅是解答這類問題的重要突破口，也是學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維的形成過程。

二、做好課堂的教學(xué)組織

研究性學(xué)習(xí)不僅能夠深化學(xué)生們對(duì)知識(shí)的理解與掌握，也能夠很大程度提升課堂教學(xué)效率，這一點(diǎn)已經(jīng)在很多教學(xué)過程中得以驗(yàn)證。在引導(dǎo)學(xué)生展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)自己扮演的角色有合適的設(shè)置，首先，教師應(yīng)當(dāng)做課堂教學(xué)的組織者。研究性學(xué)習(xí)是對(duì)于課堂教學(xué)一種很有效的深化，這個(gè)過程不僅對(duì)于學(xué)生們的能力提出了更高的要求，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)也能夠讓課堂教學(xué)模式更為多元，課堂教學(xué)氣氛更為活躍。這些優(yōu)越性都是實(shí)際存在的，但是，值得注意的一點(diǎn)是教師必需把握好課堂教學(xué)節(jié)奏，做好課堂教學(xué)的調(diào)節(jié)，讓學(xué)生們不至于在課堂上分心。只有這樣，才能夠真正讓研究性學(xué)習(xí)為教學(xué)過程起到輔助與推動(dòng)的正面作用。

例題1：已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角。

分析：在引導(dǎo)學(xué)生展開這個(gè)問題的研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師要做好教學(xué)過程的組織工作，首先要讓學(xué)生們找到正確的解題思路：本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹立整體求解的思想。

解析：由（a+3b）（7a-5b）=0

=>7a2+16ab-15b2=0 ①

（ a-4b）（7a-2b）=0

=>7a2-30ab+8b2=0 ②

兩式相減得：2ab=b2，代入①或②得：a2=b2。

設(shè)a、b的夾角為θ，則

cosθ=

∴θ=60°。

這個(gè)例子具備一定的綜合性，是非常適合展開研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)素材。在學(xué)生們展開研究性學(xué)習(xí)的過程中，教師要把握好學(xué)習(xí)節(jié)奏，要確保大家首先在解題思路上正確，再來進(jìn)一步讓問題得以解答。

三、做好課堂的教學(xué)協(xié)調(diào)

在針對(duì)具體問題展開研究性學(xué)習(xí)上，教師同樣應(yīng)當(dāng)做好教學(xué)過程的平衡與協(xié)調(diào)。教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)針對(duì)班上的每一個(gè)同學(xué)，然而，鑒于學(xué)生間的個(gè)體差異，針對(duì)相同的教學(xué)內(nèi)容，不同學(xué)生理解起來難度可能會(huì)不一樣，尤其是研究性學(xué)習(xí)會(huì)使得教學(xué)節(jié)奏變快，教學(xué)效率會(huì)更高。在這樣的背景下有些學(xué)生很可能會(huì)跟不上。教師要有意識(shí)的做好教學(xué)過程的協(xié)調(diào)，讓每個(gè)學(xué)生都能夠跟上課堂教學(xué)的步伐，讓大家都能夠在課堂上有所收獲。

例題3：已知函數(shù)f（x）=x3+bx2 +ax+d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M[-1，f（-1）]處的切線方程為6x-y+7=0（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式。

思維分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。

解析：（Ⅰ）由f（x）的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx+c。

由在M[-1，f（-1）]處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f（-1）+7=0，即f（-1）=1，f'（-1）=6。

∴3-2b+c=6

-1+b-c+2=1

解得b=c=-3，故所求的解析式是f（x）=x3-3x2-3x+2

這個(gè)問題是綜合性較強(qiáng)的，在展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，并不是每一個(gè)學(xué)生都能夠立刻找到正確的方法。教師要做好課堂教學(xué)的協(xié)調(diào)，要針對(duì)更為廣泛的學(xué)生群體，讓大家都能夠慢慢明白這類問題的解題突破口。教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生們首先明白導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步：（1）求出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0），特別地，如果曲線y=f（x）在點(diǎn)P[x0，f（x0）]處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x=x0。只有找對(duì)了方法才能夠簡化問題，這也是在進(jìn)行教學(xué)協(xié)調(diào)時(shí)首先要引導(dǎo)學(xué)生們做的事情。

結(jié)語

在展開研究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師在課堂上扮演的角色非常重要。教師首先應(yīng)當(dāng)注重對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓大家在研究性學(xué)習(xí)中掌握正確的學(xué)習(xí)方法與解題思路。其次，教師應(yīng)當(dāng)做好課堂教學(xué)的組織者與協(xié)調(diào)者，要確保學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)更為高效的展開。同時(shí)，保證每一個(gè)層面的學(xué)生都能夠在過程中有所收獲。這才是高效數(shù)學(xué)課堂的直觀體現(xiàn)。

（作者單位：江蘇省亭湖高級(jí)中學(xué)）