溫福云

【摘要】數(shù)學(xué)是一門發(fā)展歷史久遠(yuǎn)且應(yīng)用廣泛的重要學(xué)科?，F(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展要求學(xué)生能夠良好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是高中的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)存在著至關(guān)重要的影響。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的一部分，一直都是各類考試中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。函數(shù)有很多基本性質(zhì)，對(duì)稱性就是其中之一，在解決各類數(shù)學(xué)問題時(shí)，對(duì)稱性由于其簡(jiǎn)單、快捷被應(yīng)用的非常廣泛。本文結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)例，對(duì)高中教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱性教學(xué)進(jìn)行了探析。

【關(guān)鍵詞】高中教學(xué)；函數(shù)對(duì)稱性；分析探究

對(duì)稱是一種美，廣泛存在于生活的方方面面。函數(shù)的對(duì)稱性也屬于這美的一種，另外將對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行合理地利用還能幫助學(xué)生增強(qiáng)創(chuàng)新能力，豐富其邏輯思維。所以，高中數(shù)學(xué)的函數(shù)對(duì)稱性教學(xué)是非常重要的一項(xiàng)環(huán)節(jié)，教師之間應(yīng)當(dāng)多進(jìn)行交流，以商討出良好的教學(xué)方法和方案，推動(dòng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展。

1 對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的分析

函數(shù)圖像自身的對(duì)稱分為軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，有的函數(shù)圖像與圖像之間也存在對(duì)稱。不同的函數(shù)對(duì)稱的位置也不同。教材中闡述了一些關(guān)于此方面的性質(zhì)，如奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱等等。舉數(shù)學(xué)的函數(shù)定理來進(jìn)行對(duì)稱性探究，例1.定理：函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(xl，y1)對(duì)稱的充要條件是f(2xl-x)+f(x)=2yl。

證明：必要性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像上存在任意一點(diǎn)P(x，y)

因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(xl，y1)的對(duì)稱點(diǎn)P(2xl-x，2yl-y)也在y=f(x)的圖像之上，

所以2 yl-y=f(2xl—x)也就是2yl=f(2xl-x)+y

因此，2yl=f(x)+f(2x1-x)必要性得到證明

充分性：設(shè)函數(shù)y=f(x)上存在任意一點(diǎn)p(xl，y1)，那么，y=f(x1)

因?yàn)閒(2xl-x)+f（x)=2y1所以f（xl）+f(2xl-x1)=2yl，也就是2yl-yl=f(2xl-x1)

所以點(diǎn)(2x1-xl，2y1-y1)也在函數(shù)y=f(x)的圖像上，點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A(xl，y1)對(duì)稱，充分性得到證明。

推論：函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是f(-x)+f(x)=O

例2.若函數(shù) y=f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a，c)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線 x=b成軸對(duì)稱(a≠6)，

則y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期．

因?yàn)楹瘮?shù) y=( x)圖像關(guān)于點(diǎn)A(n，c)成中心對(duì)稱，

所以f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x帶入x,得f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c （1）

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)圖像關(guān)于直線 x=b成軸對(duì)稱，所以f(2b-x)=f(x)代入（1）得f(x)=2c-f[2(a-b)+x].（2）用2(a-b)-x代入x，得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x],代入（2）得f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函數(shù),且4|a-b|是其一個(gè)周期。

事實(shí)表明，數(shù)學(xué)具有千變?nèi)f化的題型，教師在給學(xué)生進(jìn)行練習(xí)題的布置時(shí)，不能只是單純的運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)。畢竟題是做不完的，教師在留給學(xué)生題目時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)其中所包含的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)挖掘，并引申出相應(yīng)的變式，讓學(xué)生獨(dú)立思考進(jìn)行比較和分析，深層次地學(xué)習(xí)概念相似及方法相通的類型題，對(duì)原來所用的方法有更透徹的理解。避免學(xué)生慣性思維的反復(fù)出現(xiàn)，最終達(dá)到學(xué)生自己做題時(shí)也能夠舉一反三的效果。

除卻函數(shù)對(duì)稱性自身可以出現(xiàn)的題目，它的應(yīng)用類型題也非常廣泛。例1.：設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)=()

