潘 杰， 蘇化明

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230009)

首先介紹幾道關(guān)于定積分計(jì)算的數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.

本文將給出一個(gè)關(guān)于定積分的命題，由此命題可以給出以上幾道試題的統(tǒng)一解答，然后再通過另外的實(shí)例進(jìn)一步說明此命題的應(yīng)用.

命題設(shè)f(x)，g(x)為[a,b] (b>a)上的連續(xù)函數(shù). 若f(x)=f(a+b-x)，g(x)+g(a+b-x)=m(常數(shù))，則有

(1)

證令x=a+b-t，則

于是

由于f(a+b-x)=f(x)，所以

試題(A)的解答.

故由(1)可得

試題(B)的解答.

故由(1)可得

試題(C)的解答.

令x=tant，則有

故由(1)可得

注 本試題還有其他解法.

試題(D)的解答.

試題(E)的解答.

故In=In-2(n=2,3,…).

由于I0=0，I1=π,所以

試題(F)的解答.

故由(1)可得

因此

下面再舉幾個(gè)例子進(jìn)一步說明本文所給命題在某些積分計(jì)算中的應(yīng)用.

由于

令x=π-t，則

故

解在(1)中取a=0，b=nπ，f(x)=|sinnx|，g(x)=x，則有f(nπ-x)=f(x)，g(nπ-x)=nπ-x，g(x)+g(nπ-x)=nπ，故由(1)可得

由于

因此所求積分I=n2π.

例3[6]證明：

并求I的值. (陜西省第八次大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，2010年)

因此

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 劉培杰數(shù)學(xué)工作室組織編譯.歷屆PTN美國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題集(1938—2007)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[2] 許康，陳強(qiáng)，陳摯，陳娟編譯.前蘇聯(lián)大學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題解(下編)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012.

[3] 王麗萍編譯.歷屆IMC國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題集(1994—2010)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012.

[4] 李心燦，季文鐸，孫洪祥，邵鴻飛，吳紀(jì)桃，張后揚(yáng).大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[5] 李重華，孫薇榮，景繼良，鄭麒海.上海交通大學(xué)1982—1995年高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題精解[M].上海：上海科學(xué)普及出版社，1996.

[6] 陜西省第八次大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(6)：64-65.