江西省井岡山中學(xué)(343600)

賀 敬●

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淺談高中函數(shù)定義域與值域的求法

江西省井岡山中學(xué)(343600)

賀 敬●

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是高考的必考內(nèi)容.函數(shù)由定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域三個(gè)基本要素組成，而掌握這三要素是理解掌握初等函數(shù)這一內(nèi)容的關(guān)鍵.下面分別對(duì)函數(shù)定義域和值域的一些常見求法進(jìn)行歸納分析，以便學(xué)生和教師參考學(xué)習(xí).

函數(shù);數(shù)學(xué)方法;定義域;值域

一、函數(shù)定義域的求法

定義域是函數(shù)的必不可少的內(nèi)容，也是函數(shù)值域變化的基礎(chǔ)，依據(jù)函數(shù)定義域?yàn)槌霭l(fā)按照對(duì)應(yīng)法則就能夠確定函數(shù)的值域.在解答函數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，若能把握住定義域的變化，則可提高解題效率.

求初等函數(shù)的定義域,限制因素可考慮如下：

(1)若函數(shù)出現(xiàn)分式形式，則分母要求不為零 .

(2)如果函數(shù)帶有根號(hào)，偶次根式的被開方要滿足非負(fù).

(3)若函數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式，其真數(shù)部分要求非負(fù)數(shù).

(4)y=tanθ中，θ≠kπ+π/2,k∈Z.

(5)x0中x≠0等.

1.直接求定義域問題

解 要使函數(shù)有意義，必須：5-x2≥1,

解得-2≤x≤2.

2.定義域的逆向問題(已知定義域求參數(shù)問題)

定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)當(dāng)a2-1=0且a+1≠0時(shí)，a=1，此時(shí)f(x)=1,定義域是R.

a2-1≠0時(shí)，有

∴綜上所述，當(dāng)x∈R時(shí)，使得f(x)有意義的a的取值范圍是[1,9].

3.復(fù)合函數(shù)定義域問題

例3 若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1，1]，求函數(shù)f(3x-1)的定義域.

解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)要滿足x在[-1，1]內(nèi)取值，函數(shù)才有意義，則函數(shù)f(3x-1)必需也要求函數(shù)自變量3x-1在 [-1，1]內(nèi)取值，即-1≤3x-1≤1,解出x的取值范圍[0，2/3]就是復(fù)合函數(shù)的定義域.

二、函數(shù)值域的求法

函數(shù)的值域是指當(dāng)自變量取遍定義域上的每一個(gè)值時(shí)，函數(shù)值的取值范圍，其幾何意義是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的變化范圍.函數(shù)的值域是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是考試的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，函數(shù)值域的求法有很多種，以下是幾種函數(shù)值域最常見的求法.

1.單調(diào)性法

運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域，此類題型是在得到函數(shù)某一具體的或者限制區(qū)間上，或求解具體函數(shù)定義域的取值范圍，結(jié)合這個(gè)函數(shù)的特定區(qū)間增減性，求出其函數(shù)在此段區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或者區(qū)間內(nèi)的最值或者極值，經(jīng)過對(duì)比比較，進(jìn)而可確定這段區(qū)間函數(shù)的值域.

2.換元法

若函數(shù)中出現(xiàn)無理函數(shù)或超越函數(shù)，可通過換元轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù).

例7 求函數(shù)y=sin2x-sinx+1(x∈R)的值域.

3.判別式法

對(duì)于二次分式的值域就可以用判別式法．

解 將函數(shù)式去分母，化為關(guān)于x的一元二次方程

(y-1)x2-x+(y-1)=0.

(2)當(dāng)y=1時(shí)，x=0.

4.圖象法

一般用在帶有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，先分段表示，再作圖.

5.分離常數(shù)法

求解高中數(shù)學(xué)初等函數(shù)的定義域和值域問題所涉及的知識(shí)面非常廣，方法也是靈活多變，也是近年高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，因此同學(xué)們應(yīng)該靈活運(yùn)用方法，多做題訓(xùn)練，這樣才能收到化繁為簡，事半功倍的效果.

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