燕子宗，代 標 (長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

Kantorovich不等式的推廣

燕子宗，代 標 (長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

Kantorovich不等式在許多學科中都有著重要的作用，關(guān)于Kantorovich不等式的證明方法和結(jié)論也有很多。從均值不等式、Rennie不等式和Schweitzer積分不等式導出了Kantorovich不等式，列舉了在沒有凸性假定下關(guān)于Kantorovich不等式的幾個結(jié)論，最后得到了關(guān)于矩陣代數(shù)均值與調(diào)和均值的1個有趣結(jié)論。

Kantorovich不等式；均值不等式；Rennie不等式；Schweitzer積分不等式；矩陣

Kantorovich不等式在矩陣計算、數(shù)理統(tǒng)計和最優(yōu)化理論與算法等學科中有重要的應用。Kantorovich不等式不僅能從均值不等式和Rennie不等式可以導出，還能夠從Schweitzer積分不等式導出，經(jīng)過一些變換，都可以化成：

(1)

1 Kantorovich不等式的證明

引理1[1](Rennie不等式) 假定m≤γi≤M，i=1,2,…,n，對任意的實數(shù)序列{Ui}，有：

(2)

引理2[2]若mgt;0，假定m≤γi≤M，i=1,2,…,n，由均值不等式和Rennie不等式可以得到Kantorovich不等式：

(3)

(4)

其中，0lt;m1≤an≤…≤a1≤M1,0lt;m2≤bn≤…≤b1≤M2。

引理3(Schweitzer積分不等式) 假設(shè)φ(t)在區(qū)間[a,b]上可積，0lt;m≤φ(t)≤M，則：

(5)

2 沒有凸性假定條件Kantorovich不等式的幾個結(jié)論

(6)

證明由假設(shè)知如下不等式成立：

(f(λ1)-f(ti))(f(ti)-f(λn))≥0i=1,2,…,n

將其乘以αi后展開, 對i求和后即可得到不等式(6)。

對式(6)進行簡單變形后不難得到如下結(jié)果：

定理2在定理1的假定下，若f(λn)gt;0，則：

(7)

(8)

(9)

定理3在X∈Cm×p滿足X*X=Ip,Ai∈m×m是Hermitian矩陣且λnI≤Ai≤λ1I，i=1,2,…,k。在定理1的假定下，有：

(10)

定理4在定理3的假定下，若f(λn)gt;0，則：

(11)

(12)

(13)

證明這里僅證明不等式(13)。令：

不等式(11)可以改寫為A+f(λ1)f(λn)H≤f(λ1)+f(λn))Ip。另一方面，由于：

3 一個矩陣代數(shù)均值與調(diào)和均值的結(jié)論

(14)

證明由于矩陣:

半正定，因此矩陣:

半正定。對上述矩陣應用Schur互補引理[6]得到左邊不等式，右邊不等式由式(11)類似可以得出。

[1]Diaz J B， Metcalf F T.Stronger forms of a class of inequalities of G and Kantorovich[J].Bull Amer Math Soc, 1963, 69:415-418.

[2]匡繼昌.常用不等式[M].濟南:山東科學技術(shù)出版社，2010.

[3]陳公寧.矩陣理論與應用[M].第2版.北京：科學出版社,2007.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2012.01.002

O178

A

1673-1409(2012)01-N003-03