王濤

摘 要：數(shù)學普遍被認為是一門枯燥且難以學懂的學科，多數(shù)學生對數(shù)學學習的興趣也不是太高。根據(jù)組合數(shù)學教學中的實踐談一下這門課在提高學生學習數(shù)學興趣上的一些作用。

關鍵詞：組合數(shù)學；學習興趣；教材

從小學的算術到大學的高等數(shù)學，數(shù)學是我們各學習階段的一個基礎課程。大學以前的數(shù)學教育多數(shù)在于應付各種考試，學習的內容及講授方法比較古板，使學生逐漸失去了對數(shù)學的興趣。在高等教育階段，我們有更多的精力、更多的能力去接觸數(shù)學的各個方面，應該了解數(shù)學的多樣性，增加學生對學習的興趣。在此，我們談一下本科階段數(shù)學專業(yè)的組合數(shù)學課。

一、開設組合數(shù)學課程的必要性

組合數(shù)學是離散數(shù)學的一個重要分支，一直是計算機及相關專業(yè)的一門必修課程。在本科階段，針對數(shù)學相關專業(yè)開設這門課的學校比較少。從全國來看，即使開設了這門課的學校，也都各自采用不同的教材，各自制訂相應的教學大綱，總體呈無序化。

由于數(shù)學學科的特點，數(shù)學系本科生的課程設置一直比較穩(wěn)定，雖然歷經(jīng)多次改革，但變動甚微。老師對課程的設置及教學的認識都形成了固定的模式，較難改變。學生在本科階段學習的大多數(shù)課程是基于連續(xù)系統(tǒng)的，對于離散系統(tǒng)的介紹則少之又少。本科新生從入校開始就函數(shù)的極限、連續(xù)、可導、可微開始，都是研究連續(xù)系統(tǒng)。這些內容的學習需要邏輯嚴謹，運用的定理和公式較多，計算量也較大，而且晦澀難懂。對于初入大學的學生來說，學習起來枯燥無味，甚至影響到學習的情緒，對數(shù)學失去耐心和信心。從另外一方面講，這些基礎課程是高等數(shù)學教育的基石，又是不可或缺的。因此，如何引導學生正確地認識數(shù)學，如何讓學生保持對數(shù)學的興趣就至關重要。組合數(shù)學作為離散系統(tǒng)的重要分支，具有自身獨特的特點，可以讓學生認識到一個完全不同的數(shù)學世界。

二、組合數(shù)學簡介

由于組合數(shù)學和計算機技術的獨特關系，隨著計算機的快速發(fā)展，組合數(shù)學發(fā)展迅速。我國信息產業(yè)發(fā)展則相對滯后，在我國，組合數(shù)學的發(fā)展相對緩慢。但是組合數(shù)學的起源可以追溯到我國的河圖洛書，歷史悠久。此后，歐拉解決了著名的七橋問題則開啟了組合數(shù)學的一個分支——圖論的發(fā)展。近代，美國伊利諾伊大學的數(shù)學家在20世紀70年代借助于計算機的幫助證明了著名的四色定理①。

其實，在高中時代我們已經(jīng)接觸到了一部分組合數(shù)學的內容，即排列與組合。作為一個學生，當時學習這些內容時，就感覺其與其他部分的內容有很不一樣的感覺，有趣而又有點“難”。排列組合是組合數(shù)學課內不可或缺的一塊，在現(xiàn)行的普通教材中都要占一到二個章節(jié)，這也是后續(xù)內容的基礎。就其基本內容來說，主要有排列組合、鴿巢原理、生成函數(shù)、圖論、組合設計等內容。

三、如何提高學生學習的興趣，及教學中的一些嘗試

縱觀組合數(shù)學的發(fā)展，它都與游戲不可分割，本身就具有趣味性，較容易引起學生的興趣。

河南大學數(shù)學學院在2011年秋季開始開設組合數(shù)學課程，安排在本科三年級的第一個學期。作為此課的第一個主講教師，心里有些忐忑。這門課可以把自己的主要研究內容和基礎教學緊密地結合起來，也很有興趣和新鮮感。在教材的選用環(huán)節(jié)，我們堅決采用由美國布魯?shù)辖淌诰帉懙挠⑽慕滩腎ntroductory Combinatorics 的中文版。此教材歷經(jīng)多次修改，當時已經(jīng)出版到第5版（當時國內只有第4版的翻譯版），在北非被普遍采用為教材，非常受歡迎。從材料的選取、章節(jié)安排的順序到習題的選配都較為合理，在我們一個學期的使用中，效果也很好，稍有不足的是翻譯的質量稍微差一點點。

