蒲大勇

[摘 要] 初中生學習數(shù)學的一般規(guī)律是：從具體到抽象，從特殊到一般，從過程到結論，從知覺到空間，從感性到理性，教學應遵循學生的認知規(guī)律.

[關鍵詞] 初中數(shù)學；認知規(guī)律；案例剖析

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》指出：課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律. 認知心理學研究表明，學生認識事物的一般規(guī)律是：從具體到抽象，從特殊到一般，從過程到結論，從知覺到空間，從感性到理性，從整體到局部. 教學理應遵循這些規(guī)律，然而，初中數(shù)學教學中違背這些規(guī)律的現(xiàn)象并不鮮見，導致課堂教學價值流失. 筆者把平時課堂觀察到的一些實例及改進實踐整理出來，以饗讀者.

■ 具體與抽象

從思維發(fā)展的角度來看，初中生處在半幼稚、半成熟的過渡時期，抽象思維水平仍然較低，處于從直覺經(jīng)驗型思維向邏輯思維的過渡階段，其邏輯思維層次仍處在形式邏輯思維階段，辯證思維還只處在萌芽和初始狀態(tài)上，因此，初中生對數(shù)學知識的理解、判斷、推理，在很大程度上仍然離不開直觀形象的支撐，呈現(xiàn)知識時應做到從具體到抽象.

案例1？搖 “一元一次方程”概念教學片斷——

師：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫一元一次方程. 這個概念有四個關鍵點需要注意，一是只含一個未知數(shù)；二是未知數(shù)的次數(shù)都是1；三是等式；四是每個式子都是整式.（板書）

師：判斷下列式子哪些是一元一次方程？哪些不是？為什么？

（1）2x=1；？搖 （2）3x+4=7；

（3）4y-3=■；？搖 （4）3x+4y=12；

（5）y2=4+y； （6）xy=7；

（7）■m-5=0； ？搖 （8）■+3=5；

（9）x2-l=0；？搖 （10）x=8；

（11）a+8；？搖？搖 ？搖（12）0.75y+8=0.

學生分組討論后，派代表回答. 多數(shù)學生能夠找出一元一次方程，但個別學生對（3）（6）（7）（8）（10）等式子感到迷惑.

剖析？搖 教師把抽象的“一元一次方程”概念直接告訴了學生，并越俎代庖地把一元一次方程的本質(zhì)特征也給抽象了，而學生則“懷揣”老師抽象的“一元一次方程”去對每個“具體”式子進行判斷. 通過課堂觀察，學生對（3）（6）（7）（8）（10）等式子的判斷有障礙，原因是學生對一元一次方程的本質(zhì)理解不夠深刻，而導致這種結果的根源是教師違反了初中生“從具體到抽象”的認知規(guī)律，沒有讓學生通過具體的實例自己抽象、概括出一元一次方程的概念.

改進實踐？搖 問題1：觀察下列幾個式子，它們有什么共同特點？

（1）4x=24；

（2）1700+150x=2450；

（3）0.52x -（1-0.52）x=80.

生1：這三個式子都是等式，都含有字母x.

生2：等號兩邊都是整式，都只含有一個未知數(shù)x，未知數(shù)的次數(shù)都是1.

生3：等式，等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1.

……

（師生共同歸納、總結了一元一次方程的概念和本質(zhì)特征）

問題2：判斷下列式子哪些是一元一次方程？哪些不是？為什么？

（1）2x=1；？搖 （2）3x+4=7；

（3）4y-3=■；？搖 （4）3x+4y=12；

（5）y2=4+y； （6）xy=7；

（7）■m-5=0；？搖 （8）■+3=5；

（9）x2-l=0；？搖 （10）x=8；

（11）a+8；？搖？搖 ？搖 （12）0.75y+8=0.

（學生分組討論、判斷）

效果分析？搖 教學中遵循學生“具體—抽象—具體”的認知規(guī)律，學生在具體的式子中感知概念的本質(zhì)屬性，通過觀察、分析等數(shù)學活動，抽象、概括出這個概念，同時把抽象、概括的本質(zhì)屬性應用到多個變式（既有標準變式，也有非標準變式）的具體式子中，有助于學生對一元一次方程的多角度理解，掌握一元一次方程的本質(zhì)特征.

