楊文青

【摘 要】類比推理已經(jīng)成為初高中數(shù)學(xué)中越來越熱門的考點，既考查學(xué)生的研究能力，同時也考察學(xué)生的發(fā)散思維和邏輯推理能力。對于一些疑難問題的解決有著事半功倍的作用。本文通過一些具體例題來體現(xiàn)類比推理的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】類比；類比思想；推理過程

一、類比推理

類比是根據(jù)兩個數(shù)學(xué)對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，它通常稱為類比法。它是以比較為基礎(chǔ)，通過對兩個（或兩類）不同的對象進(jìn)行比較，找出它們的相同點或相似點，然后以此為依據(jù)，將關(guān)于某一些知識或結(jié)論推移到另一種對象中去。其結(jié)論的可靠程度依賴于兩個研究對象的共同屬性，一般說來，共有屬性愈多，結(jié)論的可靠程度就愈大。類比既是一種邏輯方法又是一種科學(xué)研究的方法，它是人們思考問題和處理問題的重要手段，是發(fā)明創(chuàng)造的一把金鑰匙。

類比分為簡單類比和復(fù)雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征，其模式為

復(fù)雜類比是一種是實質(zhì)性類比，需要用過較為深入的分析后才能得出新的猜測，其模式為

類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其正確性，還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證。運(yùn)用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

二、類比推理的應(yīng)用

類比思維在數(shù)學(xué)知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯(lián)想，用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以通過類比學(xué)習(xí)新知識，也可以通過類比來尋求解題思路，甚至通過類比來推廣數(shù)學(xué)命題。利用類比法，可使我們的思維能力、觀察能力得到良好的鍛煉。下面我們從數(shù)學(xué)解題的角度來談?wù)勵惐确ǖ膽?yīng)用。

1.平面幾何與立體幾何的類比

有些立體幾何問題的解決可類比于平面幾何問題解決的思路方法，有時可簡化運(yùn)算與推理，優(yōu)化解題過程.

【例1】如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（于四個面都相切的球）的球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如過截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1與S2的大小關(guān)系不能確定

圖1 圖2

分析：本題是立體幾何問題，將立體中的有關(guān)圖形、有關(guān)量與平面相應(yīng)的元素進(jìn)行類比：

空間 平面

三棱錐 三角形

三棱錐的內(nèi)切球 三角形的內(nèi)接圓

三棱錐的表面積 三角形的周長

三棱錐的體積 三角形的面積

由此可得到平面幾何中相應(yīng)的問題：

如圖2，在△ABC中，直線EF經(jīng)過其內(nèi)切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設(shè)△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，求L1、L2關(guān)系。

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，將四邊形BCEF分割為△EOB、△BOC、△COF三部分， 將△AEF分割為△AOE、△AOF，則：

S△EOB+S△BOC+S△COF=S△AOE+S△AOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

∴AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由類比思維可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路與相應(yīng)的平面幾何問題相仿，即將四棱錐A-BEFD分割為O-ABD，O-ABE，O-ADF與O-BEFD四部分，而將三棱錐A-EFC分割為O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用兩部分體積相等求解，本題答案為C。

我們也可以利用兩類事物之間的相似性或一致性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題或猜想。

2.解析幾何中的類比推理

【例2】已知兩個圓：X2+Y2=1①與X2+（Y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。

【分析】將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2③與（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。

評注：本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

3.數(shù)列中的類比推理

【例3】定義等和數(shù)列：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列{an}，是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為 。

【分析】由等和數(shù)列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，

評注：本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識及其數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

4.排列組合中的類比推理

【例4】已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）的首項為a1，公比為的q等比數(shù)列。

歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明。

【分析】通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結(jié)論：

歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則：

評注：本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過抓住問題的實質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

三、結(jié)束語

綜上所述，類比的思想在我們處理一些數(shù)學(xué)問題時的確起著十分重要的作用，我們也應(yīng)該學(xué)習(xí)類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質(zhì)上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質(zhì)不同的問題。類比是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域、創(chuàng)造新分支的重要手段，類比的關(guān)鍵是把兩個對象之間的某種相似性確切的表達(dá)出來。類比思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、廣闊性和敏捷性，值得我們研討。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑曼.數(shù)學(xué)邏輯學(xué).哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一種特殊的數(shù)學(xué)思維方法——類比法.甘肅高師學(xué)報，2008.13.5

[3]孫衛(wèi)東.淺談類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.甘肅科技縱橫，2006.2

