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(余杭第二高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

簡(jiǎn)議新課程中高中數(shù)學(xué)反思性學(xué)習(xí)

●劉芳麗

(余杭第二高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

在教學(xué)中,筆者常會(huì)有這樣的疑惑：這道題明明已經(jīng)在課堂上講過(guò)，學(xué)生也已心領(lǐng)神會(huì)，為什么在作業(yè)中卻一錯(cuò)再錯(cuò)；明明是前兩天才出現(xiàn)過(guò)的題目，今天為什么學(xué)生如此迷茫.作為學(xué)生，也挺納悶：上課認(rèn)真聽(tīng)、努力做筆記，為什么作業(yè)永遠(yuǎn)有不會(huì)的；很多題目今天會(huì)做，為什么過(guò)了一個(gè)晚上又不會(huì)了；做了那么多道題目，為什么成績(jī)卻每況愈下……

問(wèn)題究竟出在哪里？

其實(shí)很多學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)猶如置身于迷霧中，有人帶路，亦步亦趨;一旦獨(dú)處，便會(huì)迷失方向.因此，在教學(xué)中,教師一定要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)反思自己的學(xué)習(xí)，從錯(cuò)誤中成長(zhǎng)，從似是而非中收獲.

1 改錯(cuò)練習(xí)，激發(fā)反思

實(shí)踐表明：認(rèn)知體驗(yàn)最容易在重要的和困難的情境中產(chǎn)生，這種情境會(huì)引起學(xué)生思想的高度重視，使學(xué)生處于高度情緒喚醒之中.因此,要非常重視學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生的錯(cuò)誤.特別是有些錯(cuò)誤的原因比較隱蔽、比較經(jīng)典時(shí)，學(xué)生就容易產(chǎn)生反思認(rèn)知體驗(yàn).這時(shí),教師就要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，究其原因.

例如，在算法的學(xué)習(xí)過(guò)程中，書(shū)寫(xiě)算法一直是某些學(xué)生無(wú)法攻克的一個(gè)難點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.筆者在教學(xué)中經(jīng)常會(huì)把他們錯(cuò)誤的程序整理出來(lái)，讓大家一起反思.

例1已知分段函數(shù)

編寫(xiě)一個(gè)求該函數(shù)值的程序.

下面是學(xué)生編寫(xiě)的程序：

INPUTx

IF -4≤x≤-1 THEN

y=x2

ELSE

IF -1

y=x

ELSE

y=2x/x+1

END IF

PRINTy

END

分析這是一道很典型的有關(guān)條件語(yǔ)句的程序題.上述程序是學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤程序.在課堂上,筆者把該程序?qū)懺诤诎迳?，然后指?dǎo)學(xué)生從書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤和語(yǔ)句錯(cuò)誤2個(gè)方面進(jìn)行反思.

學(xué)生在逐句閱讀后指出：程序中的不等式“-4≤x≤-1”應(yīng)為“x>=-4 ANDx<=-1”；程序中的運(yùn)算有特定的書(shū)寫(xiě)格式，“y=x2”應(yīng)為“y=x^2”；比較隱蔽的書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤為“y=2x/x+1”應(yīng)改為“y=2x/(x+1)”.

接下來(lái)就是語(yǔ)句錯(cuò)誤.很多學(xué)生一下子就能發(fā)現(xiàn)程序中少了一個(gè)“END IF”.

“還有沒(méi)有其他錯(cuò)誤了呢？”很多學(xué)生覺(jué)得到此結(jié)束了.于是筆者開(kāi)始帶領(lǐng)大家一起分析“ELSE”中所隱含的x的取值范圍：第1個(gè)“ELSE”中x的范圍應(yīng)為“x>-1或x<-4”，那么第2個(gè)呢？在筆者的提示之下，很多學(xué)生恍然大悟：原來(lái)第2個(gè)“ELSE”隱含著“x>2或x<-4”，而不僅僅代表“x>2”.

通過(guò)這道題的改錯(cuò)，學(xué)生明白編寫(xiě)程序要注意書(shū)寫(xiě)與語(yǔ)句的正確性，更重要的是要關(guān)注條件語(yǔ)句中“ELSE”所隱含的條件，更好地掌握“IF”語(yǔ)句.

有時(shí)候,通過(guò)正誤解法的比較也可以讓學(xué)生把握解題思路的本質(zhì).

例2已知-1

錯(cuò)解因?yàn)?1

1<2a<7，-5<2b<1,

(1)

得

從而

正解令u=a+b，v=a-b,則

因?yàn)?/p>

-1

所以

故

但是很多學(xué)生根本就不明白為什么第1種解法錯(cuò)了，究竟錯(cuò)在哪里?

