王伯龍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程“要講推理，更要講道理”，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索的活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念逐步形成的過(guò)程.

去年十月，學(xué)校組織了一次課堂教學(xué)大賽，筆者在這次課堂教學(xué)活動(dòng)中，以人教A版《數(shù)學(xué)》選修21第二章第二節(jié)“橢圓的定義”為課題上了一節(jié)基于“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的數(shù)學(xué)概念生成課，受到了聽(tīng)課教師的好評(píng).本文概述本課的教學(xué)過(guò)程實(shí)錄，并附以自己的一些思考，以期專(zhuān)家同行的不吝賜教.

1教學(xué)過(guò)程實(shí)錄

1.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

多媒體展示圖1.

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察太陽(yáng)系中的行星的運(yùn)行軌道，你能說(shuō)出這些行星的運(yùn)行軌跡是什么曲線嗎？

生：橢圓.

師：你是怎么知道的？

生：地理課上老師講的，科普書(shū)籍上介紹的.

師：大家還能舉一些生活中見(jiàn)到的橢圓形的例子嗎？

學(xué)生舉出好多的例子，如油罐車(chē)的油罐橫截面的外輪廓線，…….

師：同學(xué)們知道的還不少，老師也得向你們學(xué)習(xí).（學(xué)生臉上露出了微笑）

同學(xué)們對(duì)橢圓已經(jīng)有了初步的了解，這節(jié)課我們一起來(lái)探究“橢圓的定義”.（板書(shū)課題）

圖1圖2

12展示問(wèn)題，探索新知

多媒體展示圖2.

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察握力器的圖片的形狀，老師這

里有一個(gè)握力器模型，你能給大家演示一下將它如何變成橢圓嗎？

生：（演示）擠壓.

追問(wèn)：橢圓是怎樣生成的？

生（眾）：圓經(jīng)過(guò)壓縮變成橢圓.

師：很好！把一個(gè)圓均勻壓縮后，好像變成了橢圓，那么它到底是不是橢圓呢？請(qǐng)同學(xué)

們研究下列問(wèn)題.

圖3

（多媒體展示）引題：如圖3，在圓x2+y2=16上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的垂線

段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程是什么？你能猜想

出點(diǎn)M的軌跡是什么嗎？（教材第41頁(yè)例2改編）

求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，學(xué)生在“圓”和“曲線與方程”章節(jié)中已有認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)引題中求動(dòng)

點(diǎn)M的軌跡方程應(yīng)該沒(méi)有太大的困難.教師巡視指導(dǎo)學(xué)有困難的學(xué)生，不一會(huì)兒，絕大部分

的學(xué)生有了結(jié)果，求出點(diǎn)M的軌跡方程是x2+4y2=16，但對(duì)軌跡是什么圖形，有些學(xué)

生猜想是橢圓，有些學(xué)生感到茫然.

教師用“幾何畫(huà)板”演示，讓點(diǎn)P慢慢的繞圓周運(yùn)動(dòng)，線段PD的中點(diǎn)M（設(shè)置成追蹤

點(diǎn)）所形成軌跡的形狀（如圖4），同學(xué)們異口同聲：“橢圓”.

圖4圖5

師：很好！我們知道，圓的定義是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，即在圓的

定義中有一個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)定長(zhǎng).那么，橢圓是否也可以通過(guò)定點(diǎn)、定長(zhǎng)來(lái)定義呢？

（學(xué)生思考交流）

生：可以，因?yàn)闄E圓由圓壓縮而來(lái)的.

師：有道理.

追問(wèn)：定義橢圓需要幾個(gè)定點(diǎn)？有沒(méi)有定長(zhǎng)？

有些學(xué)生猜想是兩個(gè)定點(diǎn)，而有些學(xué)生說(shuō)不可能是一個(gè)，但具體是幾個(gè)，不知所措，此時(shí)，教師用“幾何畫(huà)板”演示：點(diǎn)P沿著圓的半徑PO滑到點(diǎn)M的過(guò)程中，圓心O沿著x軸向兩邊分別滑向點(diǎn)F1，F(xiàn)2（如圖5），半徑PO滑到MF1，MF2的位置.

師：在上面的演示中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，MF1和MF2的長(zhǎng)都等于圓半徑的長(zhǎng).

師：好！我們來(lái)驗(yàn)證一下你的觀察是否正確，教師用“幾何畫(huà)板”中的“度量”工具度量出MF1和MF2的長(zhǎng)都是4.

生：我還發(fā)現(xiàn)MF1+MF2=8.

追問(wèn)：你是怎么想到的？

生：從課本上看到的（眾生笑）.