【摘 要】類比推理已經(jīng)成為初高中數(shù)學(xué)中越來越熱門的考點，既考查學(xué)生的研究能力，同時也考察學(xué)生的發(fā)散思維和邏輯推理能力。對于一些疑難問題的解決有著事半功倍的作用。本文通過一些具體例題來體現(xiàn)類比推理的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】類比；類比思想；推理過程

一、類比推理

類比是根據(jù)兩個數(shù)學(xué)對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，它通常稱為類比法。它是以比較為基礎(chǔ)，通過對兩個（或兩類）不同的對象進(jìn)行比較，找出它們的相同點或相似點，然后以此為依據(jù)，將關(guān)于某一些知識或結(jié)論推移到另一種對象中去。其結(jié)論的可靠程度依賴于兩個研究對象的共同屬性，一般說來，共有屬性愈多，結(jié)論的可靠程度就愈大。類比既是一種邏輯方法又是一種科學(xué)研究的方法，它是人們思考問題和處理問題的重要手段，是發(fā)明創(chuàng)造的一把金鑰匙。

類比分為簡單類比和復(fù)雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征，其模式為

復(fù)雜類比是一種是實質(zhì)性類比，需要用過較為深入的分析后才能得出新的猜測，其模式為

類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其正確性，還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證。運(yùn)用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

二、類比推理的應(yīng)用

類比思維在數(shù)學(xué)知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯(lián)想，用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以通過類比學(xué)習(xí)新知識，也可以通過類比來尋求解題思路，甚至通過類比來推廣數(shù)學(xué)命題。利用類比法，可使我們的思維能力、觀察能力得到良好的鍛煉。下面我們從數(shù)學(xué)解題的角度來談?wù)勵惐确ǖ膽?yīng)用。

1.平面幾何與立體幾何的類比

有些立體幾何問題的解決可類比于平面幾何問題解決的思路方法，有時可簡化運(yùn)算與推理，優(yōu)化解題過程.

【例1】如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（于四個面都相切的球）的球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如過截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1與S2的大小關(guān)系不能確定

圖1 圖2

分析：本題是立體幾何問題，將立體中的有關(guān)圖形、有關(guān)量與平面相應(yīng)的元素進(jìn)行類比：

空間 平面

三棱錐 三角形

三棱錐的內(nèi)切球 三角形的內(nèi)接圓

三棱錐的表面積 三角形的周長

三棱錐的體積 三角形的面積

由此可得到平面幾何中相應(yīng)的問題：

如圖2，在△ABC中，直線EF經(jīng)過其內(nèi)切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設(shè)△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，求L1、L2關(guān)系。

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，將四邊形BCEF分割為△EOB、△BOC、△COF三部分， 將△AEF分割為△AOE、△AOF，則：

S△EOB+S△BOC+S△COF=S△AOE+S△AOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

∴AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由類比思維可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路與相應(yīng)的平面幾何問題相仿，即將四棱錐A-BEFD分割為O-ABD，O-ABE，O-ADF與O-BEFD四部分，而將三棱錐A-EFC分割為O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用兩部分體積相等求解，本題答案為C。

我們也可以利用兩類事物之間的相似性或一致性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題或猜想。

2.解析幾何中的類比推理

【例2】已知兩個圓：X2+Y2=1①與X2+（Y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。

【分析】將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2③與（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。

評注：本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

3.數(shù)列中的類比推理

【例3】定義等和數(shù)列：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列{an}，是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為 。

【分析】由等和數(shù)列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，

評注：本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識及其數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

4.排列組合中的類比推理

【例4】已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）的首項為a1，公比為的q等比數(shù)列。

歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明。

【分析】通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結(jié)論：

歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則：

評注：本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過抓住問題的實質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

三、結(jié)束語

綜上所述，類比的思想在我們處理一些數(shù)學(xué)問題時的確起著十分重要的作用，我們也應(yīng)該學(xué)習(xí)類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質(zhì)上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質(zhì)不同的問題。類比是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域、創(chuàng)造新分支的重要手段，類比的關(guān)鍵是把兩個對象之間的某種相似性確切的表達(dá)出來。類比思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、廣闊性和敏捷性，值得我們研討。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑曼.數(shù)學(xué)邏輯學(xué).哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一種特殊的數(shù)學(xué)思維方法——類比法.甘肅高師學(xué)報，2008.13.5

[3]孫衛(wèi)東.淺談類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.甘肅科技縱橫，2006.2

【摘 要】類比推理已經(jīng)成為初高中數(shù)學(xué)中越來越熱門的考點，既考查學(xué)生的研究能力，同時也考察學(xué)生的發(fā)散思維和邏輯推理能力。對于一些疑難問題的解決有著事半功倍的作用。本文通過一些具體例題來體現(xiàn)類比推理的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】類比；類比思想；推理過程

