石愛琴

【摘 要】類比思維是一種縝密的推理思維，在高中數(shù)學這樣重要的學生邏輯思維培養(yǎng)階段，將類比思維融入到高中教學與實際解題應用中來強化數(shù)學概念，能加強學生的聯(lián)想能力，提高他們的類比分析思路，激發(fā)學習興趣，深化教學內(nèi)容，減少學生對于新知識的距離感。本文就簡要的探討一下類比思維的高中數(shù)學解題應用與教學實踐。

【關鍵詞】類比思維 數(shù)學教學 解題思路 教學設計 應用

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）08B-0109-02

在德國，著名心理教育學家Herbart認為類比思維融入到數(shù)學教學中應該分為四個階段，理解、聯(lián)想、系統(tǒng)和方法。這四個階段表明了從意識形態(tài)上的聯(lián)系，對比，到真正的系統(tǒng)實踐與練習的一個過程。它讓學生對數(shù)學知識理解更加深刻，運用更加熟練，記憶更加牢固。所以說，類比思維與數(shù)學教育凸顯了聯(lián)想與聯(lián)系的重要性，它鍛煉了人的思維靈活性。

一、類比思維在數(shù)學教學中的應用

通過初中數(shù)學的基礎教育之后，高中數(shù)學已經(jīng)進入了一個知識層面較為高端、概念相對抽象的學習階段，相對來說解題思路更加難以理解。不過從數(shù)學思維邏輯來看，概念與解題方面是有許多類似之處，如果利用類比思想進行教學，進行新舊知識的屬性對比，引導學生溫故知新，在舊知識的基礎上累積新知識，就可以構建一個穩(wěn)固的數(shù)學知識體系，形成所謂的類比聯(lián)想。這樣一個數(shù)學化的聯(lián)想過程就是類比思維的雛形，它是一個知識體系再創(chuàng)造的過程。

高中數(shù)學講究對學生獨立思考能力的挖掘，如果能合理運用思維方法，就能學好數(shù)學，因為高中數(shù)學雖有一定難度，但是它知識點的內(nèi)在聯(lián)系還是很豐富且有一定規(guī)律的，特別是蘊含于其中的類比思維解題方法。它能夠啟發(fā)和引導學生去進行類比學習，聯(lián)系知識點展開解題思維，從概念的深處挖掘和摸清知識與知識之間的關系，看到題目的“靈魂”，這就是類比在解題過程中的作用。

就拿等差數(shù)列來舉例，用等差數(shù)列類比等比數(shù)列，它的定義是前者為后項與前項之差，而后者為后項與前項之比，所以這就是等差與等比的類比思維，我們將等差數(shù)列中的一些實用性質(zhì)放入到以乘法類比的等比數(shù)列中。

比如在等差數(shù)列{bn}中，假設有正整數(shù)數(shù)列m，n，h，k，如果h+k=m+n，那么就可以推理出bh+bk=bm+bn，如果k=h，那么bm+bn=2bm+n/2。在此公式中，bm與bn就是等差中項。

在等比數(shù)列{dn}中，假設有正整數(shù)數(shù)列m，n，h，k，如果h+k=m+n，那么就可以推理出dh×dk=dm×dn，如果k=h，那么dm×dn=d2m+n/2。在此公式中，dm與dn就是等比中項。

以上就是類比思維下的等比數(shù)列與等差數(shù)列之間等比性質(zhì)的類比算法。在引入類比思維的數(shù)學學習中，理解與記憶十分重要，它能夠提高學生的推理邏輯能力，充分理解諸如上述這樣的數(shù)學題目。

二、運用類比思維的高中數(shù)學教學實踐

（一）類比數(shù)學教學設計思路的三個階段

階段一：尋找類比源，教師通過整理當堂所講內(nèi)容從教材中尋找類比源，然后根據(jù)學生已學習到的知識，在已有的學習體系結構上建構有類似屬性的新知識，這就是尋找有類似屬性的類比源。

階段二：尋找有效的類比條件。這一環(huán)節(jié)就是引導學生從舊的知識架構向新知識結構轉(zhuǎn)移，也是一種類比的循序漸進的模式。這一環(huán)節(jié)應該先帶領學生做好過往知識的復習，然后在尋求突破口來尋找新知識與舊知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，最后將知識點聯(lián)系起來，這有助于學生的更深層次理解。

階段三：在教授了新的知識后，要對其進行驗證。驗證的內(nèi)容就是對類比結果的驗證，證明新舊知識之間是否具有必然性，驗證新知識與舊知識的類比結果是否具有可行性和可信性。如果類比結果出現(xiàn)異常，應該重新驗證過程，為學生理清思路，進一步加深學生對于新知識的理解，關鍵是對知識體系的架構。

以上三個階段就是高中數(shù)學教學中融入類比思維的抽象教學流程，它將觀察、比較、分析和聯(lián)想一一歸納于一體，然后通過類比思想提出了種種猜想并加以驗證，具體情況結合數(shù)學題目具體分析，在教授新知識的時候重點以尋找它與舊知識的聯(lián)系作為切入思路，在喚起學生對舊知識回憶的同時，也加深了學生利用舊知識來解決新題目與鞏固新知識的積極性。

