胡仕強(qiáng)

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一、引 言

金融機(jī)構(gòu)在未來償還債務(wù)本金和支付利息時(shí)會產(chǎn)生一系列現(xiàn)金流，因此需要構(gòu)造債券的投資組合以滿足其債務(wù)償還的承諾，即為免疫策略，更確切地說，是利率免疫策略。實(shí)施這一策略可以最大程度地降低利率變化對組合價(jià)值的影響，因此在資產(chǎn)負(fù)債管理中得到了廣泛的研究和應(yīng)用，代表性的文獻(xiàn)有 Longstaff and Schwartz(1995)［1］和poitras and Jovanovic(2007)［2］等。同樣的，壽險(xiǎn)及年金保單的保費(fèi)及準(zhǔn)備金作為保險(xiǎn)公司的負(fù)債也會受到利率的影響。Redington(1952)首先研究了保單負(fù)債的利率免疫問題，給出了利力變化的一階條件:流入現(xiàn)金的久期應(yīng)該等于流出現(xiàn)金的久期，即久期匹配策略［3］。之后Fisher and Weil(1971)和Shiu(1988)又拓展了Redington(1952)的免疫理論，進(jìn)一步研究了單一負(fù)債和多負(fù)債免疫問題［4］［5］。這個(gè)領(lǐng)域較新的文獻(xiàn)有Courtois and Denuit(2007)和Tsai(2009)等，但其關(guān)注的仍是利率風(fēng)險(xiǎn)［6］［7］。

實(shí)際上，發(fā)行壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品的保險(xiǎn)公司不僅要承擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)，而且面臨死亡率和長壽風(fēng)險(xiǎn)的沖擊，這對其財(cái)務(wù)狀況和償付能力都提出了更高的要求。資本市場在資金數(shù)量、流動性方面有其先天優(yōu)勢，因此近年來利用資本市場轉(zhuǎn)移長壽風(fēng)險(xiǎn)作為一種可行的解決方案在理論和實(shí)務(wù)上都獲得了長足的發(fā)展，相關(guān)文獻(xiàn)有Hanewald(2011)［8］、Deng et al．(2012)［9］等。實(shí)務(wù)上，自2003年Swiss Re首次發(fā)行死亡率巨災(zāi)債券以來，歐美發(fā)達(dá)國家已經(jīng)相繼推出長壽債券、死亡率遠(yuǎn)期(q－遠(yuǎn)期)和長壽互換合同等長壽連接型金融創(chuàng)新產(chǎn)品。

與長壽風(fēng)險(xiǎn)的資本市場解決方案相比，一種被稱為行業(yè)自保的長壽風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)對策略受到的關(guān)注相對較少。該方案的基本原理是利用壽險(xiǎn)保單和年金保單對長壽風(fēng)險(xiǎn)相反的風(fēng)險(xiǎn)敞口來對沖風(fēng)險(xiǎn)。如果實(shí)際死亡率相對于預(yù)期值獲得改善，壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)將因其死亡賠付比初始預(yù)期的延遲而獲利，而年金業(yè)務(wù)將因其支付期限長于初始預(yù)期而遭受損失，因此壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)將成為年金業(yè)務(wù)長壽風(fēng)險(xiǎn)的一種對沖工具。相對于資本市場解決方案，自然對沖的優(yōu)勢是不需要一個(gè)流動性市場，可以避開長壽衍生產(chǎn)品發(fā)行、監(jiān)管等法律和制度上的保障需求，也可以減少安排交易的成本。但是，自然對沖思想細(xì)化的一個(gè)重要問題是:在保險(xiǎn)公司內(nèi)部壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)和年金業(yè)務(wù)應(yīng)該保持一種怎樣的份額比例才能有效對沖長壽風(fēng)險(xiǎn)?本文參照Wang et al(2010)［10］拓展利率免疫理論，利用死亡率免疫理論來討論保險(xiǎn)公司內(nèi)部壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品的長壽風(fēng)險(xiǎn)對沖問題。

二、死亡率久期和凸性

保險(xiǎn)公司的總負(fù)債是壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的負(fù)債和年金業(yè)務(wù)的負(fù)債之和，即V=VL+VA，其中，VL是壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的負(fù)債，VA是年金業(yè)務(wù)的負(fù)債，V是總負(fù)債。為了簡化起見，假設(shè)一個(gè)常數(shù)的死力μ，死亡率變化對負(fù)債的影響可由Taylor展開式表示如下:

其中ε為誤差項(xiàng)。為了達(dá)到免疫效果，當(dāng)死亡率變化時(shí)，總負(fù)債不受影響，即(1)式為0，如果取一階近似，將V=VL+VA帶入并適當(dāng)變形，得到:

仿照利率修正久期的定義，并考慮死亡率改善對壽險(xiǎn)保單負(fù)債的正向關(guān)系及其對年金保單負(fù)債的反向關(guān)系，分別定義壽險(xiǎn)負(fù)債的死亡率久期DL和年金負(fù)債的死亡率久期DA:和DA=(2)式可以變形為:

保險(xiǎn)公司的壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)和年金業(yè)務(wù)的組合中，各業(yè)務(wù)保單負(fù)債在總負(fù)債中的比例只要滿足(4)式，就可以利用自身內(nèi)部的壽險(xiǎn)和年金業(yè)務(wù)進(jìn)行自然對沖，使未來的總負(fù)債免受死力改善，即長壽風(fēng)險(xiǎn)的影響。這樣問題就歸結(jié)為求壽險(xiǎn)保單和年金保單的死亡率修正久期。為了計(jì)算方便，仿照利率近似久期的計(jì)算方法推導(dǎo)死亡率近似修正久期的公式。假設(shè)V0L是壽險(xiǎn)保單的初始負(fù)債，Δμ是死力變化的絕對值，V+L表示死力下降一個(gè)很小幅度時(shí)壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的新負(fù)債，V－L表示死力上升一個(gè)很小幅度時(shí)壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的新負(fù)債，ΔVL是負(fù)債波動的絕對值，得到:

修正久期與債券初始價(jià)格的乘積是凸?fàn)畹膬r(jià)格——收益率曲線在某點(diǎn)上的線性估計(jì)，這決定了在收益率變動不大的情況下，利用久期估計(jì)價(jià)格變化會比較準(zhǔn)確，而在收益率變化較大的情況下，必須考慮價(jià)格——收益率曲線的凸性性質(zhì)。同樣道理，在死亡率變動較大的情況下，必須考慮保險(xiǎn)公司負(fù)債——死力曲線的凸性才能更準(zhǔn)確地預(yù)測負(fù)債變化。因此，定義死力凸性如下:表示壽險(xiǎn)負(fù)債的死亡率凸性，表示年金負(fù)債的死亡率凸性。應(yīng)用類似于久期的近似算法，可以得到死亡率凸性的計(jì)算公式:

三、死亡率免疫策略的數(shù)值分析

(一)基本假設(shè)及死亡率改善對負(fù)債的影響

假定保險(xiǎn)公司只出售壽險(xiǎn)和年金兩種產(chǎn)品，并將涉及的保險(xiǎn)產(chǎn)品各種定價(jià)因素約定如表1所示:

表1 保險(xiǎn)產(chǎn)品的基本定價(jià)因素設(shè)定

為了研究年齡、性別和期限等的影響，對壽險(xiǎn)產(chǎn)品將分別考慮30歲和40歲的被保險(xiǎn)人，年金產(chǎn)品將分別考慮40歲和45歲的被保險(xiǎn)人，男性、女性分別計(jì)算，計(jì)算20年、30年和終生保險(xiǎn)，采用躉繳保費(fèi)形式，利率穩(wěn)定在3%，年金分別考慮15年延期和20年延期以考察影響死亡率久期的延期效應(yīng)，定價(jià)生命表采用中國保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表2000－2003中的CL1和CL2。

為了考察死亡率改善對壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品負(fù)債的影響，利用CL1模擬計(jì)算死力下降10%分別對30歲男性壽險(xiǎn)和40歲男性年金產(chǎn)品的負(fù)債的沖擊，每種保單都考慮20年期、30年期和終生三種期限，計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 死亡率降低10%對壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品負(fù)債的影響

表2顯示，20年定期、30年定期和終生壽險(xiǎn)保單負(fù)債分別下降9.85%、9.65%和2.91%，壽險(xiǎn)保單負(fù)債與死亡率變化的方向相同，且壽險(xiǎn)保單負(fù)債的死亡率敏感性隨著保險(xiǎn)期限延長而降低;而20年期、30年期和終生年金的負(fù)債分別增加2.27%、3.31%和3.69%，即年金保單負(fù)債與死亡率變化方向相反，且其死亡率敏感性隨著期限的延長而提高，終生年金受死亡率改善的沖擊最大。

