嚴(yán)加明

[摘 要] 本文簡(jiǎn)要分析了幾何證明的思路及思維分析方法，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生正確地運(yùn)用分析方法解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使他們?cè)趯?shí)踐中不斷歸納總結(jié)，逐步提高.

[關(guān)鍵詞] 幾何題；證明思路；分析；解題規(guī)律；例題剖析

平面幾何是以綜合法為主要方法的幾何學(xué)科，綜合法直觀清晰，敘述簡(jiǎn)潔，但“由因?qū)Ч?，枝歧難辨，在運(yùn)用上帶來(lái)了一些困難. 因此，在證題時(shí)，一般先用分析法尋求證題思路，然后用綜合法進(jìn)行證明敘述. 證題思路的分析，對(duì)學(xué)習(xí)幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)困難的問(wèn)題，由于不會(huì)思路分析，證明就無(wú)從著手，證明時(shí)全憑盲目亂碰，抓不住解題規(guī)律，以至久而不能入門(mén)，影響學(xué)習(xí)興趣和效果.

當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何存在的問(wèn)題，除課程本身抽象外，主要是在教學(xué)中不注意思考方法的引導(dǎo). 在教學(xué)中，很多教師只注意知識(shí)內(nèi)容的傳授，不注意教給學(xué)生思考方法，而采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，企圖用大量習(xí)題來(lái)覆蓋各類(lèi)考試的出題范圍，不注意解題思路的分析，為使學(xué)生在課堂上“順利地”接受所講內(nèi)容，過(guò)多地“暗設(shè)埋伏”，代替了學(xué)生的獨(dú)立思考，其結(jié)果是講得頭頭是道，學(xué)生仍不知為什么要如此考慮，離開(kāi)教師的引導(dǎo)就不會(huì)解題. 要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，就得教給學(xué)生思維的基本途徑和方法，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用哪些方法去思考問(wèn)題. 通過(guò)學(xué)生的實(shí)踐，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，各門(mén)學(xué)科的思維途徑和方法都離不開(kāi)科學(xué)的一般方法，但又各有其自身特點(diǎn). 就平面幾何來(lái)說(shuō)，在探索思路時(shí)著重運(yùn)用分析法，即“執(zhí)果索因”，追求結(jié)論成立的充分條件. 我們應(yīng)教給學(xué)生“索因”的方法，也就是講清如何去探尋思路，使學(xué)生在思考中有“路”可循，這樣就能克服解題過(guò)程中的盲目性，逐步增強(qiáng)學(xué)生思考的自覺(jué)性.

■ 引用已知的定理，即邏輯證明

即借助于其真實(shí)性已經(jīng)確定了的命題（包括公理、定理和有關(guān)定義），按照邏輯推理的方法來(lái)斷定某個(gè)新命題成立的思維過(guò)程（或者說(shuō)是邏輯程序）. 在引用作為論據(jù)的命題中，最常用的是本學(xué)科中的已知定理，因此，善于引用已知定理是學(xué)會(huì)平面幾何的起點(diǎn)和關(guān)鍵.

學(xué)生在引用所學(xué)定理來(lái)證明時(shí)，困難有兩個(gè)方面，其一是不會(huì)選擇適當(dāng)定理；其二是雖知要引用某定理，但不會(huì)創(chuàng)造條件來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此，應(yīng)抓住如下兩個(gè)環(huán)節(jié)：

1. 如何選擇適當(dāng)定理. 欲證命題和所引定理之間必須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：其一是兩者的結(jié)論應(yīng)具有一致性，這樣才能通過(guò)所引定理導(dǎo)出欲證結(jié)論；其二是兩者的條件（命題的題設(shè)與定理的前提）應(yīng)具有相應(yīng)性（即大致相符或有一定的聯(lián)系），這樣才能為引用該定理提供充分的依據(jù).

2. 如何引用所選取的定理. 由于命題題設(shè)與定理前提雖有相應(yīng)性，但不可能完全具備定理前提中的條件，因此要從所選定理導(dǎo)出求證結(jié)論，還必須做好下列兩方面的工作，其一，若圖形按定理要求尚欠完備，則應(yīng)添輔助線(xiàn)以完備之，這是添輔助線(xiàn)的重要思考途徑之一；其二，若題設(shè)條件按定理前提要求尚欠充分，則應(yīng)先證得所缺條件，于是問(wèn)題便轉(zhuǎn)換為引用另一定理.