師：很好！你有課前預(yù)習(xí)的好習(xí)慣，請(qǐng)保持.剛才，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在圖5的位置時(shí)，有MF1+MF2=8.那么，點(diǎn)M在橢圓周上其它位置是否也有MF1+MF2=8.

圖6

教師用“幾何畫(huà)板”演示：讓點(diǎn)P沿著圓周緩緩運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M就沿著橢圓周運(yùn)動(dòng)（如圖6），線段MF1和MF2的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)M的位置的變化而改變，但始終有MF1+MF2=8.

師：通過(guò)“幾何畫(huà)板”直觀演示，我們發(fā)現(xiàn)：“橢圓周上任意一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和始終等于8.”你能否進(jìn)行嚴(yán)格的論證？

（學(xué)生思考，討論）

生：由上面的演示易知，F(xiàn)1（-23，0），F(xiàn)2（23，0）.設(shè)M（x，y），由于點(diǎn)M在橢圓上，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)必滿(mǎn)足方程x2+4y2=16，即y2=16-x24.于是，MF1+MF2=（x+23）2+y2+（x-23）2+y2=（3x+8）22+（8-3x）22

=3x+82+8-3x2=8.

師：真棒！你通過(guò)代數(shù)計(jì)算的方法檢驗(yàn)了我們直觀演示的結(jié)果.

13歸納提升，形成定義

師：通過(guò)上面的探索，你能給橢圓下個(gè)定義嗎？

生：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.

追問(wèn)：大家滿(mǎn)意嗎？

生：應(yīng)加上定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離.

師：為什么要加上“定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離.”

（學(xué)生思考討論，遇到困難時(shí)，教師指導(dǎo)）

生：如果定長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；定長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離時(shí)，不成軌跡.

師：好極了！下面我們給出橢圓的定義.

（板書(shū)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

1.4應(yīng)用新知，解決問(wèn)題

請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識(shí)，解決下面問(wèn)題.（最好獨(dú)立完成，遇到困難時(shí)，可以交流討論）

問(wèn)題1：你能用橢圓的定義畫(huà)出一個(gè)橢圓嗎？

問(wèn)題2：如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿(mǎn)足關(guān)系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，則點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？

圖7

問(wèn)題3：如圖7，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

2教學(xué)反思

“橢圓定義”是繼“圓定義”后的又一平面曲線的一個(gè)概念，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“橢圓定義”的學(xué)習(xí)要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程，掌握其定義.”本文基于數(shù)學(xué)本質(zhì)對(duì)“橢圓定義”做教學(xué)設(shè)計(jì)，以下一些方面值得反思.

2.1以生為本，對(duì)教材二次開(kāi)發(fā)

橢圓的定義，在教材中是這樣引入的：“把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，移動(dòng)筆尖的過(guò)程中，細(xì)繩的長(zhǎng)度保持不變，即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).”圍繞這個(gè)方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計(jì).或是讓學(xué)生按教材上的敘述方法，動(dòng)手畫(huà)出橢圓，或是用課件演示，按定義畫(huà)出橢圓，但定義是怎樣想到的？?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)從何而來(lái)？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.為此，本設(shè)計(jì)改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例2進(jìn)行改編，然后前置，作為探索主線，從學(xué)生已有圓的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置適合的問(wèn)題使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，感知橢圓概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈.特別是數(shù)學(xué)概念的引出，新教材關(guān)注與其它學(xué)科，周?chē)h(huán)境，日常生活等實(shí)例的聯(lián)系，通過(guò)設(shè)置豐富的問(wèn)題情境，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，加強(qiáng)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)有非常重要的作用.本設(shè)計(jì)在橢圓概念的引入和定義的探索中注重情境化，使學(xué)生學(xué)有余力，輕松自如.

2.3多媒體的使用，為本課的教學(xué)增添了亮點(diǎn)

課后評(píng)議中，老師們一致認(rèn)為課堂設(shè)計(jì)總體思路清晰，“幾何畫(huà)板”的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，使學(xué)生能很好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而探索數(shù)學(xué)結(jié)論，交流，討論，師生對(duì)話(huà)等多樣的學(xué)習(xí)方式，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成了學(xué)生積極思考，樂(lè)于探索的好習(xí)慣.

（板書(shū)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

1.4應(yīng)用新知，解決問(wèn)題

請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識(shí)，解決下面問(wèn)題.（最好獨(dú)立完成，遇到困難時(shí)，可以交流討論）

問(wèn)題1：你能用橢圓的定義畫(huà)出一個(gè)橢圓嗎？

問(wèn)題2：如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿(mǎn)足關(guān)系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，則點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？

圖7

問(wèn)題3：如圖7，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

2教學(xué)反思

“橢圓定義”是繼“圓定義”后的又一平面曲線的一個(gè)概念，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“橢圓定義”的學(xué)習(xí)要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程，掌握其定義.”本文基于數(shù)學(xué)本質(zhì)對(duì)“橢圓定義”做教學(xué)設(shè)計(jì)，以下一些方面值得反思.

