郭培俊， 郭曉曼

(1.浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 浙江 溫州 325003； 2.中南民族大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院, 湖北 武漢 430074)

1 分類討論概述

分類與討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是一種數(shù)學(xué)能力[1].當面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時，就把問題按照一定的原則或標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.

當我們所研究的各種對象之間過于復(fù)雜或涉及范圍比較廣泛時，我們大多采取分類討論的方法進行解決，即對問題中的各種情況進行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M行分割，然后分別研究和求解.分類討論解題的實質(zhì)，是將整體問題化為部分問題來解決,以增加題設(shè)條件[2].

分類討論的思想方法的實質(zhì)是把問題“分而治之，各個擊破”.其一般規(guī)則及步驟是：(1)確定同一分類標準；(2)恰當?shù)貙θw對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復(fù)又不遺漏”；(3)逐類討論，按一定的層次討論，逐級進行；(4)綜合概括小結(jié)，歸納得出結(jié)論[3].

分類討論,一方面可將復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng).

近年來，在各地專升本試題中涉及“分類討論”的問題越來越顯現(xiàn)，因為這類試題不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識與方法，而且考查了學(xué)生思維的深刻性.在解決此類問題時，因考慮不周全導(dǎo)致失分的較多，究其原因主要是平時的學(xué)習(xí)中，由于高職生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間少和高職學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求“扁平化(必須、夠用原則)”，導(dǎo)致對“分類討論”的數(shù)學(xué)思想滲透不夠，個人水平偏低.這需要參加專升本的學(xué)生補上一課，花點時間加強“分類討論”的學(xué)習(xí).

應(yīng)用分類討論思想解決問題必須保證分類科學(xué)，標準統(tǒng)一，做到不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡、完備.

2 分類討論常見知識點

分類討論是解題的需要，是同一本質(zhì)的幾種表現(xiàn)形式，是準確反映事物本質(zhì)的要求.在專升本《高等數(shù)學(xué)》中，分類討論常見的知識點有:

指數(shù)函數(shù)y=ax，其中底數(shù)a是參數(shù)，要分為01兩情況進行討論；

對數(shù)函數(shù)y=logax，底數(shù)a是參數(shù)，要分為01兩情況進行討論；

分段函數(shù)在分界點處的極限、導(dǎo)數(shù)要分左右極限、導(dǎo)數(shù)討論；

x→∞的極限往往要分為x→+∞,x→-∞兩情況討論；

對函數(shù)的零點、駐點、極值點、拐點往往也作為討論的對象，主要考察這些點把定義域分成的各個不同區(qū)間內(nèi)所分析函數(shù)的性質(zhì).

3 分類討論的例題解析

分析 把定義域按可能取得極值的極值點進行分類 ,即用駐點和不可導(dǎo)點將定義域分成不同的區(qū)間.

解函數(shù)的定義域為{x|x≠0}.

令y′=0得駐點x=-1,x=1.不可導(dǎo)點為x=0.

三個點x=0,x=-1,x=1把定義域分成四段，列表如下：

表的單調(diào)區(qū)間

所以單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),(0,1).

例2試確定函數(shù)y=|x(1-x)|的單調(diào)性與極值[4].

分析 同例1一樣,按可能取得極值的極值點進行分類 (用駐點和不可導(dǎo)點將定義域分成區(qū)間),而不可導(dǎo)點往往在分段函數(shù)的分界點處.本題在對含絕對值函數(shù)進行分段的基礎(chǔ)上,再用駐點進行二次分類.

解顯然y=y(x)是一個分段函數(shù)

由導(dǎo)數(shù)定義得y(x)在x=0處的左、右導(dǎo)數(shù)分別為

表2 函數(shù)y=|x(1-x)|的單調(diào)區(qū)間

例3討論曲線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點個數(shù).

分析 問題等價于討論方程ln4x-4lnx+4x-k=0有幾個不同的實根.除了對x進行分類討論外,還要對參數(shù)k進行分類討論.

解設(shè)φ(x)=ln4x-4lnx+4x-k，則

令φ′(x)=0，得唯一駐點x=1.

當01時，φ′(x)>0.因此，x=1是φ(x)的極小值點，極小值為φ(1)=4-k.

當φ(1)>0，即當k<4時，φ(x)≥φ(1)>0,φ(x)無零點.