例1？搖 在△ABC外作正方形ABEF和ACGH，如圖1所示，求證：△ABC的高線(xiàn)AD平分線(xiàn)段FH.

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按照結(jié)論的一致性，可以選取下列定理：（1）平行四邊形的性質(zhì)定理；（2）平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理，其特例是三角形（或梯形）中位線(xiàn)定理的逆定理；（3）等腰三角形頂角平分線(xiàn)定理；（4）垂直于弦的直徑平分該弦；（5）連心線(xiàn)平分相交圓的公共弦定理；（6）全等三角形的定義及其判定定理. 再?gòu)臈l件的相應(yīng)性考慮，就可知道宜選?。?）（2）（6）諸定理，于是所引定理便可確定了.

下面來(lái)討論如何引用所選取的定理. 若欲引用“平行四邊形的性質(zhì)定理”來(lái)證明，就該構(gòu)成具備下列條件的平行四邊形：

（1）其一對(duì)角線(xiàn)為線(xiàn)段FH；

（2）另一對(duì)角線(xiàn)在直線(xiàn)AD上.

為了簡(jiǎn)便，可取為平行四邊形AFKH，根據(jù)平行四邊形的定義和判定定理知，四邊形為平行四邊形需滿(mǎn)足兩條件，再加頂點(diǎn)K在AD上，共需三個(gè)條件. 因此，在添輔助線(xiàn)時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足其中兩個(gè)條件，再證明具備第三個(gè)條件，方可根據(jù)定義或定理導(dǎo)出結(jié)論. 其證明思路如下：

①作FK∥AH交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，連結(jié)HK，欲證FK=AH.

②作FK∥AH，HK∥AF，欲證點(diǎn)K在直線(xiàn)AD上.

③作FK∥AH，F(xiàn)K=AH，連結(jié)HK，欲證點(diǎn)K在直線(xiàn)AD上.

④在直線(xiàn)AD上取一點(diǎn)K，使FK=AH，連結(jié)HK，欲證FK∥AH.

⑤取點(diǎn)K，使FK=AH，HK=AF，連結(jié)FK，HK，欲證點(diǎn)K在直線(xiàn)AD上.

■

在引用定理的過(guò)程中，值得注意的是：

（1）根據(jù)結(jié)論的一致性和條件的相應(yīng)性，許多命題都能選用多個(gè)定理，因而出現(xiàn)多種證法，若能經(jīng)常注意一題多證，在諸多證法中，擇其優(yōu)而用，更能開(kāi)闊思路，提高證題技巧.

（2）每個(gè)命題的題設(shè)條件都有其自身特點(diǎn)，只有針對(duì)其特點(diǎn)選用相應(yīng)定理，才能導(dǎo)出欲證的結(jié)論.

（3）引用定理應(yīng)從它們之間的聯(lián)系著手，靈活地加以運(yùn)用，不應(yīng)過(guò)于拘泥，這樣才能收到良好的效果.

（4）引用定理應(yīng)切實(shí)注意定理的前提，只有完全符合定理才能導(dǎo)出想證的結(jié)論.

（5）在教學(xué)中，應(yīng)認(rèn)真分析定理結(jié)構(gòu)，交代清楚每一個(gè)定理的證明思路和用法，并不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)定理進(jìn)行歸納整理，分析比較其特點(diǎn)，才能做到系統(tǒng)掌握、逐步熟練、逐步提高.

■ 轉(zhuǎn)換證題結(jié)論

隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)展，在證題思路上也得拓展，許多證題就其結(jié)論而言，都能從所學(xué)定理直接導(dǎo)出，因此有必要對(duì)欲證結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以利于引用所學(xué)定理. 要實(shí)現(xiàn)命題結(jié)論的轉(zhuǎn)化，必須把握住兩個(gè)環(huán)節(jié)，一是確定轉(zhuǎn)換方向，二是創(chuàng)造轉(zhuǎn)換條件.

