中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008 -0333（2025）21-0039 -03

高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項公式的推導(dǎo)教學(xué)常面臨學(xué)生的認(rèn)知障礙：遞推關(guān)系的隱蔽性、抽象符號的陌生感易使學(xué)生的思維停留于公式套用層面，難以觸及數(shù)學(xué)本質(zhì).探索式學(xué)習(xí)模式憑借其情境驅(qū)動與思維可視化的特征能夠破解這一困局，其通過遞進(jìn)式問題鏈搭建思維腳手架，將抽象遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為可操作的探究路徑，引導(dǎo)學(xué)生在猜想、驗證與修正中自主建構(gòu)通項公式的生成邏輯.因此，教師需突破傳統(tǒng)單向講授的局限，以組織者的身份設(shè)計階梯式探究任務(wù)，借助動態(tài)生成的教學(xué)反饋捕捉學(xué)生的認(rèn)知盲點(diǎn)，使通項公式的推導(dǎo)過程成為錘煉數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的思維熔爐.

1 探索式學(xué)習(xí)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

1. 1 有助于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

探索式學(xué)習(xí)模式以真實的情境為依托，通過問題鏈設(shè)計將抽象數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為可探究的任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想、邏輯推演與反思驗證的完整思維過程[1].例如，在函數(shù)建模教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)交通流量優(yōu)化等現(xiàn)實場景，讓學(xué)生在數(shù)據(jù)收集、變量分析與模型修正的過程中，自然領(lǐng)悟數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的思維內(nèi)核，從而將核心素養(yǎng)的培育融入知識建構(gòu)的全過程.這種模式不僅優(yōu)化了教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，更使數(shù)學(xué)課堂從“解題工具”升華為“思維載體”，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定素養(yǎng)根基.

1. 2 有助于激活學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)

探索式學(xué)習(xí)模式通過創(chuàng)設(shè)真實的問題情境與互動探究機(jī)制，將數(shù)學(xué)知識的抽象性轉(zhuǎn)化為可感知的認(rèn)知挑戰(zhàn).學(xué)生在自主猜想、合作驗證與成果分享的過程中，能逐步體驗思維突破的成就感，使學(xué)習(xí)過程從“被動接受\"轉(zhuǎn)向“主動建構(gòu)”.這種模式以問題驅(qū)動重構(gòu)課堂生態(tài)，通過階梯式的探究任務(wù)與即時反饋機(jī)制，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在求知欲，將短暫的新奇感轉(zhuǎn)化為持續(xù)的內(nèi)驅(qū)力，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由“要我學(xué)”向“我要學(xué)”的深層轉(zhuǎn)變.

1.3 有助于強(qiáng)化學(xué)生的主體地位

在探索式學(xué)習(xí)模式下，教師以引導(dǎo)者的身份創(chuàng)設(shè)開放性問題場域，學(xué)生在自主設(shè)計探究路徑、反思調(diào)整策略的過程中，逐步建立“我能思考、我能決策”的認(rèn)知自信.當(dāng)學(xué)生從“被安排者”蛻變?yōu)椤皢栴}解決者”時，其主體意識便不再停留于表層參與，而是內(nèi)化為終身學(xué)習(xí)的深層思維模式，這為其核心素養(yǎng)的持續(xù)生長提供內(nèi)生動力.

2 探索式學(xué)習(xí)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

2.1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)發(fā)現(xiàn)問題，錨定探究起點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)問題作為探索式學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)，其本質(zhì)是激活學(xué)生的認(rèn)知沖突與求知內(nèi)驅(qū)力.在教學(xué)中，教師應(yīng)通過結(jié)構(gòu)化預(yù)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生基于已有知識經(jīng)驗展開自主質(zhì)疑與反思，使模糊的困惑轉(zhuǎn)化為可探究的數(shù)學(xué)問題[2．例如，教師在設(shè)計遞進(jìn)式預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)單時，需覆蓋基礎(chǔ)概念辨識，也應(yīng)嵌人開放性問題鏈，讓學(xué)生在閱讀教材、嘗試?yán)}的過程中自然暴露理解盲區(qū)，形成個性化問題清單，為課堂深度探究提供靶向目標(biāo)