■ 特殊與一般

辯證唯物主義認為：人們認識事物的順序總是把特殊的事物作為認識的出發(fā)點，認識這些事物的具體屬性，然后在此基礎上抽象、概括，逐步擴大到認識同類事物一般的、普遍的本質(zhì). 初中生同樣要遵循“特殊—一般—特殊”的認識規(guī)律. 通過特殊去發(fā)現(xiàn)一般，揭示一般，以形成規(guī)律性的認識，然后，再按照一般去解釋特殊，理解特殊.

案例2？搖 “一元二次方程的根與系數(shù)的關系”教學片斷——

（復習一元二次方程的三種解法后）

師：因為ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的兩根分別為x■=■，x■=■，所以x■+x■=■+■= -■，x■·x■= ■·■=■.

（接下來，教師用數(shù)學文字語言表述了根與系數(shù)的關系，學生記憶幾遍）

師：關于x的方程x2+px+q=0 （p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根x■，x■，它們與系數(shù)p，q之間有什么關系？

（生機械套用公式，有近30%出錯）

師：寫出方程2x2-3x+1=0的兩根之和與兩根之積.

……

剖析？搖 教者先用一元二次方程的一般形式采用“推導證明”的方式得出根與系數(shù)的關系，然后，要求學生探究二次項系數(shù)是“1”的一元二次方程根與系數(shù)的關系（兩個均含有字母參數(shù)），接下來，用含有具體數(shù)字的特殊一元二次方程探究根與系數(shù)的關系. 整個教學過程由難到易，由一般到特殊，略去了“實例試驗—歸納猜想”的過程，是一種純理性的“注入”，學生對根與系數(shù)的關系理解、接受有困難，效果不盡如人意.

改進實踐？搖 活動一：感知根與系數(shù)的關系

解下列方程，并填寫表格.

■

觀察上面的表格，你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的根與系數(shù)有什么規(guī)律？

（學生順利完成了這個表格）

生1： x■+x■等于一次項系數(shù)的相反數(shù)；x■·x■等于常數(shù)項.

生2：不完整，應該是當一個一元二次方程有根時，才有這個結果.

師：不錯，下面繼續(xù)看活動二.

活動二：探究根與系數(shù)的關系

探究1：關于x的方程x2+px+q=0 （p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根x■，x■，它們與系數(shù)p，q之間有什么關系？

（學生快速寫出了關系式）

探究2：求出方程3x2-2x-1=0的兩根x■，x■，寫出x■+x■， x■·x■，并說一說你發(fā)現(xiàn)這個一元二次方程的根與系數(shù)有什么規(guī)律？

（師巡視并給有困難的學生個別輔導）

活動三：推導證明根與系數(shù)的關系

關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的兩根x■，x■，它們與系數(shù)a，b，c之間有什么關系？你能證明你的猜想嗎？

（學生說出了猜想，師生共同完成推導證明過程）

效果分析？搖 教學中遵循學生“特殊—一般”的認知規(guī)律，整個過程層層遞進，從二次項系數(shù)為“1”的具體方程計算到字母系數(shù)的探究，再到二次項系數(shù)不為“1”的具體方程的計算，最后對“一般”方程進行推導證明，從而得出結論. 這不僅符合學生的認知規(guī)律，而且有助于加強歸納思想的滲透.

■ 過程與結論

現(xiàn)代教育心理學研究指出，學生的學習過程不僅是一個接受知識的過程，還是一個發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程. 從數(shù)學教學的角度看，數(shù)學是學習者個人建構的過程，他們帶著自己原有的知識背景、活動經(jīng)驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考和與他人交流等，去建構對數(shù)學的理解.

案例3？搖 “梯形輔助線添加”教學片斷——

師：一般地，涉及梯形的計算或證明，往往需要添加輔助線，添加輔助線常常有如下幾種情況：（板演）

■

（要求學生把這幾種情況畫下來，并默記）

剖析？搖 教者把給梯形添加輔助線的幾種類型一股腦兒“灌”給學生，不重視輔助線的形成過程，學生對為何作輔助線，在什么情況下作輔助線等基本問題一頭霧水，只是通過死記硬背記住結論. 這種教學忽視了得出結論的思想方法和探索過程，學生的學習變成了“記數(shù)學結論”，往往“只知其然，而不知其所以然”，阻礙了學生思維和探究能力的提高.

改進實踐？搖 探究活動：如圖5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，AD=6 cm，BC=10 cm，求CD的長.

■

師：這個題能否直接解答？你們嘗試一下.