在講授的環(huán)節(jié)，從學習背景的介紹到抽象為數(shù)學理論都注重“故事性”。本身有很多內容都是從現(xiàn)實中來，它具有其真實的現(xiàn)實背景，這些材料本身就很有趣味。如，36軍官問題：“有一次，普魯士腓特烈大王決定舉行一次盛大的閱兵典禮，打算從6支部隊里面，各選出6名不同軍銜（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的軍官各一人，合計36人，排成一個每邊正好6人的方陣，要求每行每列都必須有各個部隊和各種軍銜的代表，既不準重復，也不能遺漏。這件事情看來很好辦，不料命令傳達下去之后，卻根本無法執(zhí)行。閱兵司令接二連三地吹哨子，喊口令，排來排去，始終不符合國王的要求，他急得像只熱鍋上的螞蟻。執(zhí)事官員和國王的侍從們一見事情不妙，只好臨時找個借口，支吾過去。但這已使腓特烈大王在眾多外國貴賓面前窘態(tài)畢露，出足洋相。事后，腓特烈大王對這件事情始終耿耿于懷，認為閱兵司令竟連這點小事也辦不好，真是個草包。他就自己動手試試，在紙上編排一下，可是試來試去，竟無法成功。于是他去向許多有學問的人請教，可是他們也都束手無策。最后，他不得不去請教當時歐洲第一流的大數(shù)學家歐拉，希望能找出一個解決方案。那時歐拉已經(jīng)很老了，在此之前，不知有多少個令人望而生畏的數(shù)學難題在他手里迎刃而解。但是這樣一個小孩子也明白其意義的，看上去非常簡單的‘36軍官問題，竟然也把他難住了。經(jīng)過長期苦心研究，他終于認為國王的要求是無法滿足的，也就是說，那樣的6階方陣是排不出來的”。

這個有趣的“36軍官問題”引申出來的數(shù)學問題就是正交拉丁方，而更有趣的是根據(jù)現(xiàn)在已知的數(shù)學理論，只有6階的正交拉丁方是不存在的。這個腓特烈大王的運氣確實差了一點，給屬下恰好就安排了一個不可能完成的任務。如果他選擇從任何不等于6的k個部隊里挑出k個不同的軍銜排成他需要的方陣都是可解的。在我們講授時盡可能用通俗的語言把這個故事講給學生，學生可能最后會哄堂大笑，但就是因此學生會有興趣去聽這個課，會愿意去學習由此引申出來的數(shù)學理論。這樣的故事也有利于學生理解數(shù)學理論。

教學實踐中，我注意和學生的溝通，期末讓學生寫出對這門課的想法和感受及任何想對老師說的話。經(jīng)統(tǒng)計，幾乎所有學生都認真地完成了作業(yè)。甚至一部分學生用四五頁的紙寫了他們的感悟。從這些反饋來看，學生的第一感覺是驚喜，他們很多人沒有想到數(shù)學不只是枯燥的，還有這么有趣的東西，數(shù)學還有它活潑的一面，如果早認識到這些就好了。第二個感受是輕松。不少學生認為這門課是他們學過的課程里最簡單的一門課，在輕松活潑中學到了相關的知識。第三個感受是學生和老師的距離拉近了，學生更多的想和老師交流他們的想法，和老師探討學習中的一些問題。

四、進一步的思考

這門課在提高學生學習興趣方面確有很大的積極作用，這不僅僅由于這門課本身的特點，更多的是讓學生從思想上改變對數(shù)學的看法，讓他們愿意學習數(shù)學?；谶@門課的作用及它本身需要的基礎知識較少，建議把這門課安排在本科學習的最初階段，甚至是大學一年級。

在講授的過程中，要重視它的科普性。數(shù)學不都是高深難懂的理論，它也有通俗的一面，可以為廣大普通群眾接受的一面。目前，數(shù)學文化、數(shù)學知識的普及工作比較缺乏。普通大眾，哪怕是受過高等教育的學生提到數(shù)學都認為非常難，無法理解高深的理論。我們可以利用這門課的特點，作一些科普工作，甚至嘗試在學校開設面向全校的選修課。

參考文獻：

布魯?shù)希≧ichard A.Brualdi）.組合數(shù)學（原書5版）[M].馮速，譯.機械工業(yè)出版社，2012-05.

Effect of the Combination of Mathematics Inimproving the Students Interest in Learning

Wang Tao

Abstract：Mathematics is generally considered a boring and difficult to understand the subject，The majority of students interest in learning of mathematics is not too high.According to the practice of combined in mathematics teaching about the course in improving students learning some mathematics of interest.

Key words：combinatorial mathematics；learning interest；teaching materials

編輯 薄躍華