以教學(xué)“等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)”為例，在預(yù)習(xí)階段，教師首先可以要求學(xué)生觀察數(shù)列前幾項（如^{2，5，8，11…）} ，歸納項與項之間的變化規(guī)律；繼而通過填空式問題“第10 項 Σ=Σ 首項 公差”，引發(fā)學(xué)生對項數(shù)與公差關(guān)系的直覺猜想；最后設(shè)置認(rèn)知沖突——若已知 a₃=8 ，能否反推首項與公差？促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)僅憑兩項無法唯一確定等差數(shù)列的局限性.這種設(shè)計將公式推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為可操作的探究路徑，學(xué)生既能在預(yù)習(xí)中初步感知“項數(shù) n ”與“公差d”的線性關(guān)系，又能暴露“參數(shù)選擇對通項唯一性影響”的深層疑問，為課堂中數(shù)學(xué)建模與代數(shù)運(yùn)算的融合探究奠定基礎(chǔ)

2.2 情境創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)實際，激發(fā)探究內(nèi)驅(qū)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)通過真實情境的創(chuàng)設(shè)，將數(shù)學(xué)知識還原為可感知的思維對象，從而激活學(xué)生的認(rèn)知關(guān)聯(lián)與探究欲望.因此，教師需摒棄脫離實際的理論灌輸，轉(zhuǎn)而挖掘生活、科技等領(lǐng)域中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原型，將抽象概念轉(zhuǎn)化為具象的問題鏈，使學(xué)生在情境浸潤中主動思考“為何學(xué)”與“如何用”.這種關(guān)聯(lián)性情境設(shè)計能夠架起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的橋梁，讓知識習(xí)得過程從被動接受轉(zhuǎn)向主動建構(gòu)，為深度探究提供內(nèi)生動力.

例如，在“等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)”教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)基金定投情境：每月投入固定金額1000元，年化收益率 4% ，計算第 n 個月末的本息總額.教師可首先引導(dǎo)學(xué)生計算前3個月本息，如首月1000×（1+4%÷12）≈1003.3， 次月 1003.3+ 1000×（1+4%÷12）≈2010.1 ，第三月 2010.1+ 1000×（1+4%÷12）≈3020.5 ，觀察每月新增本息近似構(gòu)成公差 d≈6.7 的等差數(shù)列.通過對比每月本金增值的線性規(guī)律，學(xué)生能直觀感知“項數(shù) n ”與“固定增值 d ”的對應(yīng)關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)“第 n 個月本息 σ=σ 首月本金 +（n-1） 月增值”的潛在結(jié)構(gòu).此時，教師可以拋出核心矛盾：若投資周期延長至5年，逐月計算是否可行？引導(dǎo)學(xué)生反思傳統(tǒng)計算方法的低效性，進(jìn)而自發(fā)產(chǎn)生構(gòu)建通用數(shù)學(xué)模型的迫切需求，使等差數(shù)列的通項公式成為解決實際金融問題的必要工具，幫助學(xué)生實現(xiàn)知識從“工具性理解”到“關(guān)系性理解”的躍遷