（生嘗試后都認為不能直接解答）

師：多邊形的計算或證明，當無法直接計算或證明時，常常需要把這個圖形轉化成一些基本圖形. 那么，梯形該如何轉化呢？大家猜一猜.

（學生中有的在本子上畫圖，有的在討論，有的在冥思苦想……5分鐘后）

生1：過梯形上底的一個端點，作梯形一腰的平行線，可以把梯形轉化成一個平行四邊形和一個三角形.

生2：我也是把梯形轉化成一個平行四邊形和一個三角形，不同的是過梯形下底的一個端點，作梯形一腰的平行線.

生3：過梯形上底的兩個端點，分別作下底的兩條垂線，可以把梯形轉化成兩個直角三角形和一個矩形.

……

師：同學們可真了不起，想出了這么多種辦法，這些辦法是否可行呢？下面，選擇你喜歡的辦法，以剛才匯報的同學為組長進行探究.

（接下來，全班以小組為單位進行計算）

師：歸納總結梯形輔助線的作法. （學生總結歸納了6種梯形輔助線作法）

效果分析？搖 這里的教學讓學生經(jīng)歷了“提出猜想—嘗試作法—探究驗證—整理敘述”的過程，學生在這個過程中獨立思考，學會了分析、判斷、推理、發(fā)現(xiàn). 學生親身經(jīng)歷了輔助線的探究過程，在過程中發(fā)現(xiàn)、歸納和概括了結論.

■ 知覺與空間

實驗表明，兒童的知覺經(jīng)驗和對客體的熟悉因素是空間認知發(fā)展的重要條件. 學齡前兒童主要通過畫畫和搭積木等空間活動形成對圖形的初步感知和初步的幾何直覺. 初中階段，學生通過動手操作、觀察、想象、交流等活動，獲得空間圖形的知識和有關技能；通過觀察、分析和比較，了解二維圖形和三維圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念和空間想象能力.

案例4？搖 “平行線”教學片斷——

師：兩條直線相交有幾個交點？相交的兩條直線有什么特殊的位置關系？

生：有1個交點，垂直.

師（演示教具）：順時針轉動木條b兩圈.

思考：把木條a，b想象成兩端可以無限延伸的兩條直線，順時針轉動b時，直線b與直線a的交點位置將發(fā)生什么變化？在這個過程中，有沒有直線a與b不相交的位置？（生交流、討論）

師：同一平面內(nèi)，存在一條直線a與直線b不相交的位置，這時直線a與b互相平行. 換言之，同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

剖析？搖 皮亞杰說，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動手做的過程. 上述教學片斷，學生在建立“平行線”這個空間觀念時，教師僅限于教具演示，未能充分調(diào)動學生已有的、豐富的現(xiàn)實原型，未能讓學生充分感知生活中的“平行線”，把“平行線”這個空間概念“灌”給了學生，學生對為何要強調(diào)“同一平面內(nèi)”不知其所以然.

改進實踐？搖 師（動畫演示生活中蘊涵平行現(xiàn)象的圖片）：你能從圖片中找出共性嗎？

生1：都含有平行線.

師：小學我們已經(jīng)接觸過平行線，今天我們將再度學習平行線.

師：教室內(nèi)，哪些線是平行的？

生2：黑板兩邊是平行的.

師：（糾正）黑板相對的兩邊所在的直線是平行線.

生3：窗戶相對的兩邊所在的直線是平行線.

生4：課桌相對的兩邊所在的直線是平行線.

……

師：假設運動場上的跑道線不平行，會怎樣？火車的軌道不平行，又會怎樣？

生（齊）：運動員會撞倒一片；火車會脫軌，發(fā)生事故；等等.

師：你認為為什么是平行線？能畫出草圖并表示嗎？

生5：不相交的兩條直線是平行線.

師：說得有道理！

生6：不正確，前墻面豎直的交線和最后邊地面上橫的交線不相交，但不是平行線.

師：說得好，觀察得真細致！

師：（用牙膏盒引導學生尋找類似位置關系的直線并繼續(xù)提問）那該怎樣定義平行線？

生7：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線.

師：挺棒的！

（生8在黑板上畫出兩條平行線的草圖，其他學生在下面完成）

效果分析？搖 這個教學過程讓學生充分感知現(xiàn)實生活中的平行現(xiàn)象，特別是此時此景中的平行（黑板、窗戶、課桌等相對的兩邊所在的直線），把空間的、抽象的概念進行簡單化、直觀化、生活化處理，并借助實物模型，采用簡單、直觀的形象思維幫助學生建構“平行線”的空間觀念.

