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        柯西不等式推論的應(yīng)用

        2014-03-18 08:26:54寧紀(jì)獻(xiàn)覃發(fā)崗
        2014年39期
        關(guān)鍵詞:不等式應(yīng)用

        寧紀(jì)獻(xiàn) 覃發(fā)崗

        摘要:對(duì)柯西不等式基本形式、推論作了歸納,然后給出了其推論的應(yīng)用。

        關(guān)鍵詞:不等式;應(yīng)用;柯西不等式

        1.引言

        柯西不等式[1]是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的不等式,它結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)和諧,具有較強(qiáng)的應(yīng)用性,深受人們的喜愛(ài).它的推論也比較多,本文主要介紹其四個(gè)推論及其應(yīng)用.

        2.柯西不等式的推論

        2.1柯西不等式的基本形式

        柯西不等式已知ai,bi∈Ri=1,2,…,n,則∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i,當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…=anbni=1,2,…,n時(shí)等號(hào)成立.

        2.2柯西不等式的推論

        下面給出它常見(jiàn)的四個(gè)推論.

        推論1[2]設(shè)a1,a2,…,an是實(shí)數(shù),則n∑ni=1a2i≥∑ni=1ai2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

        推論2[2]設(shè)a1,a2,…,an是正實(shí)數(shù),則∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

        推論3[3]已知aii=1,2,…,n是正數(shù),xi∈Ri=1,2,…,n且∑ni=1ai=1,則

        ∑ni=1x2iai≥∑ni=1xi2.

        推論4[3]已知aii=1,2,…,n是正數(shù),xi∈Ri=1,2,…,n且∑ni=1ai=1,則

        ∑ni=1aix2i≥∑ni=1aixi2.

        3.主要結(jié)果

        3.1應(yīng)用推論一

        例1已知:x1,x2,…,xn∈R,滿(mǎn)足

        x1+x2+…+xn=aa>0,且x21+x22+…+x2n=a2n-1n≥2,n∈N,

        求證:0≤xi≤2ani=1,2,…,n.

        證明由x1+x2+…+xn=a得,a-xn=x1+x2+…+xn-1,由推論一得,

        a-xn2=∑n-1i=1xn2≤n-1∑n-1i=1x2n=n-1a2n-1-x2n

        故(a-xn)2a2-(n-1)x2n,所以0xn2an。

        由x1,x2,…,xn的對(duì)稱(chēng)性,有0≤xi≤2ani=1,2,…,n.

        3.2應(yīng)用推論二

        例2非零實(shí)數(shù)a1,a2,…,an滿(mǎn)足a1+a2+…+an=1,求證:

        y=a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1

        有最小值并求之。

        解a1+a2+…+an=1由,得

        a11+a2+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a2+a3+…+an=22-a1

        同理可得

        a21+a1+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a1+a3+…+an=22-a2

        an1+a1+a2+a3+…+an-1+1=1+a1+a2+a3+…+an-1+an1+a1+a2+a3+…+an-1=22-an.

        將上面n個(gè)等式相加得:

        a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1+n

        =22-a1+22-a2+…+22-an

        y+n=∑ni=122-ai=2∑ni=112-ai(其中i=1,2,…,n).

        又因?yàn)?,故由推論二可?/p>

        ∑ni=12-ai·∑ni=112-ai≥n2即2n-1·y+n2≥n2.

        所以有yn2n-1,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an=1n時(shí)成立,所以y有最小值n2n-1.

        3.3應(yīng)用推論三

        例3求證:a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c,其中a,b,c為ΔABC的三邊。

        證明:設(shè)x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,

        因?yàn)閍,b,c為ΔABC的三邊,所以x>0,y>0,z>0且x+y+z=a+b+c,即

        xa+b+c+ya+b+c+za+b+c=1。

        a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c=a2x+b2y+c2z

        =1a+b+ca2xa+b+c+b2ya+b+c+c2za+b+c,

        則由推論三得

        a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c1a+b+c(上轉(zhuǎn)第282頁(yè))

        (a+b+c)2=a+b+c,

        故原不等式得證.

        3.4應(yīng)用推論四

        例4已知正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1,求證:a3+b3+c3≥a2+b2+c23

        證明:由于正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=1,故由推論四可得:

        a2+b2+c2=3·13a2+13b2+13c2

        ≥3·13a+13b+13c2

        =3·a+b+c32

        =13,

        而a3+b3+c3=a·a2+b·b2+c·c2,故由推論四可得

        a3+b3+c3≥a·a+b·b+c·c2

        =a2+b2+c22

        =a2+b2+c2a2+b2+c2.

        綜上所述,a3+b3+c3≥13·a2+b2+c2.故原不等式得證.(作者單位:云南大學(xué)數(shù)學(xué)系)

        參考文獻(xiàn):

        [1]謝躍進(jìn).柯西不等式應(yīng)用探討[J].銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2008,6(6):59.

        [2]蔡玉書(shū).應(yīng)用柯西不等式證明競(jìng)賽中的不等式[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(4):58.

        [3]歐華.柯西不等式的兩個(gè)推論[J].數(shù)學(xué)大世界,2002(9).

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