(二)死亡率久期和凸性的影響因素分析

與債券價(jià)格的利率敏感性受票面利率、到期時(shí)間和初始收益率三個(gè)因素的影響一樣，保單負(fù)債的死亡率敏感性也會受被保險(xiǎn)人年齡、性別、保險(xiǎn)期限和延期期限等因素的影響。因此分別按表1對年齡、保險(xiǎn)期限和延期期限的設(shè)定來計(jì)算死亡率久期。

表3 死亡率久期的影響因素

表3顯示:(1)壽險(xiǎn)保單在其他條件相同時(shí)，久期將隨期限的延長而減小、隨年齡的增加而減小;(2)年金保單在其他條件相同時(shí)，年金的給付期限、年齡和延期年限都與久期絕對值成正向關(guān)系，且相同年限的延期效應(yīng)大于年齡效應(yīng);(3)其他條件相同時(shí)，女性年金的死亡率久期絕對值均小于男性的相應(yīng)值，女性壽險(xiǎn)的死亡率久期均大于男性的相應(yīng)值(終生壽險(xiǎn)除外)。這一規(guī)律性變化對實(shí)際進(jìn)行自然對沖時(shí)選擇調(diào)整保單種類將具有重要的指導(dǎo)意義。

表3數(shù)據(jù)結(jié)合(1)式可以預(yù)測死亡率變動導(dǎo)致的負(fù)債變動，如對30歲男性的20年定期保險(xiǎn)，如果僅考慮久期，則死亡率下降10%將導(dǎo)致負(fù)債下降9.84%，這和表2實(shí)際計(jì)算值9.85%僅相差0.01%。當(dāng)然死亡率變動較大時(shí)就必須考慮死亡率凸性的影響。實(shí)際上，根據(jù)(6)式和表3，可以考察死亡率凸性的影響因素，計(jì)算結(jié)果表明死亡率凸性和死亡率久期性質(zhì)相似。此外，按照表2思路可以分析凸性對保單負(fù)債變化預(yù)測的影響。如30年男性20定期保險(xiǎn)，考慮凸性后死亡率下降10%，負(fù)債變動預(yù)測結(jié)果僅變化0.0325%?？紤]到長壽風(fēng)險(xiǎn)是長期緩慢實(shí)現(xiàn)的，死亡率的下降不會太大，因此凸性對預(yù)測結(jié)果的影響將更小，可以忽略不計(jì)①限于篇幅，計(jì)算數(shù)據(jù)與表格分析略去。。

(三)長壽風(fēng)險(xiǎn)對沖比例

由(4)式，定義如下比例:

即當(dāng)壽險(xiǎn)負(fù)債的比例與年金負(fù)債的比例之比等于年金久期與壽險(xiǎn)久期之比時(shí)，長壽風(fēng)險(xiǎn)得以全部對沖。

根據(jù)(7)式的最后一個(gè)等式，比例ρ可以理解成壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)和年金業(yè)務(wù)中達(dá)到完全的死亡率風(fēng)險(xiǎn)對沖時(shí)，兩種業(yè)務(wù)的金額應(yīng)滿足的比例。以40歲男性年金保單為例，計(jì)算對沖一元該保單的長壽風(fēng)險(xiǎn)所需要的壽險(xiǎn)保單的金額。為了比較對沖效果，分別計(jì)算所需的30歲男性、30歲女性、40歲男性、40歲女性不同期限壽險(xiǎn)保單的金額。

表4 壽險(xiǎn)與年金保單完全對沖的金額比例

表4值是壽險(xiǎn)和年金負(fù)債組合可以免受長壽風(fēng)險(xiǎn)沖擊的下限，即對沖單位金額年金保單中的長壽風(fēng)險(xiǎn)所需的最小壽險(xiǎn)保單金額。表4結(jié)果顯示，就20年期的年金而言，為了對沖年金的長壽風(fēng)險(xiǎn)，每賣出一元的年金保單，需要同時(shí)賣出0.227元的30歲男性20年定期壽險(xiǎn)保單，或者0.232元的30歲男性30年定期壽險(xiǎn)保單，或者0.796元的30歲男性終生壽險(xiǎn)保單?？梢?，終生年金面臨的長壽風(fēng)險(xiǎn)最大，而終生壽險(xiǎn)保單對沖長壽風(fēng)險(xiǎn)的效果最不明顯。