2.3 任務(wù)驅(qū)動分層遞進(jìn)，優(yōu)化探究活動

探索式學(xué)習(xí)模式強(qiáng)調(diào)以任務(wù)為載體驅(qū)動學(xué)生認(rèn)知發(fā)展，通過結(jié)構(gòu)化的問題鏈搭建思維階梯.在教學(xué)中，教師需根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計分層遞進(jìn)式探究任務(wù)，將核心知識拆解為“觀察歸納一猜想驗證一抽象建?！钡穆菪铰窂?例如，在等差數(shù)列通項公式教學(xué)中可設(shè)置三級任務(wù)：基礎(chǔ)層任務(wù)聚焦具體數(shù)列的規(guī)律感知，進(jìn)階層任務(wù)引導(dǎo)代數(shù)關(guān)系的符號化表達(dá)，拓展層任務(wù)推動數(shù)學(xué)模型的普適性建構(gòu).這種分層設(shè)計既保證每位學(xué)生都能找到最近發(fā)展區(qū)，又能通過任務(wù)難度的遞增實現(xiàn)思維躍遷，使數(shù)學(xué)探究從經(jīng)驗積累走向素養(yǎng)生成

例如，在“等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)”教學(xué)中，教師可以選取數(shù)列3，6，9，12…展開探究：（1）觀察階段.學(xué)生計算 a₅=15 ，教師追問：相鄰兩項之間是否存在穩(wěn)定關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公差 d=3 ，并建立遞推式 a_n=a_n-1+3 （2）矛盾激發(fā).教師提問：已知 a₃ =9 ，能否確定首項 a₁ ？學(xué)生嘗試不同的組合發(fā)現(xiàn)，需要兩項數(shù)據(jù)才能確定數(shù)列，深化其對通項公式必要性的認(rèn)知.（3）推導(dǎo)環(huán)節(jié).教師引導(dǎo)學(xué)生縱向排列遞推式： a₂-a₁=3，a₃-a₂=3，…，a_n-a_n-1=3 ，通過疊加法，學(xué)生自主推導(dǎo)出 a_n=a₁+（n-1）d （4）驗證環(huán)節(jié).教師要求用 n=4 驗證 a₄=12 是否滿足公式，再推廣至數(shù)列5，9，13檢驗?zāi)Ｐ推者m性.在此過程中，教師需通過“如何將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為通項式”“不同數(shù)列是否共享相同結(jié)構(gòu)”等啟發(fā)性提問推動思維進(jìn)階.學(xué)生以小組為單位對比遞推法與迭代法的優(yōu)劣，教師則適時介人總結(jié)數(shù)學(xué)建模思想，形成“問題驅(qū)動—協(xié)作探究一反思優(yōu)化”的動態(tài)課堂生態(tài)，使師生關(guān)系從單向輸出轉(zhuǎn)向共生共長

2.4技術(shù)賦能動態(tài)展現(xiàn)，優(yōu)化探究效能

新課標(biāo)倡導(dǎo)教師重視信息技術(shù)的運(yùn)用，通過優(yōu)化課堂教學(xué)轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)的方式.對此，教師應(yīng)借助動態(tài)演示技術(shù)重構(gòu)課堂形態(tài)，將抽象數(shù)學(xué)原理轉(zhuǎn)化為可交互的認(rèn)知腳手架.在教學(xué)中，教師可運(yùn)用GeoGebra動態(tài)數(shù)表、H5交互程序等工具，將數(shù)學(xué)對象的生成過程分解為可觀測的思維軌跡，使公式推導(dǎo)從機(jī)械記憶轉(zhuǎn)向過程性建構(gòu)

