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        一種阻尼振動(dòng)規(guī)律的研究

        2012-01-23 06:13:12姜付錦
        物理通報(bào) 2012年9期
        關(guān)鍵詞:平衡位置物塊振子

        姜付錦

        (武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430030)

        文獻(xiàn)[1]對(duì)在粗糙水平面上的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了定性和半定量的研究,但是沒(méi)有給出振子的振動(dòng)圖像,不夠系統(tǒng)和完整;文獻(xiàn)[2]對(duì)這個(gè)模型的a-x,x-t圖像進(jìn)行了定性和半定量研究,分析方法科學(xué)有效;文獻(xiàn)[3]從這個(gè)模型的“雙平衡位置”的角度出發(fā)展開了研究,并得到了a-x,x-t圖像和部分運(yùn)動(dòng)規(guī)律.筆者受到以上三篇文章中思想的啟發(fā),借助MathCAD對(duì)這個(gè)問(wèn)題也進(jìn)行了分析研究,得到了和以上三篇文章中相同的結(jié)果并進(jìn)行了有效補(bǔ)充,以下是分析過(guò)程,文中若有不當(dāng)之處還請(qǐng)各位物理同仁批評(píng)指正.

        [題目]如圖1所示,將一根勁度系數(shù)為κ的彈簧與一質(zhì)量為m的物塊相連,置于粗糙的水平面上,已知物塊與水平面的滑動(dòng)摩擦力大小為f,彈簧處于原長(zhǎng)時(shí),物塊位于O點(diǎn).用力向左緩慢推物塊從O點(diǎn)至A點(diǎn),且使OA=L,之后撤去外力,物塊將在水平面上來(lái)回運(yùn)動(dòng),試分析物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

        圖1

        1 建立模型

        如圖2所示,物塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)受到重力G、地面的支持力FN、彈簧的彈力F和地面的滑動(dòng)摩擦力f作用,其中重力和支持力是一對(duì)平衡力.彈簧彈力F與摩擦力f是兩個(gè)變力.F的大小方向與彈簧的形變有關(guān),f的大小一定,方向與振子的運(yùn)動(dòng)方向相反,若將f等效為重力則彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中有兩個(gè)平衡位置(即文獻(xiàn)[3]中所指的“雙平衡位置”).若以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)向右為正方向,建立坐標(biāo)軸Ox,設(shè)在某一時(shí)刻物塊位于P點(diǎn),偏離原點(diǎn)的位移為x,則物塊運(yùn)動(dòng)微分動(dòng)力學(xué)方程如下

        圖2

        2 用MathCAD解微分動(dòng)力學(xué)方程

        為了研究問(wèn)題的方便,不妨令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2,則上式可整理為

        x(0)=-10x′(0)=0

        i:=1:5000S:rkfixde (x,0,40,3000,D)

        T:S<0>X:=S<1>V:=S<2>

        圖3 彈簧振子振動(dòng)x-t圖像

        圖4 彈簧振子振動(dòng)v-t圖像

        圖5 彈簧振子速度v與位移x圖像

        圖6 彈簧振子機(jī)械能E與位移x圖像

        3 圖形分析

        上圖中圖3為彈簧振子振動(dòng)x-t圖像,圖4為彈簧振子振動(dòng)速度v-t圖像,圖5為彈簧振子速度與位移v-t圖像,圖6為彈簧振子機(jī)械能E-x圖像,它們與文[2][3]中的圖一致.

        圖7 彈簧振子的x-t圖像

        圖8 彈簧振子的v-t圖像

        圖9 彈簧振子的v-x圖像

        4 彈簧振子的周期

        5 彈簧振子振動(dòng)規(guī)律的解析解

        若令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2,則有

        圖10 彈簧振子的x-t圖像

        圖11 彈簧振子的v-t圖像

        與前面的圖3、圖4、圖5相同,即振動(dòng)方程為

        6 結(jié)語(yǔ)

        參考文獻(xiàn)

        1 王興堂.粗糙水平面上彈簧振子運(yùn)動(dòng)的研究.物理通報(bào),2011(12):90~91

        2 馮德強(qiáng),黃雄.從一道題的錯(cuò)解說(shuō)彈簧振子.物理通報(bào),2011(10):89~91

        3 陸天明.對(duì)一道雙平衡位置振動(dòng)問(wèn)題的討論.物理通報(bào),2011(10):92~93

        4 姜付錦.此題還有一解——對(duì)《正確使用平均值》一文的補(bǔ)充.物理通報(bào),2011(7):94,98

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