顧艷紅， 趙玉英

(北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京 100083)

1 引 言

無窮小是極限為零的變量，作為數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)中的一個重要概念，它卻又有幾分神秘，給人一種不可捉摸之感.因此有人把它比喻成田野上遠(yuǎn)處的地平線，看得見，卻又走不到它跟前.正是其神秘和復(fù)雜，觸動了學(xué)者們的感情，也很少有別的觀念像無窮那樣激勵理智產(chǎn)生富有成果的思想[1].

在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究中，很多學(xué)者也非常關(guān)注無窮小這一重要概念，尤其是對于無窮小的比較，從對其定義的科學(xué)性到教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的設(shè)計[1-6]，他們都進(jìn)行了深入探索和討論，揭示出無窮小的神秘一面.

對于兩個無窮小，如果α是比β高階的無窮小量，未必等價于β是比α低階的無窮小量[1-3]；對于任何兩個無窮小量，并非都可以進(jìn)行階的比較[6].在文[6]中還給出了確定無窮小量階的定理.在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步說明，對于兩個非0的無窮小α與β，即使在能比較階的高低情況下，α未必是β的k(k>0)階無窮小.

2 無窮小比較的定義

關(guān)于兩個無窮小的比較，文[7]給出了如下定義.

定義1[7]設(shè)在自變量的同一變化過程中，α與β為無窮小，且α≠0，

3 關(guān)于無窮小比較的一點(diǎn)注記及例子

在文[1]和文[2]的基礎(chǔ)上，本文給出關(guān)于無窮小比較的一點(diǎn)注記.

注 兩個非0無窮小即使在能比較階的高低情況下，一個無窮小未必是另一個無窮小的k(k>0)階無窮小.

當(dāng)x→0時，0是其它非0無窮小的高階無窮小，但0不是其它非0無窮小的k(k>0)階無窮小.對于兩個非0無窮小，構(gòu)造出了如下兩個例子.

證根據(jù)洛必達(dá)法則[7]，

證

根據(jù)洛必達(dá)法則，

4 結(jié)束語

表的取值對照

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 方濤.關(guān)于無窮小量的幾點(diǎn)注記[J].上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報,2013,27(3):275-277.

[2] 龔冬保.高階無窮小與低階無窮小:無窮小比較的一個問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2000，3(3):16.

[3] 潘建輝，胡學(xué)剛，鄧志穎.關(guān)于“無窮小的比較”的教學(xué)研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14(5):43-46.

[4] 馬懷遠(yuǎn).再談無窮小比較的解釋[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué))，2012，28(4):16-17,63.

[5] 潘建輝,鄧志穎,楊春德.“無窮小的比較”的定義及其改進(jìn)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(3):204-208.

[6] 鄧俊蘭.關(guān)于無窮小量階的若干注記[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，9(9):81-83.

[7] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)(上冊)[M].6版.北京.高等教育出版社，2007：57-59.