景麗敏

【摘要】在人教B版的數(shù)學(xué)教材中，必修3的第一章向我們介紹了中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例。這幾個(gè)案例讓我們認(rèn)識到在計(jì)算機(jī)科學(xué)迅速發(fā)展的今天，東方的“算學(xué)”越來越多的呈現(xiàn)在世人的面前。與此同時(shí)，人們不得不承認(rèn)進(jìn)入計(jì)算機(jī)時(shí)代，東方的“算學(xué)”恰好是符合時(shí)代要求的。他是這個(gè)時(shí)代最適合的，也是最現(xiàn)代的數(shù)學(xué)。自此，東方數(shù)學(xué)漸漸的走出了西方數(shù)學(xué)（現(xiàn)代數(shù)學(xué)）的陰影，走到了人們的面前。本文試圖以劉徽割圓術(shù)和阿基米德的拋物弓形求積法為例來比較分析東西方數(shù)學(xué)的異同點(diǎn)。全文分為三部分，首先介紹劉徽割圓術(shù)，然后介紹阿基米德及物弓形求積法，最后將以二者為例對東、西方的數(shù)學(xué)做以對比和分析。

【關(guān)鍵詞】算學(xué) 劉徽 割圓術(shù) 阿基米德 拋物弓形求積法 算法

【中圖分類號】G52 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0138-01

本文將分別介紹我國偉大數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)和古希臘的“數(shù)學(xué)之神”阿基米德的拋物弓形求積法。以二者為例來比較分析東、西方數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系。下面將先對劉徽割圓術(shù)做個(gè)簡單的介紹。

1.劉徽割圓術(shù)

如圖一，設(shè)BC為圓內(nèi)接正n變形的一個(gè)邊。平分BC弧于A，則BA，AC均為圓內(nèi)接正2n邊形的一邊。半徑OA與BC接于Q。在原內(nèi)接正多邊形任一邊BC之外，尚有余出的一段AQ，AQ稱為“余經(jīng)”。在直角三角形OQC中OC為直徑，CQ為圓內(nèi)接正n邊形邊長的一半。故可據(jù)勾股定理求出OQ，OQ=■。于是，余經(jīng)AQ亦可求。AQ=OA-OQ。在直角三角形AQC中，又可按勾股定理求出AC，AC=■，AC就是圓內(nèi)接正2n邊形的邊長。每次把邊數(shù)加倍，仿此推算，利用這種循環(huán)的算法，劉徽求出了圓內(nèi)接正96邊形的邊長。又因?yàn)镺A×BC等于四邊形OBAC面積的2倍。而圓內(nèi)接正2n邊形的面積等于■·DA·BC。

由此可見，據(jù)圓內(nèi)接正n邊形的邊長和圓的半徑，即可求出圓內(nèi)接正2n邊形的邊長和面積。這個(gè)割圓過程能連續(xù)不斷地連續(xù)做下去。又BC×AQ即為以BC為底，AQ為高形成的長方形面積，有一部分在BC弧外。然而，當(dāng)無限等分圓周使內(nèi)接正多邊形與圓相合時(shí)，余經(jīng)消失，弧外部分的面積便為零。設(shè)S為圓面積，Sn表示圓內(nèi)接正n邊形面積，S2n為圓內(nèi)接正2n邊形的面積。則

n·BC×AQ=2（S2n-Sn）

Sn+2（S2n-Sn）=S2n+（S2n-Sn）>S

即 S2n

式中（S2n-Sn）稱為“差冪”。當(dāng)n很大時(shí)，差冪就很小，因而S2n很接近S。當(dāng)n無窮大時(shí)，（S2n？鄴Sn）就是無窮?。ㄚ吔诹悖Ｋ許2n接近于S。劉徽從圓內(nèi)接正六邊形算起，相繼推算出正192邊形的面積S192=314.■方寸。由于圓半徑等于單位長，為了計(jì)算方便，可以舍去S192中分?jǐn)?shù)部分就不難推算出圓周率π=3.14。劉徽得到π的值是3.1416.

