吳啟霞

【摘要】幾何畫板是一個(gè)“個(gè)性化” 面向?qū)W科的工具平臺(tái)，它在創(chuàng)設(shè)“問(wèn)題情景”，反映圖形運(yùn)動(dòng)變化，探究數(shù)學(xué)規(guī)律、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)課堂的教學(xué)效果等諸方面都有著獨(dú)到的作用，它提供了一個(gè)十分理想的讓學(xué)生積極探索問(wèn)題的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，幫助學(xué)生從實(shí)際操作中把握數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和問(wèn)題解決能力.本文就運(yùn)用幾何畫板更新高中圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容的最優(yōu)化、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等方面進(jìn)行了一些探討.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；課堂教學(xué)；過(guò)程優(yōu)化

在《圓錐曲線方程》的這一章教學(xué)中，曲線的圖像、性質(zhì)都比較抽象，只憑學(xué)生想象力是很難理解和掌握這些曲線與方程、圖像和性質(zhì)之間的相互關(guān)系.如何讓學(xué)生根據(jù)曲線的定義動(dòng)手，親自制作出較為精確的曲線，從而使學(xué)生在制作圖的過(guò)程中，領(lǐng)悟、理解進(jìn)而真正的建立起完整的圓錐曲線概念，進(jìn)而理解如雙曲線的漸近線、圓錐曲線與開口方向的關(guān)系、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等？ 筆者嘗試使用幾何畫板進(jìn)行整合教學(xué)，利用幾何畫板精確的畫圖功能、動(dòng)畫功能，就更新圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、促進(jìn)圓錐曲線教學(xué)的最優(yōu)化、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等方面進(jìn)行了一些探討，以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解、掌握，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.

一、優(yōu)化圓錐曲線的幾何性質(zhì)教學(xué)過(guò)程

1.幾何畫板在講解圓錐曲線定義中的應(yīng)用

幾何畫板中的作圖工具里，可以作出定點(diǎn)、定直線、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線，可以度量出兩定點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離及其這些距離的和、差功能，對(duì)于橢圓上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的和是一個(gè)常數(shù)它也能夠用直觀的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái).比如在講橢圓定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)得軌跡”著手，如圖（1），令線段AB的長(zhǎng)為“定值”，點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，分別以F1、F2為圓心，AM、BM的長(zhǎng)為半徑作圓，先讓學(xué)生猜測(cè)這兩圓的交點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么圖形，等學(xué)生各抒己見(jiàn)之后，老師進(jìn)行演示，學(xué)生豁然開朗：“原來(lái)是一個(gè)橢圓”.這時(shí)老師繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)A，試圖改變線段AB的長(zhǎng)度，學(xué)生開始認(rèn)真的思索，當(dāng)AB=F1F2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，最后比較容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)AB

2.通過(guò)圓錐曲線第二定義探究曲線的離心率與開口大小之間的關(guān)系

運(yùn)用幾何畫板作出如圖（2）圓錐曲線的圖像，拖動(dòng)點(diǎn)E，則離心率e的值隨之變化，此時(shí)圖形也相應(yīng)變化，當(dāng)01時(shí)，圖形改變?yōu)殡p曲線，若e越大，雙曲線的開口越大.

3.幫助學(xué)生理解雙曲線的漸近線

新課標(biāo)人教版圓錐曲線章節(jié)對(duì)雙曲線的漸近線沒(méi)有給出嚴(yán)格的定義，在黑板上也只能畫出粗略的簡(jiǎn)圖表示，學(xué)生較難想象更理解不了，在此借助幾何畫板就可以把雙曲線與漸近線之間的特殊關(guān)系準(zhǔn)確地顯示出來(lái)，如圖（3）所示，拖動(dòng)點(diǎn)F1或F2雙曲線開口會(huì)變大或變小，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在雙曲線與漸近線上，拖動(dòng)點(diǎn)P，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)向右平移，PQ的值越來(lái)越接近0，這說(shuō)明，在第一象限內(nèi)，雙曲線向右上方越來(lái)越接近相應(yīng)的漸近線，但是永遠(yuǎn)不會(huì)相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察過(guò)程中靈活的運(yùn)用幾何畫板的強(qiáng)大的動(dòng)畫功能，使圖形動(dòng)起來(lái)，且自然流暢，對(duì)想象能力相對(duì)差點(diǎn)的學(xué)生幫助很大.

4.探究拋物線的開口大小與p之間的關(guān)系

橢圓的圓、扁程度和雙曲線的開口大小與其離心率e有著密切的關(guān)系，然而拋物線的離心率是不變的.那么拋物線的開口大小跟什么有關(guān)呢？通過(guò)幾何畫板的演示、探究，如圖（4）以y2=2px（p>0）為例，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，拋物線的開口隨著p的變大而擴(kuò)大，且拋物線的焦點(diǎn)F也逐漸的向右平移，通徑AB的長(zhǎng)也隨著變長(zhǎng)，再通過(guò)幾何畫板強(qiáng)大的計(jì)算功能顯示，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)與通徑長(zhǎng)與p的代數(shù)關(guān)系，從而使學(xué)生比較容易理解拋物線的這一性質(zhì).