（二）數(shù)學教學的結構相似性類比推理

高中數(shù)學公式較多且抽象，所以學生記憶起來會比較吃力。一般教學中只注重公式的推倒過程，卻忽視了給學生的實踐實踐。在新課改背景下，運用類比思維進行數(shù)學推理更能培養(yǎng)學生合情推理的能力，這其中就包含了歸納和演繹，是一種類比推理能力的綜合表現(xiàn)。比如說對圓柱體體積公式的類比推理教學中就可以這樣進行教學設計，如下：

首先要進行類比教學的準備程序，引導學生在已學過的知識體系中尋找到類比的“本源”問題，在教師的問題設計引導下來尋求公式的解決方式。比如說在長方體的體積計算過程中，教師就可以首先利用視頻演示來進行相關的立體展示，幫助學生較為直觀的回憶起舊知識體系。

接下來就是類比教學的實施過程。此過程中，教師可以利用20本書進行對比試驗，讓學生動手的同時也動腦，較為直觀的看到兩個有效類比條件之間的關系，從而得到主體的體積計算公式。比如說，將20本相似的書摞成兩個柱體，并讓學生將其中一摞書成斜向放置。此時教師就可以提問這兩個由書形成的柱體雖然不同，但是體積有沒有發(fā)生變化，斜向柱體的體積計算是否可以用類似長方體的體積展開公式計算呢？考察學生對于柱體變化之后，對公式的應用和變通能力。

另外，教師也可以將硬紙才成圓形和三角形，并分別擺成相同的高度，形成兩個立體幾何體并展開提問，求問兩個幾何體是否是學生們所認為的柱體？兩個柱體的體積是否相等？并且給出依據(jù)。

這一類比思維下，學生能根據(jù)柱體本身的結構相似性，通過課堂實驗中的直觀感受，并借用長方體的體積運算公式進行類比，思考兩種相同紙張，不同形狀的兩個幾何形狀之間的體積關系，最后得出結論。上述兩個實驗過程就能驗證出類比的結論，從而幫助學生加深對長方體體積計算公式的深層次理解。

（三）具體的教學設計

應用1

1.教學重點

利用類比思維融入到對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)理解與學習中，從而掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域，最終做到可以利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)來比較函數(shù)之間的大小。

2.教學策略

在此教學設計中，教師作為學生學習的輔助者，充分引導學生的自主能動性，為他們滲透函數(shù)數(shù)學思想，鼓勵他們自覺的去發(fā)現(xiàn)類比思維在對數(shù)函數(shù)中的應用。最好以分組學習的方式，增加學生之間的互動，從而增強他們的求知欲望。

3.教學過程

教學過程主要就是學生分組進行小組內(nèi)的畫圖合作，探析類比歸納的性質(zhì)，并通過共同解決例題來學習對數(shù)函數(shù)。

4.教學設計意圖

高中數(shù)學函數(shù)具有一定難度，學生往往在運算中出錯，所以應該通過例題來考察學生對對數(shù)函數(shù)的全面理解，尤其是對定義域與底數(shù)范圍的理解。

例題1 如果函數(shù)y=f[lg（x+1）]的定義域為（0，99），此時求函數(shù)y=f[log2（x+2）]的定義域。

通過例題1，教師要引導學生對類比思考進行復習，從函數(shù)定義域的角度讓學生重新回憶起對對數(shù)函數(shù)的基本定義與定義域的性質(zhì)概念，結合舊知識解答例題1。

解：由于0應用2

用類比思維教學滲透和引導學生以正確的方法進行解題失分重要，它考驗了學生自己探索和研究的能力。高中數(shù)學知識體系講求不同的體系有不同的知識點構成，學生往往會形成知識點過于繁雜的厭倦抵觸心理，也很容易忘記之前學過的某些知識點，如果用不同的數(shù)學知識將這些知識點串聯(lián)起來，并找到他們的相似之處，就能夠讓新舊知識點形成新記憶，讓學生不容易忘記。

例如在不等式的學習中，有這樣的習題：當x，y，z為區(qū)間（0，1）內(nèi)的值時，證明x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1成立。那么根據(jù)區(qū)間關系就能知道，如果（1-x）（1-y）（1-z）>0，就可以通過上述假設成立公式進行結合，得到x+y+z-xy-yz=zx<1-xyz<1，用類比的思維將兩式聯(lián)合，就可以得到以上結論，左邊的公式恰好為假設公式中左邊的式子。

通過上述兩個例子可以知道，類比思維并不是一下就能形成的，而是需要經(jīng)歷一個過程。學生學習數(shù)學思維的形成往往會因為外界的環(huán)境影響而發(fā)生不同的變化，包括對自身的認知與改變，所以要提高數(shù)學教學的質(zhì)量，就要靈活運用類比思維，在打好學生高中數(shù)學的基礎之上，引導學生進入類比思維解題模式。類比思維是能夠形成創(chuàng)新性的最直接途徑，若能掌握它，學生也能從中得到新的啟發(fā)，并找到突破數(shù)學學習瓶頸的捷徑。

綜上所述，在數(shù)學教學中靈活合理的運用類比思維，對數(shù)學這種注重邏輯思維的教學來說會達到事半功倍的效果，還能夠充分鍛煉學生的數(shù)學思維。

【參考文獻】

[1] 倪興龍.類比思維在高中數(shù)學教學和解題中的運用考述[J].語數(shù)外學習（數(shù)學教育），2013（2）

[2] 杜長固.類比推理在高中數(shù)學教學實踐中的應用研究[J].中國校外教育（上旬刊），2013（12）

[3] 肖娜.類比思想在高中數(shù)學課堂教學中的應用研究[D].華中師范大學，2014

（責編 羅汝君）