2. 阿基米德拋物弓形求積法

如圖（二），設(shè)QPq是弓形，并設(shè)PV是直徑，它平分弓形中所有平行與底邊Qq的弦。因而V是Qq的中點(diǎn)，從直觀上顯然可以看出，并在前面的命題中證明：P處的切線平行于Qq，其次作QR及qS平行于PV。于是三角形QPq是平行四邊形QRSq的一半。所以三角形QPq大于拋物弓形的一半。所以三角形QPq大于拋物弓形的一半。

作為這個(gè)定理的一個(gè)推論，阿基米德證明拋物弓形可用一個(gè)多邊形任意接近。若在PQ所割出的弓形里（其中P1，V1是該弓形的直徑）作一三角形后，可用簡單的幾何證明：三角形PP1Q的面積=（1/8）三角形PQq的面積。因此，三角形PP1Q和作在Pq上的三角形PP′1Q（它也有三角形PP1Q那樣的性質(zhì)）合在一起是三角形PQq的1/4；而且根據(jù)上一段的結(jié)果，這兩個(gè)較小三角形填滿所在的拋物弓形的一半以上。在新弦Q P1，P1P，P P′1和P′1q上作三角形的過程可以繼續(xù)下去。就是說，現(xiàn)在可以說，拋物線弓形可用這樣的多邊形面積來逼近。他是在原來的三角形PQq上加添一系列三角形而得到的。

即可以用面積：

△PQq+（1/4）△PQq+（1/6）△PQq+…+ （★）

中取有限項(xiàng)來逼近；換言之，弓形（★）式中取有限項(xiàng)之和的差可以弄的比任何預(yù)先指定的量小。設(shè)

A1=△PQq，A2=■△PQq，A3=■△PQq，…，An=■△PQq

所以直到n級的三角形面積和為：

In=A1+A2+A3+…An

=A1（1+■+■+…+■）

=A1·■=■A■-■·■A■=■A■-■A■

所以有：A1+A2+A3+…An+■An=■A1 （☆☆）

由此，取有限項(xiàng)之和得出結(jié)論，幾何證明成立。

3.比較分析

3.1分化背景的對比

阿基米德就是在古希臘數(shù)學(xué)的第三個(gè)時(shí)期是亞歷山大前期數(shù)學(xué)代表人物之一。在阿基米德之前的歐幾里得（Euclid），他的《幾何原本》使用公理化方法建立起演繹體系的最初典范。而阿基米德則在繼承前人的基礎(chǔ)上將計(jì)算技巧和邏輯分析結(jié)合起來，注意理論與實(shí)際的聯(lián)系，通過實(shí)踐直觀他洞察到事物的本質(zhì)。然后運(yùn)用邏輯方法使經(jīng)驗(yàn)上升為理論，在用理論去指導(dǎo)實(shí)踐工作。他開始了哲學(xué)的數(shù)學(xué)向科學(xué)的數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)更傾向于使用的方向發(fā)展，同時(shí)也體現(xiàn)出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)——嚴(yán)格的邏輯關(guān)系證明。

3.2方法的比較

劉徽的割圓術(shù)采用的是無窮小分割，在每一次分割都要經(jīng)過復(fù)雜的開方運(yùn)算才能得出結(jié)果。在劉徽那個(gè)原始的計(jì)算這就需要?jiǎng)⒒沼懈叱挠?jì)算機(jī)巧。但是劉徽知道他每計(jì)算出一個(gè)π值都是近似的，也就是用多邊形面積去逼近圓的面積。利用“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”的原理，無限次的增加正多邊形的邊數(shù)，而這一系列正多邊形面積的極限就是圓的面積。劉徽的方法不但表現(xiàn)了極限思想，并將π值精確到了3.1416。同時(shí)他為后人推算精確π值提供了一種方法。有了這種方法，祖沖之才將π推算到了3.1415926到3.1415927之間。

3.3影響的對比

從以上的分析中，我們可以看出，阿基米德即繼承了希臘古典時(shí)代數(shù)學(xué)以幾何為主體的嚴(yán)密的系統(tǒng)，又接受了亞歷山大社會(huì)注重實(shí)用的傾向。他的研究工作明顯地表現(xiàn)了時(shí)代的特征——發(fā)現(xiàn)結(jié)果與證明結(jié)果并重。而劉徽的割圓術(shù)主要體現(xiàn)在計(jì)算上。這也正是中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)最顯著的特點(diǎn)。劉徽的方法雖沒有嚴(yán)格的證明，但是他的算法思想和極限思想?yún)s走在中國乃至于世界的先列。

總之，劉徽的割圓術(shù)和阿基米德的拋物弓形求積法各自在不同的文化背景中產(chǎn)生。他們的思想內(nèi)容和表達(dá)式上正體現(xiàn)了東、西數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。而利用無窮小分割則是他們的不約而同之法。而此法與極限思想又是后來微積分學(xué)發(fā)展的前提和基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳文俊.中國數(shù)學(xué)家人文論壇.《東方數(shù)學(xué)的使命》