相等問(wèn)題←→和差倍分問(wèn)題不等問(wèn)題及比例問(wèn)題←→乘積問(wèn)題度量關(guān)系

垂直問(wèn)題←→平行問(wèn)題點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題←→線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題共點(diǎn)圓問(wèn)題←→圓共點(diǎn)問(wèn)題位置關(guān)系

度量關(guān)系和位置關(guān)系也可相互轉(zhuǎn)換，主要在于創(chuàng)造轉(zhuǎn)換的條件. 從轉(zhuǎn)換結(jié)論的方法來(lái)看，可從下列幾方面探索：

1. 利用“媒介”進(jìn)行傳遞，其方法是：

（1）欲證 a=b，取c=b，只需證a=c，或分別取a=c，d=b，只需證c=d.

（2）欲證a>b，取c≥b，只需證a>c，或取c≤a，只證b

例2？搖 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，過(guò)其交點(diǎn)作任一邊的垂線(xiàn)，必平分其對(duì)邊. （其逆定理也成立，如圖3所示）

2. 通過(guò)分割組合（或伸縮），其方法是：

（1）欲證a=b，取a=a■+a■，b=b■+b■，只需證a■=b■且a■=b■.

（2）欲證a=mb（m為正整數(shù)），取p=mb，只需證a=p或取q=■a，只需證b=q.

例3？搖 正三角形外接圓圓周上任意一點(diǎn)到對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)段等于到另兩頂點(diǎn)連線(xiàn)段之和（如圖4所示）.

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3. 改變結(jié)論形式. 有些證明題的結(jié)論，從幾何關(guān)系來(lái)看不甚明顯，或者缺乏幾何意義，這就會(huì)給證明帶來(lái)不便，為此，需改變結(jié)論形式，以利于尋求證題思路.

例4？搖 如圖5所示，梯形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作邊BC的平行線(xiàn)，交兩腰AB，CD于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：■+■=■.

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轉(zhuǎn)換證題結(jié)論實(shí)質(zhì)上是分析法的具體體現(xiàn)，分析法“執(zhí)果索因”，其逆溯過(guò)程是將欲證結(jié)論逐步轉(zhuǎn)換的過(guò)程.

■ 利用逆推探路

在思路分析中，就分析思維而言，一般都考慮如何用適當(dāng)定理，如何轉(zhuǎn)換證題思路，但在具體運(yùn)用中還會(huì)遇到一定的困難，出現(xiàn)“卡殼”現(xiàn)象，這時(shí)又該如何解決呢？我們論證的命題，如果它是真實(shí)的（即成立的），那么它的題設(shè)與結(jié)論必然是和諧的，正因如此，我們可以借用結(jié)論作為“已知”條件來(lái)考查某一關(guān)系的存在性，從而解決論證的可行性.

1. 利用逆推探索思路可行性

例5？搖 如圖6所示，過(guò)等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)，在其上取一點(diǎn)E，使BE=BC，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F，求證：CF=CE.

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思路分析？搖 欲證CF=CE，只需證∠CEF=∠CFE. 由題設(shè)BE=BC知∠BEC=∠BCE，因此只需證∠CFE=∠BCE. 由于∠CFE=∠EBC+∠BCF，∠BCE=∠BCF+∠ECF，故只需證∠EBC=∠ECF. 至此出現(xiàn)了“卡殼”現(xiàn)象，需另找途徑.

故采用逆推來(lái)尋找新路. 設(shè)想如果有∠EBC=∠ECF，令其為x°，根據(jù)題設(shè)可知2（45+x）+x=180， 解得x=30，因此我們?nèi)裟茏C得∠EBC=30°，則問(wèn)題就解決了. 至此，自然就會(huì)想到直角三角形而作EG⊥BC于點(diǎn)G，只需證EG=■BE，這就很容易解決了. ？搖

2. 利用逆推探求輔助線(xiàn)的添設(shè)

添輔助線(xiàn)是幾何證明題的關(guān)鍵，它與探索思路相輔相成. 逆推可以探索所需輔助線(xiàn)的特征，也可以從中發(fā)現(xiàn)用于解決問(wèn)題的輔助線(xiàn).

例6？搖 如圖7所示，在△ABC中，∠B的外角平分線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，求證：AB·BC-CD2=AC·CD-BD2.