當φ(1)=0，即當k=4時，φ(x)≥φ(1)=0,φ(x)有唯一零點.

當φ(1)<0，即當k>4時，由于

故φ(x)有兩個不同的交點.

綜上所述，當k<4時，兩曲線沒有交點；當k=4時，兩曲線僅有一個交點；當k>4時，兩曲線有兩個交點.

分析 通過觀察，需對en,xn進行大小比較，轉(zhuǎn)化為e,x的比較.分三種情況：xe討論.

解(i)當x

(ii)x=e時，

(iii)x>e時，

分析 分段函數(shù)有一個分界點,求導(dǎo)要分類.本題要分為x<0,x>0,x=0三種情況.特別注意不能忽視第三種情況，即如何求f′(0).

解(i)x<0時，f′(x)=-2e2x.

(ii)x>0時，f′(x)=2x.

(iii)x=0時，由于f(0)=0，而

例6設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù),且對x,y的一切實數(shù)值滿足

f(x+y)=f(x)+f(y)，

試證f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)為線性函數(shù)f(x)=ax,其中a=f(1).

分析 首先進行一級分類,把實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù),只須對有理數(shù)進行分析,無理數(shù)用極限逼近成有理數(shù)情況；再進行二級分類,把有理數(shù)又可分成整數(shù)、分數(shù)(分子為1或不為1)進行討論.最后采用從特殊到一般的思想進行歸納推理.分類結(jié)構(gòu)為

證任取x∈(-∞,+∞),當y=0時,由題設(shè)可知

f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0),

由此可得f(0)=0.若取y=-x,則由題設(shè)可知

f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,

從而知f(-x)=-f(x).即f(x)為奇函數(shù).

對x進行分類討論

1. (x取整數(shù))設(shè)x=k,k為正整數(shù),由數(shù)學(xué)歸納法可證得

f(k)=f(1+1+…+1)=kf(1).

從而

綜上可知,任取x為有理數(shù),總有f(x)=f(1)x.

綜上可知,在(-∞,+∞)內(nèi),恒有f(x)=f(1)x=ax,其中a=f(1).

分析 以0為分界點,對k分三種情況討論.

對k分以下三種情況討論:

(i) 當k>0時,由上式得

(ii)當k=0時,原級數(shù)的通項un=1不趨于零,故原級數(shù)發(fā)散.

(iii) 當k<0時, -k>0,原級數(shù)的通項un=(ln(1+n))-k趨于+∞,故原級數(shù)發(fā)散.

綜上,原級數(shù)發(fā)散.

例8求微分方程y″-ay=0的通解,其中a為常數(shù).

分析 在特征方程中,對a分三種情況討論.

解這是常系數(shù)線性齊次微分方程,它的特征方程為r2-a=0.

當a=0時, 特征根r=0是二重根,原方程的通解為

y=C1+C2x.

4 分類討論練習(xí)

(A)連續(xù)點 (B)可去間斷點 (C)跳躍間斷點 (D)第二類間斷點

提示 通過討論x→0-,x→0+的左、右極限再作判斷.

(vi) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是0≤x≤1，求g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定義域，其中a>0為常數(shù).

(vii) 設(shè)函數(shù)

試求復(fù)合函數(shù)f[g(x)]與g[f(x)].

(viii) 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),且f(0)=f(1)=0,試證對任意一個實數(shù)l(0

(x) 試確定實常數(shù)a,b的不同取值范圍,討論方程ax=bx,a>1的實根分布.

[參 考 文 獻]

[1] 王鎮(zhèn)海.關(guān)于數(shù)學(xué)分類討論題的教學(xué)[J].教學(xué)與管理，1992，9(3)：43-44.

[2] 張小芳.淺談教學(xué)應(yīng)如何進行分類討論[J].成功(教育),2010，4(2)：114-115.

[3] 王勇.分而治之,各個擊破——解讀分類討論的思想方法[J].高考(數(shù)語英),2007，3(Z1)：29—30.

[4] 邵劍,李大侃.高等數(shù)學(xué)專題梳理與解讀[M].上海:同濟大學(xué)出版社,2008.

[5] 毛綱源.考研數(shù)學(xué)(二)?？碱}型及其解題方法技巧歸納[M]武漢:華中科技大學(xué)出版,2004.