A．0.5B．-0.5 C．1.5 D．-1.5

解：因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以點(diǎn)(O，O)是其對(duì)稱中心．

又因?yàn)閒(x+2)=-f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x)

所以直線x=1是 y=f(x)對(duì)稱軸，故 y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)．

所以f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0．5)=-f(0. 5)=-0. 5

故選B．

例2.(第十二屆希望杯高二第二試題)定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(1O+x)為偶函數(shù)，

且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定是()

A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：因?yàn)閒(10+x)為偶函數(shù)，所以f(10+x)=f(10-x), 所以f(x)有兩條對(duì)稱軸 x=5與x=1O．

因此f( x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以x=0，即y 軸也是f(x)的對(duì)稱軸，

因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù)．故選A.

由此可見，函數(shù)對(duì)稱性在解決函數(shù)的問題時(shí)有至關(guān)重要的作用。教師在進(jìn)行函數(shù)的對(duì)稱性教學(xué)過程中，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解和掌握，只有學(xué)生獨(dú)立的對(duì)問題進(jìn)行思考和創(chuàng)新，才會(huì)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而提高其學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

2 數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性的教學(xué)策略探究

2.1設(shè)置合理的教學(xué)課程

函數(shù)對(duì)稱性內(nèi)容及其思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有非常重要的作用，按照數(shù)學(xué)教學(xué)理念的要求，教學(xué)應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活的聯(lián)系，并側(cè)重于知識(shí)的應(yīng)用層面。所以，希望在函數(shù)對(duì)稱性的教學(xué)過程中，能夠進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)其規(guī)律特征的探究分析，并合理的設(shè)置課程，安排好對(duì)此項(xiàng)內(nèi)容的要求標(biāo)準(zhǔn)。

2.2進(jìn)行專門的函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)講解

由于現(xiàn)在中國的教學(xué)仍處在應(yīng)試教育這樣一個(gè)大環(huán)境下，課堂教學(xué)的內(nèi)容和重點(diǎn)通常是考試大綱中所規(guī)定的那些，關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)美感和思維視野方面的知識(shí)少之又少，成套的數(shù)學(xué)知識(shí)體系講解完全是為了應(yīng)試，為了高分。大部分教師為使學(xué)生拿到好成績(jī)，基本不做課外知識(shí)的講述，本來是創(chuàng)造性地發(fā)散思維的學(xué)科卻只充滿了刻板的講解和枯燥乏味、無休止的練習(xí)。學(xué)生完全感受不到數(shù)學(xué)的美妙思想和其與實(shí)際生產(chǎn)生活的緊密聯(lián)系，降低了學(xué)習(xí)的興趣，埋葬了創(chuàng)新的潛力。因此，教師在知識(shí)的傳授過程中除了講授考試規(guī)定的成套數(shù)學(xué)體系，一定還要給學(xué)生講解數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，各種不同的數(shù)學(xué)方法，有何科學(xué)成果及與其他學(xué)科之間存在的關(guān)聯(lián)，還應(yīng)講述數(shù)學(xué)中存在的美和各種能體現(xiàn)這些美的事物。高中數(shù)學(xué)的函數(shù)對(duì)稱性就很能表現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，并且其思想方法有很廣泛的應(yīng)用和作用。所以，應(yīng)當(dāng)對(duì)函數(shù)對(duì)稱性章節(jié)的知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)的講解和專門的輔導(dǎo)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探究各種數(shù)學(xué)方法的能力，了解并重視數(shù)學(xué)思想，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提高，為數(shù)學(xué)的長期性學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

3 結(jié)束語

本文對(duì)高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)對(duì)稱性知識(shí)進(jìn)行了部分講解，論述了此階段內(nèi)容乃至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的重要性，指出教育工作者應(yīng)盡的義務(wù)，并對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的教學(xué)方法和策略進(jìn)行了探究性分析。文章旨在推動(dòng)我國高中數(shù)學(xué)教育事業(yè)的發(fā)展，希望今后的教育教學(xué)工作能夠更加順利的進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)：

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