二、幾何畫板與圓錐曲線整合教學(xué)的效果分析

1.創(chuàng)設(shè)情境，改善認(rèn)知環(huán)境

創(chuàng)設(shè)情境是數(shù)學(xué)教學(xué)的前提條件，建構(gòu)主義教學(xué)理論也是強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)，它可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維情境.用幾何畫板創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，可以改善學(xué)生的認(rèn)知環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的建構(gòu).幾何畫板可以為圓錐曲線學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)與學(xué)習(xí)目標(biāo)直觀形象的數(shù)學(xué)情景.如：在學(xué)習(xí)橢圓第二定義時(shí)，學(xué)生會(huì)感到很困惑，如果直接用教材中的方式來(lái)定義，學(xué)生會(huì)更加摸不著頭腦，他們?cè)趯W(xué)習(xí)中會(huì)提出如此的問(wèn)題：第一定義和第二定義是否有本質(zhì)聯(lián)系？為什么要用這種方式對(duì)橢圓下第二個(gè)定義？如此的問(wèn)題，如果在傳統(tǒng)的方式下授課，換來(lái)的只有學(xué)生的盲目附和，無(wú)法將學(xué)生的疑惑解除.為此筆者借助幾何畫板另辟蹊徑，通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，改善認(rèn)知環(huán)境進(jìn)行整合教學(xué)，使學(xué)生煙消云散、茅塞頓開，進(jìn)而大大地增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

2.動(dòng)態(tài)展示教學(xué)的內(nèi)容，使靜態(tài)圖形動(dòng)起來(lái)、抽象的內(nèi)容形象化

幾何畫板的動(dòng)態(tài)功能將圓錐曲線的圖形動(dòng)起來(lái)，通過(guò)平移、縮放、旋轉(zhuǎn)及其翻折等多視角、多方位呈現(xiàn)圓錐曲線的圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合研究對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并且顯示對(duì)象的“軌跡”問(wèn)題、直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系、通過(guò)拖動(dòng)某個(gè)點(diǎn)觀察整個(gè)圓錐曲線的變化從而研究曲線方程中變量的關(guān)系，使抽象的曲線變得具體、形象、生動(dòng)且易于理解.比如，高三模擬考里的一道題目：討論方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲線？在講評(píng)試卷時(shí)，如果我們只是把它化成標(biāo)準(zhǔn)形式從理論到理論，靜態(tài)的探究，顯然不直觀.但是如果我們利用幾何畫板，把t值“動(dòng)起來(lái)”，可以觀察到當(dāng)t連續(xù)變化時(shí)，此方程表示的曲線是如何動(dòng)態(tài)的由“橫橢圓”變“豎橢圓”逐漸變成雙曲線.學(xué)生能夠直觀清晰的看到各種情況的演變，比起老師的講評(píng)更有說(shuō)服力，從而開闊了學(xué)生的思維.

三、反思

長(zhǎng)期以來(lái)，圓錐曲線一直被認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)里一個(gè)高度抽象的內(nèi)容，對(duì)于具有對(duì)稱美的標(biāo)準(zhǔn)方程和曲線圖像，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維軌跡常常受阻，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到抽象而被動(dòng)，不知如何思考、如何探索？幾何畫板與圓錐曲線的合理整合教學(xué)要求堅(jiān)持發(fā)現(xiàn)和探索原則，教師的教學(xué)實(shí)施能力是整合的必然要求，筆者認(rèn)為教師在具體運(yùn)用幾何畫板整合教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)：（1）要對(duì)教學(xué)內(nèi)容作精心編排，合理設(shè)計(jì)幾何畫板課件，為學(xué)生提供探究的線索和階梯；（2）要注意留給學(xué)生充分的思考空間和自由度；（3）幾何畫板整合教學(xué)要講究質(zhì)量和效果，且要有新意，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的內(nèi)容應(yīng)對(duì)傳統(tǒng)課堂教學(xué)方法難以達(dá)到的或者根本不可能達(dá)到的實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果的內(nèi)容，而不是為了實(shí)驗(yàn)教學(xué)而進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；（4）幾何畫板為學(xué)習(xí)更深層次的抽象的數(shù)學(xué)提供可能，但是它還是無(wú)法代替具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從教師的角度看，幾何畫板與圓錐曲線的整合教學(xué)只是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)方式的一種有益的補(bǔ)充，它促進(jìn)了教師教學(xué)思想的更新，使 “講授知識(shí)”的傳統(tǒng)模式向以“探索知識(shí)”為特色的模式轉(zhuǎn)變，這也正符合現(xiàn)在《新課程標(biāo)準(zhǔn)》所提倡的“三維目標(biāo)”的和諧統(tǒng)一及其時(shí)下提倡的研究性學(xué)習(xí)對(duì)教師的要求.

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