李揚(yáng)

摘 要：由于中學(xué)數(shù)學(xué)最值問題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各數(shù)學(xué)學(xué)科之中，且與生產(chǎn)實(shí)際聯(lián)系密切，同時(shí)它又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中最值問題的基礎(chǔ)。因此，最值問題歷來是各類考試的熱點(diǎn)，其中三角函數(shù)的最值問題是函數(shù)最值和幾何最值的重要組成部分，本文淺析三角函數(shù)中最值問題的應(yīng)用，讓學(xué)生以及讀者對(duì)最值問題在代數(shù)及幾何問題中的解決方法有個(gè)總體的認(rèn)識(shí)，并為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：最值問題；三角函數(shù)；解法總結(jié)；系統(tǒng)分析

一、三角函數(shù)最值問題的題型歸納及解法策略

在現(xiàn)階段中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值問題中，題目給出的三角關(guān)系式往往比較復(fù)雜，進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行歸納，主要有以下6種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)最值問題都可以解決。

1.y=asinx+bcosx型的函數(shù)

這樣的函數(shù)是我們經(jīng)常遇到的，對(duì)于這樣的題型處理思想應(yīng)該引入輔助角，化為y=sin（x+），利用函數(shù)即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類，下面介紹一道實(shí)例來體會(huì)感受其中的方法。

例1 已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；

（3）若當(dāng)x∈[，]時(shí)，f（x）的反函數(shù)為f-1（x），求f--1（1）的值.

從上面這道例題可以清晰地看出，這一類的三角函數(shù)的最值求解中運(yùn)用的基本的方

法是“利用輔助角法”，將較復(fù)雜的三角式轉(zhuǎn)化成“Asin（）” 的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時(shí)，也應(yīng)對(duì)自變量的取值范圍要仔細(xì)地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù)

這樣的函數(shù)題型看上去很長(zhǎng)，也很復(fù)雜，但是其中有一定的規(guī)律，通過下面這樣一個(gè)實(shí)例，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它其中的玄機(jī)。處理方式是降冪，再化為“Asin（）”的形式來解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值時(shí)的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)

在三角函數(shù)的題型中，這題型是比較常見的，經(jīng)常和其它函數(shù)一起應(yīng)用，特別是出現(xiàn)在“存在”問題中，對(duì)于這類題型的處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來求解。下面通過一道例題來體會(huì)這方法。

例3 是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a-在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由.

分析：

這道題就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，只是其自變量變?yōu)閏osx。值得注意的是在運(yùn)用這個(gè)方法前，首先要將引用三角比之間的轉(zhuǎn)換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。在題目條件沒有給你限制條件時(shí)，任何一種那個(gè)情況都應(yīng)該作分類討論，當(dāng)然要結(jié)合已有的法則和三角函數(shù)相關(guān)的公式，及三角函數(shù)隱藏的條件，這樣才能做到解題全面。

綜合上述知，存在符合題設(shè)。

4. y=型的函數(shù)

這是一個(gè)分?jǐn)?shù)形式的求三角函數(shù)最值的題型，往往出現(xiàn)在需要轉(zhuǎn)化思想的綜合題目中，下面介紹這個(gè)例題，讓同學(xué)有直觀感覺。

例4求函數(shù)y=的最大值和最小值。

對(duì)于這一類題型，分子、分母只有常數(shù)項(xiàng)不同的三角函數(shù)式，便可以在分子中添置輔助項(xiàng)后，通過恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數(shù)式，只需研究分母的最值，就能求出原函數(shù)的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時(shí)，這個(gè)“翻下去”的式子不能為零，如果這個(gè)式子可能為零，則應(yīng)將為零的情況另作處理?！霸O(shè)其不為零的”情況下繼續(xù)解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來考慮最值。

5.y=sinxcos2x型的函數(shù)

這樣的三角函數(shù)題型有一定的難度，并且有的題目角和函數(shù)很難統(tǒng)一，還會(huì)出現(xiàn)次數(shù)太高的問題，這是關(guān)于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中數(shù)學(xué)中涉及三次函數(shù)的最值問題，幾乎都用均值不等式來求解。但需要注意是否符合應(yīng)用的條件及等號(hào)是否能取得。下面介紹一個(gè)實(shí)例來體會(huì)均值不等式的方法。

例5 在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角θ的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即I=k·，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？

6.含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式

在這樣混合的函數(shù)式中，也是經(jīng)常會(huì)遇到的，對(duì)于含有sinx±cosx，sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t，，將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。通過下面這個(gè)例題了解這樣的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函數(shù)y=cos（sinx）的值域

結(jié)合如圖1 所示：y=cos（sinx）的圖像，知cos1=cos（-1）<1，cos0=1

例8 如圖2：ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點(diǎn)，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR，求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)的最大值與最小值。

解：如圖2，連結(jié)AP，設(shè)，延長(zhǎng)RP交AB于M，

則，，故矩形PQCR的面積

設(shè)，

，故當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

例9 如圖3所示，一個(gè)摩天輪半徑為10米，輪子的底部在地面上2米處，如果此摩天輪每20秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處（點(diǎn)P與摩天輪中心O高度相同）時(shí)開始計(jì)時(shí)，

（1） 求此人相對(duì)于地面的高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；

（2） 在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不超過10米。

解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪上某人在Q處，則在t秒內(nèi)OQ轉(zhuǎn)過的角為，所以t秒時(shí)，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故在t秒時(shí)此人相對(duì)于地面的高度為（米）

（2）令，則

Fig 2-4 Example 9 here

二、對(duì)三角函數(shù)最值問題的小結(jié)

1.求三角函數(shù)最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；

（2）化同角函數(shù)法（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；

（3）數(shù)形結(jié)合法（常用到直線的斜率關(guān)系）；

（4）換元法（如萬能公式，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之類的情如運(yùn)用均值不等式等）；

（6）降冪法（主要利用三角函數(shù)的基本公式和定義）。

2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)所給出的區(qū)間：

（1）求三角函數(shù)最值時(shí)，一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性。

（2）含參數(shù)函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響。

（3）在涉及到綜合實(shí)際生產(chǎn)并運(yùn)用基本不等式法解最值問題時(shí)，需要注意所得結(jié)果是否符合實(shí)際情況及等號(hào)是否取得到。

3.如“表1求解三角函數(shù)最值的常用方法”是個(gè)人對(duì)以上題型及解法的總結(jié)。

表1 求解三角函數(shù)最值的常用方法

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