下面我們從線性規(guī)劃的角度來(lái)解釋第1種解法的錯(cuò)誤所在：

圖1

如圖1所示,圖中的陰影部分即為根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出的可行域，而式(1)中表示的可行域?yàn)橥饷娴恼叫螀^(qū)域.由此可見(jiàn)，對(duì)條件進(jìn)行處理后擴(kuò)大了可行域的范圍，因此也影響到了2a+3b的范圍.這也是把“a+b”和“a-b”當(dāng)成整體，采用第2種思路處理該問(wèn)題的原因.通過(guò)這樣的分析，不僅為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，而且也能引導(dǎo)其養(yǎng)成經(jīng)常反思自己的認(rèn)知過(guò)程的習(xí)慣.

例3已知an=2n2-13n，從n=________起，an+1>an.

解法1可利用作差法解得n=2.

有些學(xué)生想到數(shù)列也是函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解得n=3，由此得到了矛盾的結(jié)論.這時(shí),可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的圖像是一些孤立的點(diǎn),因此數(shù)列的單調(diào)性不等同于函數(shù)的單調(diào)性.從而指導(dǎo)學(xué)生要重視作業(yè)中所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，學(xué)會(huì)從錯(cuò)誤中成長(zhǎng)，因?yàn)橛行╁e(cuò)誤可以帶領(lǐng)我們進(jìn)入一個(gè)新的理解境界.

有些學(xué)生做題總是拿不到滿分，原因就是思維總存在漏洞.例如,已知f(x)=2+log2x，x∈[1,9]，求y=[f(x)]2+f(x2)的最小值.很多學(xué)生一看題目就知道可以利用二次函數(shù)求最值，但卻忽略了函數(shù)的定義域發(fā)生了變化.針對(duì)這一情況，教師可以先呈現(xiàn)錯(cuò)誤的解法，讓學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)漏洞，這樣可以激發(fā)學(xué)生自覺(jué)進(jìn)行反思，加深對(duì)解題思路的印象，完善解題思路中的缺陷.

與之類似的錯(cuò)誤還有:很多學(xué)生一看到“ax2+bx+c”，就想當(dāng)然地認(rèn)為這是二次表達(dá)式，因此在解題過(guò)程中往往會(huì)遺忘對(duì)“a=0”的情況的討論；一看到“集合A是集合B的子集”就忘了集合A有可能是空集的情況；一看到求直線方程就設(shè)“所求直線方程為y=kx+b”，也不管k是否存在.針對(duì)這些錯(cuò)誤，多做幾次糾錯(cuò)練習(xí)，就能不斷地完善學(xué)生的解題思維.通過(guò)反思，可以找出錯(cuò)誤的根源所在，可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)或思維方法上的薄弱環(huán)節(jié).

2 變式問(wèn)題，誘導(dǎo)反思

變式問(wèn)題的解決有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活遷移.在教學(xué)中,要提倡一題多變、一題多解、多題一解的變式訓(xùn)練，精心創(chuàng)設(shè)一個(gè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生求知熱情的由淺入深、多層次、多變化的問(wèn)題情境.在變式訓(xùn)練中,反思各種變式所共有的本質(zhì)要素，揭示問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系及其隱含較深的知識(shí)規(guī)律.

例如,在算法的學(xué)習(xí)中，循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).很多學(xué)生一遇到循環(huán)結(jié)構(gòu)就搞不清循環(huán)的次數(shù)及輸出的結(jié)果該是什么.

例4編寫(xiě)求1×2×3×…×n>108的最小正整數(shù)n.

n=1

T=1

WHILET<=10^8

T=T*n

n=n+1

WEND

PRINT________

END

思考：(1)在橫線上到底該填“n”，“n+1”還是“n-1”呢？

(2)循環(huán)體兩行互換，橫線又該填什么？

(3)若要求“編寫(xiě)求1×2×3×…×n<108的最大正整數(shù)n”，則該程序又該怎么改寫(xiě)？

通過(guò)變式練習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練，有利于他們總結(jié)反思循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征，攻克程序?qū)W習(xí)中的這一難點(diǎn).這樣的變式訓(xùn)練也有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

同時(shí),通過(guò)變式練習(xí)還可以區(qū)分似是而非的題目，使學(xué)生能有效地把握題目的本質(zhì)，從而采取快捷并行之有效的解題方法.

例5在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊,設(shè)f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2.

(2)當(dāng)f(2)=0時(shí),求角C的取值范圍.

粗一看，這2個(gè)小題是一樣的問(wèn)題.做了之后，我們才發(fā)現(xiàn),第(1)小題化簡(jiǎn)后得到的是兩邊兩角的關(guān)系，用正弦定理解決該問(wèn)題比較合適；而第(2)小題化簡(jiǎn)后得到的是三邊關(guān)系，求一角，利用余弦定理更容易解決問(wèn)題.整道題目的解決，誘使學(xué)生對(duì)正、余弦定理的區(qū)別使用進(jìn)行反思.

