張 倩

(哈爾濱商業(yè)大學(xué)金融學(xué)院，黑龍江哈爾濱150028)

隨機(jī)利率模型指在一段時(shí)間內(nèi)，為了研究利率的隨機(jī)波動(dòng)而建立的模型。主要分為均衡利率模型和無套利利率模型。

隨機(jī)利率的建模大多采用利息力累計(jì)函數(shù)建模，利息力累計(jì)函數(shù)一般定義為Y(t)=δt+Zt，其中Zt是隨機(jī)過程，δ為與t無關(guān)的隨機(jī)變量或常數(shù)。

目前國內(nèi)的精算研究人員對隨機(jī)利率壽險(xiǎn)問題進(jìn)行了卓有成效的研究，構(gòu)建了許多具有較高參考價(jià)值的壽險(xiǎn)模型，但是在實(shí)際應(yīng)用中這些模型仍然存在一些缺陷，迫切需要運(yùn)用精算技術(shù)改進(jìn)模型以增強(qiáng)模型的實(shí)用性。本文以此為研究目標(biāo)，根據(jù)近年來國內(nèi)外對隨機(jī)利率的研究成果，建立隨機(jī)利率模型，研究純保費(fèi)的計(jì)算。

David Perry(2001)將隨機(jī)利率采用反射Brownian運(yùn)動(dòng)建模，給出一定確定年金的期望值，在Zt為非負(fù)數(shù)時(shí)可以符合利息為非負(fù)時(shí)的情形，適合在2004年10月24日以前應(yīng)用。此前保險(xiǎn)公司的資金運(yùn)用限于在銀行存款，買賣政府債券、金融債券和國務(wù)院規(guī)定的其他資金運(yùn)用形式，Zt不可能為負(fù)。

2004年10月24日，中國保監(jiān)會(huì)和證監(jiān)會(huì)共同制定了《保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)投資者股票投資管理暫行辦法》，該《辦法》明確規(guī)定了保險(xiǎn)資金的入市方式，規(guī)定保險(xiǎn)公司委托保險(xiǎn)資產(chǎn)管理公司進(jìn)行股票投資，或保險(xiǎn)公司以內(nèi)設(shè)資金運(yùn)用部門進(jìn)行股票投資兩種管理方式。如果保險(xiǎn)公司將保費(fèi)收入投資到股市中，Zt隨著股價(jià)升降而變化，則有可能為負(fù)?；诒ｋU(xiǎn)資金運(yùn)用形式放寬條件下考慮，Zt是于0—U過程或wiener過程比較合理。本文假設(shè)Zt是Wiener過程 。

一、模型建立

假設(shè)x歲的投保人購買了保額為b個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)，繳費(fèi)期為n年，每年所交的均衡純保費(fèi)為P。該模型具有如下特征:

1.模型中被保險(xiǎn)人繳納的只是純保費(fèi)，未考慮壽險(xiǎn)公司的費(fèi)用和利潤因素，所依據(jù)的原理是“精算等價(jià)原理”。

2.一般情況下，當(dāng)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，從申請理賠到保險(xiǎn)公司確認(rèn)理賠，再到保險(xiǎn)金的最終給付需要一定時(shí)間，這里不考慮此時(shí)間差異。

3.對利息力采用標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程建立一個(gè)半連續(xù)情形下隨機(jī)利率的模型，即死亡給付在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)支付且保險(xiǎn)費(fèi)是期初付生存年金的方式繳納。

4.死力采用De－Moivre在1972年提出生存時(shí)間在［0，ω] 上均勻分布，ω表示人類壽命的極限。

本文對隨機(jī)利率采用多數(shù)文獻(xiàn)中的一般標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程建模，建立利息力積累函數(shù)y(t):

其中，δ為與t無關(guān)的隨機(jī)變量或常數(shù);

W(t)為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程;

β≥0，δ，W(t)相互獨(dú)立。

此利息力累計(jì)過程分為兩個(gè)部分:1.δt是利息力累計(jì)中確定性的部分，瞬時(shí)的收益率為δ;2.βWt為考慮利率波動(dòng)性的部分，由于 E［Wt]=0，Var［Wt]= σ2t，即時(shí)間越長，波動(dòng)性越大。

對于一個(gè)單位的資金，可得在t時(shí)刻的貼現(xiàn)函數(shù)為:

(1)均衡純保費(fèi)

半連續(xù)式壽險(xiǎn)模型是保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中最常用的保險(xiǎn)模型。對于保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的半連續(xù)式普通n年定期壽險(xiǎn)，若被保險(xiǎn)人在簽單時(shí)年齡為x歲，投保n年期定期壽險(xiǎn)，其年繳純保費(fèi)用符號)表示，根據(jù)這一平衡原理，得出:

用符號 表示第k年度此壽險(xiǎn)保單的責(zé)任準(zhǔn)備金，根據(jù)未來法，責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算原理是未來保險(xiǎn)利益在結(jié)算日的精算現(xiàn)值減去未繳保費(fèi)在結(jié)算日的精算現(xiàn)值，即

在死力服從De－Moivre形式的假設(shè)下

在以上分析中，主要是對利息力模型進(jìn)行推敲，首先建立利息力的維納過程模型，計(jì)算未來價(jià)值的精算現(xiàn)值。然后根據(jù)價(jià)值理論，就壽險(xiǎn)精算問題中投保人和保險(xiǎn)公司所關(guān)注的保費(fèi)及準(zhǔn)備金和準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析。

由以上計(jì)算可以得出，壽險(xiǎn)的純保費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金主要由被保險(xiǎn)人的年齡、保險(xiǎn)種類、保險(xiǎn)金額、死亡率和利率因素決定。一般情況下，被保險(xiǎn)人的年齡、保險(xiǎn)種類、保險(xiǎn)金額在被保險(xiǎn)人投保時(shí)已經(jīng)確定，死亡率采用的是生命表所提供的死亡率水平，并且這一死亡率水平通常在一定時(shí)期內(nèi)相對穩(wěn)定，因此影響壽險(xiǎn)純保費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金的主要因素就是利率。這里分析的利率變化對壽險(xiǎn)純保費(fèi)的計(jì)算和責(zé)任準(zhǔn)備的提留的影響有很大的實(shí)用價(jià)值。

二、結(jié)論

壽險(xiǎn)產(chǎn)品具有保障性和儲(chǔ)蓄性雙重特點(diǎn)，產(chǎn)品先出售而后有成本核算。在產(chǎn)品定價(jià)中采用的是精算平衡等式，對預(yù)定利率進(jìn)行核算，而預(yù)定利率是一個(gè)假設(shè)性利率，在若干年以后會(huì)出現(xiàn)和真實(shí)利率的差異，這是造成壽險(xiǎn)公司盈利或者虧損的原因之一。

面對銀行存款利率的不斷下調(diào)，壽險(xiǎn)公司為了保持自身的盈利狀況，也降低了預(yù)定利率，但之前發(fā)售的高利率保單合同已經(jīng)成立，無法進(jìn)行回溯修改，于是壽險(xiǎn)公司背負(fù)了沉重的利差損。高盛的一份報(bào)告提出，中國人壽、平安、太平洋人壽三大壽險(xiǎn)公司的潛在利差損為320億～760億元人民幣。

本文對于壽險(xiǎn)中人的死亡率因素主要參考了現(xiàn)有的生命表，生命表在此就代表了隨機(jī)死亡率，但是生命表的構(gòu)造并不代表所有人群的死亡特征，所以可以從人口模型上考慮這一因素，從理論上進(jìn)一步豐富隨機(jī)死亡率的研究，并運(yùn)用到壽險(xiǎn)精算當(dāng)中。

利率在壽險(xiǎn)定價(jià)時(shí)是一個(gè)非常重要的參數(shù)。如果采用的定價(jià)利率過低，保費(fèi)偏高。雖然保險(xiǎn)人會(huì)獲得更多利潤，但較高的保費(fèi)不利于吸引更多的顧客;定價(jià)利率過高，保費(fèi)偏低。保險(xiǎn)人的投資收入難以平衡其給付。

利率波動(dòng)對壽險(xiǎn)定價(jià)的影響所帶來的風(fēng)險(xiǎn)實(shí)質(zhì)上是壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)時(shí)預(yù)定利率與市場利率發(fā)生偏差時(shí)帶來的風(fēng)險(xiǎn)。而利率變動(dòng)的長期趨勢是不確定的，這是壽險(xiǎn)產(chǎn)品長期定價(jià)短期計(jì)量矛盾帶來的風(fēng)險(xiǎn)。

壽險(xiǎn)公司利率波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)主要反映在兩個(gè)方面:一是保險(xiǎn)公司在融資和投資的過程中，由于利率變動(dòng)增加成本或者使收益率下降，使壽險(xiǎn)公司預(yù)期利潤難以實(shí)現(xiàn)。二是利率變動(dòng)使壽險(xiǎn)公司資產(chǎn)和負(fù)債的價(jià)值造成不同影響，導(dǎo)致資產(chǎn)和負(fù)債不匹配的風(fēng)險(xiǎn)。比如，當(dāng)利率上升時(shí)，資產(chǎn)和負(fù)債都會(huì)下降，但資產(chǎn)價(jià)值下降超過負(fù)債價(jià)值的下降;當(dāng)利率下降時(shí)，資產(chǎn)上升小于負(fù)債價(jià)值上升，這些都會(huì)影響保險(xiǎn)人的償付能力。

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