趙集生

摘要：二次函數(shù)作為最基本的初等函數(shù)。以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機聯(lián)系。這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵字：二次函數(shù)、概念、性質(zhì)、圖像、應(yīng)用。

正文：

初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，強調(diào)二次函數(shù)獨特的地方，分析以蘊含了二次函數(shù)關(guān)系式為背景的應(yīng)用問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中應(yīng)用的重要性，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制。因此，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需更深入地學(xué)習(xí)。

一. 函數(shù)概念的深入理解

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，主要是用映射的觀點來闡述函數(shù)。以二次函數(shù)為例加深對函數(shù)概念的認(rèn)識。

二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f： ，使得集合B中的元素y與集合A中的元素x對應(yīng)，記為 （ ）這里 表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題。

類型Ⅰ： 設(shè) 求 ： f （ x ）

分析：這里不能把f （ x + 1 ）理解為 x = x + 1時的函數(shù)值，應(yīng)該理解為，在對應(yīng)法則 f 下，定義域中的元素x + 1 的象是 ，求定義域中的元素x 的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

方法一：把所作表達式表示成x + 1 的多項式。

再用x 代替x + 1 的

方法二：變量代換 ： 它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用

令 t = x + 1 ， 則 x = t – 1

二 . 利用二次函數(shù)圖像分析單調(diào)性與最值

二次函數(shù)的圖像是研究二次函數(shù)的重要工具，也是二次函數(shù)的教學(xué)難點所在，在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生把握二次函數(shù)圖像的特點，使學(xué)生逐步自覺地利用函數(shù)圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值等）。

類型Ⅱ：設(shè) ，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+1]上的最值。

分析：在解答本道題之前，應(yīng)該讓學(xué)生注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間之間的關(guān)系。教會學(xué)生在對稱軸確定，所給區(qū)間不確定時如何討論函數(shù)的最值。

解 ：由題可知，二次函數(shù) 的對稱軸為 1

① 當(dāng) t + 1 < 1 即t < 0 時 ，函數(shù)在[ t ， t + 1 ] 上單調(diào)遞減

∴ 當(dāng) x = t + 1 時 ，函數(shù)有最小值，即

∴ 當(dāng) x = t 時，函數(shù)有最大值，即

② 當(dāng) 即

當(dāng) x = 1 時 ，函數(shù)有最小值，即

?。?當(dāng) 即 時 ，

當(dāng) x = t + 1 時 ，函數(shù)有最大值，即

ⅱ） 當(dāng) 即 時 ，

當(dāng) x = t 時，函數(shù)有最大值，即

③ 當(dāng) t > 1 時，函數(shù)在[ t ， t + 1 ] 上單調(diào)遞增

∴ 當(dāng) x = t 時 ， 函數(shù)有最小值 ，即

∴ 當(dāng) x = t + 1 時 ，函數(shù)有最大值，即

綜上所述：

當(dāng)t < 0 時， ，

當(dāng) 時， ，

當(dāng) 時， ，

當(dāng)t > 1 時， ， 。

三 .二次函數(shù)中所滲透的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，是數(shù)學(xué)解題的靈魂，在解題中如能恰當(dāng)?shù)倪\用它，則能順利解決很多問題。由下面五大數(shù)學(xué)思想在二次函數(shù)中的體現(xiàn)。

（一）轉(zhuǎn)化與劃歸思想

遇到問題如果正面、直接解決困難時，可將問題（等價轉(zhuǎn)化）轉(zhuǎn)化出去。

類型Ⅲ ：已知偶函數(shù)f（x）在 [ 0 ，+∞ ] 上遞增，則滿足f（2x-1）

分析：本題用應(yīng)將抽象函數(shù)具體化，這樣就將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題。

設(shè) 由 f（2x-1）

（二）分類討論思想

由于題目中字母不確定性，導(dǎo)致我們的解題無所適從，在解決相關(guān)問題時所討論的內(nèi)容有①二次項系數(shù)含字母②函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)③對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系。

（三）數(shù)形結(jié)合思想

高中數(shù)學(xué)中，代數(shù)方法具有嚴(yán)密、繁瑣的特征，而且有些問題，如超越方程又沒有常規(guī)方法可解，所以圖像法作為輔助方法就有了不可替代的功能。特別是些小題目，圖像法可起到事半功倍的效果，而且結(jié)果一目了然。

（四）函數(shù)與方程思想

二次函數(shù)作為函數(shù)的核心知識，本身蘊含了很多問題的處理方法，當(dāng)函數(shù)值確定時，函數(shù)即轉(zhuǎn)化為方程。比如求二次函數(shù)的零點問題。

（五）待定系數(shù)思想

要判斷某個二次函數(shù)是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的函數(shù)是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，在今后的教學(xué)中將繼續(xù)研究二次函數(shù)的重要性。

參考文獻：《中學(xué)課程輔導(dǎo)》2011年第02期、《中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）》2012年第03期

凱里學(xué)院學(xué)報、中國期刊網(wǎng)、初（高）中數(shù)學(xué)教材。