對于固定的年金保單，ρ比例將隨著壽險(xiǎn)保單的年齡和期限的增加而增加，并且女性小于男性;對于固定的壽險(xiǎn)保單，ρ比例將隨著年金保單的年齡、保險(xiǎn)期限和延期時(shí)間而增加，同樣，女性年金保單的ρ比例小于男性。

四、結(jié)論與建議

本文拓展了利率免疫理論，給出了死亡率久期和凸性的定義、計(jì)算方法，并探討了影響保單久期和凸性的因素，結(jié)果顯示:

壽險(xiǎn)保單的久期與被保險(xiǎn)人年齡、保險(xiǎn)期限成反比，且女性保單的久期大于相應(yīng)男性保單的久期;年金保單的久期絕對值與被保險(xiǎn)人年齡、保險(xiǎn)期限、延期期限成正比，且女性保單的久期絕對值小于相應(yīng)男性保單的久期絕對值;死亡率凸性具有和久期一致的特性。

對于年金保單，達(dá)到長壽風(fēng)險(xiǎn)完全自然對沖的最小ρ比例將隨著所選擇的壽險(xiǎn)保單被保險(xiǎn)人的年齡和保險(xiǎn)期限的增加而增加，且女性壽險(xiǎn)保單的比例小于相應(yīng)男性壽險(xiǎn)保單的比例;對于壽險(xiǎn)保單，ρ比例將隨著所對沖的年金保單被保險(xiǎn)人年齡、保險(xiǎn)期限和延期期限的增加而增加，且女性年金保單對應(yīng)的比例小于相應(yīng)男性年金保單的比例。

本文雖然僅討論了單一壽險(xiǎn)產(chǎn)品和單一年金產(chǎn)品的久期、凸性及其對沖問題，但對于不同年齡、期限和性別等的壽險(xiǎn)產(chǎn)品組合和年金產(chǎn)品組合，其久期、凸性也較易求得。計(jì)算方法是分別對壽險(xiǎn)組合和年金組合中的所有產(chǎn)品求加權(quán)平均數(shù)，其權(quán)重就是各產(chǎn)品的價(jià)格占組合總價(jià)值的比重。在計(jì)算出壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品組合的久期和凸性之后，其對沖ρ比例的計(jì)算就可以按公式(7)的方法求得。

相對于發(fā)行長壽債券、長壽互換和死亡率遠(yuǎn)期等長壽衍生產(chǎn)品，通過資本市場來轉(zhuǎn)移長壽風(fēng)險(xiǎn)的方案，自然對沖的優(yōu)勢是避開了長壽衍生產(chǎn)品所需的發(fā)行、監(jiān)管等法律和制度上的保障需求，大大降低了安排交易的成本，這對于深受長壽風(fēng)險(xiǎn)影響而又不具備發(fā)行長壽衍生產(chǎn)品條件的我國來說，更具有現(xiàn)實(shí)意義。同時(shí)，按照本文的思想，保險(xiǎn)公司想要完全對沖其年金產(chǎn)品面臨的長壽風(fēng)險(xiǎn)，只要有意識地調(diào)整其壽險(xiǎn)和年金產(chǎn)品的銷售數(shù)量和金額，獲得大于或等于最低門檻值ρ的任何一個(gè)比例都可以達(dá)到目標(biāo)，這給保險(xiǎn)公司提供了足夠的決策空間，不至于因?qū)_長壽風(fēng)險(xiǎn)而影響對壽險(xiǎn)與年金業(yè)務(wù)比重的其他考量;即使保險(xiǎn)公司兩種業(yè)務(wù)達(dá)不到最小的ρ比例，也會產(chǎn)生部分對沖的效果，公司仍然可以統(tǒng)籌考慮其他的對沖策略來補(bǔ)充配合，因此自然對沖作為保險(xiǎn)公司應(yīng)對長壽風(fēng)險(xiǎn)的一種思路和選擇，具有較大的靈活性和可操作性。

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