■ 感性與理性

研究表明，人對事物的認識層次有感性和理性之分. 感性認識是通過對事物直接的感覺而獲得，具有形象性、直接性的特點. 在感性認識的基礎上，經(jīng)過思考、分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成了概念、判斷、推理，從而過渡到理性認識階段.

案例5？搖 “單項式與單項式相乘”教學片斷——

師：計算：2a·4b.

生1：結果為8ab，辦法是運用乘法交換律，將a與4交換，2與4相乘作為結果的系數(shù)，a與b相乘.

師：有不相同的嗎？（大家沒有不同意見）

師：你們會計算下列各題嗎？

（1）3a2·2a3= ？搖？搖 ？搖（2）-3m2·2m4=

（3）x2y3·4x3y2= ？搖？搖 （4）2a2b3·3a3=

（小組合作學習，5分鐘后，學生板書到黑板上）

師：很好，大家歸納總結了“單×單”的法則.

生（小結）：（1）系數(shù)與系數(shù)相乘；（2）相同字母相乘；（3）只在一個單項式中出現(xiàn)的字母和指數(shù)照搬，作為積的一個因式；（4）結果仍是單項式.

師：好！現(xiàn)在請大家翻開書本第145頁，將“單×單”的法則讀一遍.

剖析？搖 執(zhí)教者教學“單×單”的法則時，采用的是“從理性到理性”的方式，先是給出一個簡單的式子，讓學生嘗試計算，在這個過程中感受“單×單”的意義，然后，給出四個較復雜的式子，在計算后概括、歸納出法則，這個過程會導致學生對法則的建構缺乏一定的感性認識基礎.

改進實踐？搖 活動一：拼一拼

師：用6張長為a、寬為b的長方形硬紙片，拼成一個大長方形，盡可能多地展示不同的拼法.

（小組展示不同的拼法如圖6～圖9所示）

■

（師就圖6提出問題）

師：你能表示出這個長方形的面積嗎？

生1： 6ab.

師：你是怎樣考慮的？

生1：一個小長方形的面積為ab，6個為6ab.

師：有不同的表示方法嗎？

生2：3a·2b.

師：你又是怎樣考慮的？

生2：大長方形的長為3a，寬為2b，所以面積為3a·2b.

師：很好，它的面積既可以看成是長為3a、寬為2b的大長方形的面積，又可以看成是6個小長方形的面積和.

師：所以3a·2b=6ab.

（類似地，其余的圖形由學生講解）

師：通過拼圖，用兩種不同的方法計算圖形的面積，我們得到了一些式子，反過來，對于2a·4b，我們能不能通過拼圖的方法得到它的結果呢？

（小組成員展示拼圖，并匯報）

生3：2a·4b可表示長為2a、寬為4b的長方形的面積，所以我們拼成一個長為2a、寬為4b的長方形（如圖10所示），而它的面積又可以表示為8個小長方形的面積和，為8ab，所以2a·4b=8ab.

■

活動二：說一說

師：剛才我們用紙片直觀地得出了“單×單”的結果，現(xiàn)在請大家思考——我們能從運算的角度解釋這些結果的合理性嗎？

師：例如，2a·4b=8ab，你能從運算的角度解釋它的正確性嗎？

生4：應用乘法交換律，將a與4交換，并將2與4相乘即可.

活動三：試一試

已知一個長方體的底面積為5x2，高為2xy，求這個長方體的體積.

（學生回答，教師示范解題過程）

活動四：做一做

計算下列各式，并寫出每步計算的依據(jù).

（1）2a2b·3ab2；（2）4ab2·5b；（3）6x3·（-2x2y）.

活動五：談一談

問題：如何進行“單×單”的乘法運算？

（學生歸納、總結出了“單×單”法則）

效果分析？搖 此教學以“拼、說、試、做、談”五個活動為載體，“拼”，讓學生經(jīng)歷了操作、觀察、思考、交流等過程，為學生積累了一些感性認識，初步理解了“單×單”的意義，在后面四個環(huán)節(jié)將“拼”的感性認識上升到理性認識，學生驗證了“拼”所得結論的正確性. 整個過程關注了學生從感性認識到理性認識發(fā)展規(guī)律的應用，真正使教學過程起到了“授之以漁”的作用.

當然，違背學生認知規(guī)律的教學可能不止這幾種. 教師只有遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，才能組織好教學，也才能提高課堂教學效率.