史林虎

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；與圓有關(guān)的角；通性；應(yīng)用

〔中圖分類號(hào)〕 G633.63〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2012）15—0081—01

在“圓”這一章中，我們學(xué)習(xí)了圓心角、圓周角和弦切角，這些角的兩邊與圓相交或相切.筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，具備這種特點(diǎn)的角共有下列七種情形：

定義：兩邊與圓相交或相切的角，統(tǒng)稱與圓有關(guān)的角.

定理：與圓有關(guān)的角，等于它所夾弧度數(shù)的代數(shù)和.如果它所夾的是一條弧，那么它等于它及它的對(duì)頂角所夾的兩條弧度數(shù)和的一半（若無(wú)對(duì)頂角所夾弧，則度數(shù)按零計(jì)算）；如果它所夾的是兩條弧，那么它等于這兩條弧度數(shù)差的一半.

證明：（1）如圖一，∠1是圓心角，于是∠1=（+）；

（2）如圖二，∠2是圓周角，于是∠2=（+0）；

（3）如圖三，∠3是弦切角，于是∠3=（+0）；

（4）如圖四，作AE∥BD，于是∠4=∠CAE（+）=（+）；

（5）如圖五，作BF∥ED，于是∠5=∠CBF=（-）=（-）；

（6）如圖六，作BE∥DC，于是∠6=∠EBF=（-）=（-）；

（7）如圖七，作BD∥AC，于是∠7=∠DBF=（-）=（-）.

綜上，與圓有關(guān)的角等于它們所夾弧度數(shù)的代數(shù)和.那么，如何應(yīng)用該定理呢？以下舉例說(shuō)明.

例1如圖八，已知AB為⊙O直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線，設(shè)切點(diǎn)為C.①連結(jié)AC，作∠APC平分線交AC于D.請(qǐng)你測(cè)量∠CDP的度數(shù).②猜想∠CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上位置的變化而變化？并對(duì)猜想加以證明.

解析：觀察圖八發(fā)現(xiàn)，∠A，∠APC均是與圓有關(guān)的角，于是∠CDP=∠A+∠APC+（-）（+）=45°.

例2試分析高爾夫球比賽中，擊球點(diǎn)與球洞之間的距離和命中率有何關(guān)系？

解析：畫(huà)圖、分析、研究得，∠AP1B（-）、∠CP2D（-）.由于＜，且＜，因此∠CP2D＞∠AP1B，命中率與張角∠AP1B的大小成正比，而張角∠AP1B的大小與擊球點(diǎn)到球洞中心的距離成反比.故距離越近，命中率越高，反之命中率越低.

至此，我們把圓心角、圓周角和弦切角推廣到與圓有關(guān)的七種角，于無(wú)疑處生疑，把書(shū)讀厚.然后，探索得出定理，合七為一，整合知識(shí)，把書(shū)讀薄，便于聯(lián)系，便于記憶，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān).

編輯：劉立英