2.1以生為本，對(duì)教材二次開(kāi)發(fā)

橢圓的定義，在教材中是這樣引入的：“把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，移動(dòng)筆尖的過(guò)程中，細(xì)繩的長(zhǎng)度保持不變，即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).”圍繞這個(gè)方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計(jì).或是讓學(xué)生按教材上的敘述方法，動(dòng)手畫(huà)出橢圓，或是用課件演示，按定義畫(huà)出橢圓，但定義是怎樣想到的？?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)從何而來(lái)？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.為此，本設(shè)計(jì)改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例2進(jìn)行改編，然后前置，作為探索主線，從學(xué)生已有圓的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置適合的問(wèn)題使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，感知橢圓概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈.特別是數(shù)學(xué)概念的引出，新教材關(guān)注與其它學(xué)科，周?chē)h(huán)境，日常生活等實(shí)例的聯(lián)系，通過(guò)設(shè)置豐富的問(wèn)題情境，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，加強(qiáng)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)有非常重要的作用.本設(shè)計(jì)在橢圓概念的引入和定義的探索中注重情境化，使學(xué)生學(xué)有余力，輕松自如.

2.3多媒體的使用，為本課的教學(xué)增添了亮點(diǎn)

課后評(píng)議中，老師們一致認(rèn)為課堂設(shè)計(jì)總體思路清晰，“幾何畫(huà)板”的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，使學(xué)生能很好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而探索數(shù)學(xué)結(jié)論，交流，討論，師生對(duì)話(huà)等多樣的學(xué)習(xí)方式，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成了學(xué)生積極思考，樂(lè)于探索的好習(xí)慣.

（板書(shū)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

1.4應(yīng)用新知，解決問(wèn)題

請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識(shí)，解決下面問(wèn)題.（最好獨(dú)立完成，遇到困難時(shí)，可以交流討論）

問(wèn)題1：你能用橢圓的定義畫(huà)出一個(gè)橢圓嗎？

問(wèn)題2：如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿(mǎn)足關(guān)系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，則點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？為什么？

圖7

問(wèn)題3：如圖7，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

2教學(xué)反思

“橢圓定義”是繼“圓定義”后的又一平面曲線的一個(gè)概念，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“橢圓定義”的學(xué)習(xí)要求是：“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程，掌握其定義.”本文基于數(shù)學(xué)本質(zhì)對(duì)“橢圓定義”做教學(xué)設(shè)計(jì)，以下一些方面值得反思.

2.1以生為本，對(duì)教材二次開(kāi)發(fā)

橢圓的定義，在教材中是這樣引入的：“把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，移動(dòng)筆尖的過(guò)程中，細(xì)繩的長(zhǎng)度保持不變，即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).”圍繞這個(gè)方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計(jì).或是讓學(xué)生按教材上的敘述方法，動(dòng)手畫(huà)出橢圓，或是用課件演示，按定義畫(huà)出橢圓，但定義是怎樣想到的？?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)從何而來(lái)？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，不可理喻.為此，本設(shè)計(jì)改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例2進(jìn)行改編，然后前置，作為探索主線，從學(xué)生已有圓的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，設(shè)置適合的問(wèn)題使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，感知橢圓概念的形成原本是自然的，水到渠成的.

2.2情境化的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈.特別是數(shù)學(xué)概念的引出，新教材關(guān)注與其它學(xué)科，周?chē)h(huán)境，日常生活等實(shí)例的聯(lián)系，通過(guò)設(shè)置豐富的問(wèn)題情境，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的視野，加強(qiáng)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)有非常重要的作用.本設(shè)計(jì)在橢圓概念的引入和定義的探索中注重情境化，使學(xué)生學(xué)有余力，輕松自如.

2.3多媒體的使用，為本課的教學(xué)增添了亮點(diǎn)

課后評(píng)議中，老師們一致認(rèn)為課堂設(shè)計(jì)總體思路清晰，“幾何畫(huà)板”的有效使用，直觀形象地呈現(xiàn)了圖形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，使學(xué)生能很好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而探索數(shù)學(xué)結(jié)論，交流，討論，師生對(duì)話(huà)等多樣的學(xué)習(xí)方式，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成了學(xué)生積極思考，樂(lè)于探索的好習(xí)慣.