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思路分析？搖 此題的題設(shè)條件比較簡(jiǎn)單，但結(jié)論復(fù)雜，直接引用定理無(wú)法入手，可轉(zhuǎn)換其結(jié)論為AB·BC-AC·CD=CD2-BD2，或AB·BC+BD2=AC·CD+CD2，故AB·BC+BD2=AD·CD. AD·CD的出現(xiàn)使我們想到圓的割線(xiàn)定理，則作△ABC的外接圓，并延長(zhǎng)DB交圓于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AD·CD=ED·BD=（EB+BD）·BD，即AD·CD=EB·BD+BD■，這就可證AB·BC=EB·BD，只需證△ABE∽△DBC即可.

■ 分析與綜合相結(jié)合

在思路分析的過(guò)程中，一般是分析思維起主導(dǎo)作用，但多數(shù)是結(jié)合一定的綜合思維進(jìn)行. 在一個(gè)較復(fù)雜的證題過(guò)程中，它們是交錯(cuò)使用的，不應(yīng)將它們分開(kāi).

例7？搖 如圖8所示，在△ABC中，AB>AC，∠A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AM并延長(zhǎng)交BH于點(diǎn)Q，求證：PQ∥AB.

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思路分析？搖 證明PQ∥AB，一定是利用角的關(guān)系. 從圖中看不太明顯，一是用成比例線(xiàn)段，即證■=■，為此尋求“媒介”進(jìn)行逆推，因此可過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)HM于點(diǎn)D，得出■=■. 于是只需證■=■，也就是說(shuō)，BD∥QM. 若此結(jié)論成立，則四邊形AMBD是平行四邊形. 反之，若證得四邊形AMBD是平行四邊形，則問(wèn)題得證. 至此應(yīng)需證AD=BM，即證△ADE≌△BME，根據(jù)條件可先證AE=EB.

再?gòu)念}設(shè)看，M是BC的中點(diǎn)，AP是∠BAC的平分線(xiàn)，且AP⊥BH，故可延長(zhǎng)BH交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則H是BF的中點(diǎn)，于是得MH∥AC，即直線(xiàn)HE平分AB. 這樣就得出結(jié)論了.

■ 由特殊推一般

特殊情形有它自身的特殊性，往往比研究一般情形容易得多；而特殊情形下的結(jié)論，往往又是研究一般情形的先導(dǎo)和橋梁，因此，在討論一般情形尚感根據(jù)不足時(shí)，可將問(wèn)題按其條件進(jìn)行特殊化處理，再把它擴(kuò)大到一般性問(wèn)題.

例8？搖 在△ABC中，∠A≥120°，P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC>AB+AC.

思路分析？搖 題設(shè)中有∠A≥120°，則令∠A=120°為其特殊性，若把AB+AC進(jìn)行“直化”，即延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使AD=AB，可知△ABD為正三角形. 由正三角形可知PA+PB≥PD，由此得證. 再把結(jié)論更換為∠A>120°的情形就可以證明了.

解答 （1）當(dāng)∠A=120°時(shí)，如圖9所示，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D使AD=AB，連結(jié)BD，PD，則△ABD為正三角形，可知PA+PB≥PD，又PC+PD>AD+AC，所以PA+PB+PC>AD+AC=AB+AC.

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（2）當(dāng)∠A>120°時(shí)，因∠A<180°，則∠PAB，∠PAC中至少有一個(gè)角小于120°，令∠PAB<120°，以AB為一邊作∠BAE=120°使角的另一邊AE交PC于點(diǎn)E（如圖10所示），連結(jié)BE，由于∠BAC>120°，則點(diǎn)E在線(xiàn)段PC內(nèi)，又點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，則∠BPE<180°，從而點(diǎn)P必在△ABE內(nèi)部，所以PA+PB+PE>AB+AE. 故PA+PB+PC=PA+PB+PE+EC>AB+AE+EC>AB+AC.

綜上所述，PA+PB+PC>AB+AC

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以上討論的思維方法因題而異，也因人而異，不能固守成法，不能孤立對(duì)待，應(yīng)注意靈活運(yùn)用，并且在實(shí)踐中不斷歸納總結(jié)所獲得的經(jīng)驗(yàn)，逐步提高，方能取得良好的效果.