一、類比推理

類比是根據(jù)兩個數(shù)學(xué)對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，它通常稱為類比法。它是以比較為基礎(chǔ)，通過對兩個（或兩類）不同的對象進(jìn)行比較，找出它們的相同點或相似點，然后以此為依據(jù)，將關(guān)于某一些知識或結(jié)論推移到另一種對象中去。其結(jié)論的可靠程度依賴于兩個研究對象的共同屬性，一般說來，共有屬性愈多，結(jié)論的可靠程度就愈大。類比既是一種邏輯方法又是一種科學(xué)研究的方法，它是人們思考問題和處理問題的重要手段，是發(fā)明創(chuàng)造的一把金鑰匙。

類比分為簡單類比和復(fù)雜類比兩類。簡單類比是一種形式性類比，它具有明顯性、直接性的特征，其模式為

復(fù)雜類比是一種是實質(zhì)性類比，需要用過較為深入的分析后才能得出新的猜測，其模式為

類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其正確性，還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證。運(yùn)用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

二、類比推理的應(yīng)用

類比思維在數(shù)學(xué)知識的延伸拓展過程中常借助于比較、聯(lián)想，用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以通過類比學(xué)習(xí)新知識，也可以通過類比來尋求解題思路，甚至通過類比來推廣數(shù)學(xué)命題。利用類比法，可使我們的思維能力、觀察能力得到良好的鍛煉。下面我們從數(shù)學(xué)解題的角度來談?wù)勵惐确ǖ膽?yīng)用。

1.平面幾何與立體幾何的類比

有些立體幾何問題的解決可類比于平面幾何問題解決的思路方法，有時可簡化運(yùn)算與推理，優(yōu)化解題過程.

【例1】如圖1，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（于四個面都相切的球）的球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如過截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別為S1，S2，則必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1與S2的大小關(guān)系不能確定

圖1 圖2

分析：本題是立體幾何問題，將立體中的有關(guān)圖形、有關(guān)量與平面相應(yīng)的元素進(jìn)行類比：

空間 平面

三棱錐 三角形

三棱錐的內(nèi)切球 三角形的內(nèi)接圓

三棱錐的表面積 三角形的周長

三棱錐的體積 三角形的面積

由此可得到平面幾何中相應(yīng)的問題：

如圖2，在△ABC中，直線EF經(jīng)過其內(nèi)切圓的圓心O，且與AB、AC分別交于E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設(shè)△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，求L1、L2關(guān)系。

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，將四邊形BCEF分割為△EOB、△BOC、△COF三部分， 將△AEF分割為△AOE、△AOF，則：

S△EOB+S△BOC+S△COF=S△AOE+S△AOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

∴AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由類比思維可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路與相應(yīng)的平面幾何問題相仿，即將四棱錐A-BEFD分割為O-ABD，O-ABE，O-ADF與O-BEFD四部分，而將三棱錐A-EFC分割為O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用兩部分體積相等求解，本題答案為C。

我們也可以利用兩類事物之間的相似性或一致性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題或猜想。

2.解析幾何中的類比推理

【例2】已知兩個圓：X2+Y2=1①與X2+（Y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為 。

【分析】將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：

設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2③與（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程。

評注：本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

3.數(shù)列中的類比推理

【例3】定義等和數(shù)列：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列{an}，是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為 ，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為 。

【分析】由等和數(shù)列的定義，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，

評注：本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識及其數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，本題還考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

4.排列組合中的類比推理

【例4】已知數(shù)列{an}（n為正整數(shù)）的首項為a1，公比為的q等比數(shù)列。

歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明。

【分析】通過大膽猜測，歸納猜想出一般性的結(jié)論：

歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則：

評注：本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創(chuàng)新能力的考查；通過抓住問題的實質(zhì)，探討具有共同的屬性，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。

三、結(jié)束語

綜上所述，類比的思想在我們處理一些數(shù)學(xué)問題時的確起著十分重要的作用，我們也應(yīng)該學(xué)習(xí)類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問題時，我們也要注意所類比的兩個事物在本質(zhì)上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質(zhì)不同的問題。類比是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)概念、定理、公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域、創(chuàng)造新分支的重要手段，類比的關(guān)鍵是把兩個對象之間的某種相似性確切的表達(dá)出來。類比思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、廣闊性和敏捷性，值得我們研討。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑曼.數(shù)學(xué)邏輯學(xué).哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一種特殊的數(shù)學(xué)思維方法——類比法.甘肅高師學(xué)報，2008.13.5

[3]孫衛(wèi)東.淺談類比法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.甘肅科技縱橫，2006.2