3 合理聯(lián)想，促成反思

數(shù)學(xué)中有很多定理都是從大膽猜想開(kāi)始的，可以說(shuō)猜想是數(shù)學(xué)思維中的火花.新課程中也對(duì)“合情推理”做出了要求，因此在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，反思自己的認(rèn)知過(guò)程.一旦猜想正確，學(xué)生就能處于一種成功的喜悅之中，并迸發(fā)出前所未有的學(xué)習(xí)熱情；即使失敗，學(xué)生也能從中得到創(chuàng)新的訓(xùn)練，能更自覺(jué)、主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)中.

同時(shí),合理聯(lián)想也能幫助我們優(yōu)化思維，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu).例如,在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)碰到“sinx+cosx”、“sinx-cosx”、“sinxcosx”這3個(gè)式子.經(jīng)過(guò)研究后發(fā)現(xiàn)這些式子是相互聯(lián)系的,從這3個(gè)式子出發(fā)可以得到很多結(jié)論.從另一角度看，它們其實(shí)就是“a±b”及“ab”在三角函數(shù)中的具體表現(xiàn).而“a±b”及“ab”在數(shù)學(xué)中還有很多表象：韋達(dá)定理、圓錐曲線中求弦長(zhǎng)問(wèn)題的策略、三角函數(shù)tan(α+β)的展開(kāi)式中含有tanα+tanβ及tanαtanβ.既然這些都有相同的形式，在解題中也可以類似地處理,從而可以大大提高學(xué)習(xí)效率和解題的有效性.

4 積極反思，優(yōu)化知識(shí)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視知識(shí)的概括和提煉，反思探究知識(shí)的縱橫聯(lián)系，歸納出有更高抽象、概括和包容水平的觀念，融會(huì)貫通并有序儲(chǔ)存，形成活化的知識(shí)組塊，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu).

圖2

向量是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)有效的工具，尤其是幾何問(wèn)題.下面介紹如何用向量方法統(tǒng)一幾何結(jié)論.在初中學(xué)過(guò)矩形的判定定理：“有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形”，“對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形”,那么這2個(gè)判定定理有何聯(lián)系呢？

例6如圖2，求證:

利用向量證明后發(fā)現(xiàn),原來(lái)這2個(gè)判定定理是一樣的.同理，其余四邊形的判定定理也都是異曲同工.通過(guò)這道題的訓(xùn)練可以強(qiáng)化向量數(shù)量積的應(yīng)用，優(yōu)化知識(shí).

這樣,知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)反思優(yōu)化后就更容易記憶，解題時(shí)也可以盡量減少錯(cuò)誤的出現(xiàn).

知識(shí)在不斷吸收的過(guò)程中會(huì)對(duì)原有的知識(shí)體系發(fā)生沖擊,這時(shí)要特別反思究竟是原有的認(rèn)識(shí)有問(wèn)題，還是現(xiàn)在的知識(shí)有漏洞.例如,在初中一講到切線，就認(rèn)為是圓的切線，且與圓只有1個(gè)交點(diǎn).但是隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，尤其是經(jīng)過(guò)曲線方程的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)與曲線只有1個(gè)交點(diǎn)的直線可以是曲線的交線，而非切線.那么會(huì)不會(huì)有些曲線的切線與曲線的交點(diǎn)不止一個(gè)呢？答案是肯定的，例如曲線y=sinx與直線y=1.這樣就完全顛覆了我們?cè)袑?duì)切線的認(rèn)識(shí)，使得對(duì)切線的認(rèn)識(shí)更全面、更正確！因此，養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣可以不斷完善知識(shí)體系，達(dá)到事半功倍的效果.

5 全面反思，持之以恒

除了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行反思之外，還要引導(dǎo)學(xué)生全面反思學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)(預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)等),以及反思影響學(xué)習(xí)的非智力因素.對(duì)于作業(yè)中的錯(cuò)誤要分析原因，尋根問(wèn)底，及時(shí)訂正，及時(shí)小結(jié).另外,反思是一種持續(xù)的活動(dòng)，并不是一時(shí)的心血來(lái)潮,它需要學(xué)習(xí)者有著學(xué)習(xí)的毅力和堅(jiān)持不懈的精神.否則，反思就會(huì)流于形式，達(dá)不到預(yù)期的效果.

學(xué)習(xí)需要反思，沒(méi)有反思的學(xué)習(xí)是不可能深刻的；學(xué)習(xí)是反思的，反思有助于學(xué)生主動(dòng)探究，重構(gòu)自己的經(jīng)驗(yàn)，形成自己的解題策略和方式.南京師范大學(xué)涂榮豹教授也曾指出:“堅(jiān)持反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才可能洞察數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征.”[2]因此,在教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣.曹才翰教授及張建躍教授也非常重視并倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的反思習(xí)慣，他們認(rèn)為“培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維與自我評(píng)價(jià)水平，這是提高學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的行之有效的方法”[3].相信反思能幫助每位學(xué)生與數(shù)學(xué)“風(fēng)雨同行”！

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2] 涂榮豹.試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000(4):17-21.

[3] 曹才翰,章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，1999.