例如，在“等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)”教學(xué)中，教師首先可以借助GeoGebra動態(tài)數(shù)表生成數(shù)列3，7，11…的擴(kuò)展過程，用顏色標(biāo)記 a₁=3，d=4 的數(shù)學(xué)意義，讓學(xué)生通過拖拽 n 值滑塊觀察 a₅=19，a₁₀=39 等具體項，歸納出“每增加1項，數(shù)值增長4”的規(guī)律；接著，在希沃白板中搭建數(shù)形結(jié)合模型，將數(shù)列項繪制成階梯狀條形圖，學(xué)生通過觸屏操作疊加公差 d 對應(yīng)的“階梯高度”，可直觀發(fā)現(xiàn) a_n=3+4（n- 1）的結(jié)構(gòu)特征;隨后，借助Python編程演示迭代過程：初始化 a₁=3 后，循環(huán)執(zhí)行 a_n=a_n-1+4 共9次，動態(tài)輸出數(shù)列前10項并同步生成通項公式.此外，當(dāng)學(xué)生提出“公差為負(fù)數(shù)時公式是否適用”的疑問時，教師可以即時修改 d 值為-2，動態(tài)圖表自動重構(gòu)為3，1，-1…的遞減數(shù)列，以此驗證公式的普適性.這種技術(shù)介入使數(shù)學(xué)思維外顯為可追溯的操作軌跡.學(xué)生在人機(jī)交互中經(jīng)歷“具象操作一模式抽象一符號表達(dá)”的完整探究歷程，教師則通過技術(shù)平臺實時采集學(xué)情數(shù)據(jù)，精準(zhǔn)定位認(rèn)知堵點(diǎn)，實現(xiàn)探究效能的螺旋式提升.

2.5 多元評價過程導(dǎo)向，鞏固探究成果

探索式學(xué)習(xí)模式下的教學(xué)評價應(yīng)聚焦探究過程的價值生成，突破傳統(tǒng)終結(jié)性評價的局限.對此，教師需構(gòu)建“自評反思一互評協(xié)作—技術(shù)追蹤”的立體評價體系：借助智慧課堂系統(tǒng)實時捕捉學(xué)生的思維軌跡，通過自評量表引導(dǎo)學(xué)生審視探究路徑的合理性，利用互評機(jī)制促進(jìn)學(xué)習(xí)共同體的經(jīng)驗共享.這種過程性評價將知識建構(gòu)與素養(yǎng)發(fā)展可視化，使評價成為優(yōu)化探究行為的動態(tài)反饋工具

以“等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)”教學(xué)為例，在探究初期，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過平板電腦提交遞推式 a_n= a₁+（n-1）d 的猜想依據(jù)，智慧系統(tǒng)自動聚類典型思路（如項差累加、函數(shù)對應(yīng)等），生成思維導(dǎo)圖供小組互評;在推導(dǎo)過程中，教師可以截取兩組學(xué)生的板演過程：A組采用逐項展開法，B組嘗試函數(shù)建模法，引導(dǎo)學(xué)生通過希沃白板的對比功能開展互評，重點(diǎn)討論“兩種方法的本質(zhì)關(guān)聯(lián)”；在課后拓展環(huán)節(jié)，教師可以組織學(xué)生借助評價量規(guī)自檢學(xué)習(xí)檔案，包含課堂筆記中標(biāo)注的認(rèn)知堵點(diǎn)，如為何 n-1 而非 Ω_n ？教師則可以通過分析系統(tǒng)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)薄弱環(huán)節(jié).這種多元評價使學(xué)生在“猜想一驗證一反思”的完整探究鏈中獲得持續(xù)性反饋，教師則依托評價數(shù)據(jù)動態(tài)調(diào)整教學(xué)策略，實現(xiàn)探究成果的螺旋式鞏固

3 結(jié)束語

探索式學(xué)習(xí)模式通過重構(gòu)師生角色定位與認(rèn)知路徑，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)注人了革新動力，其核心在于以學(xué)生思維發(fā)展為軸心，將知識建構(gòu)過程轉(zhuǎn)化為“觀察猜想一協(xié)作驗證一抽象建?！钡穆菪秸J(rèn)知軌跡.教師通過預(yù)習(xí)引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)問題、情境創(chuàng)設(shè)與問題鏈設(shè)計、任務(wù)驅(qū)動逐層探究、技術(shù)應(yīng)用可視化探究及多元評價體系的構(gòu)建，形成“觀察歸納一猜想驗證一模型應(yīng)用”的完整認(rèn)知閉環(huán).這種教學(xué)模式不僅重塑了課堂生態(tài)，更在培育數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)方面展現(xiàn)出獨(dú)特價值，為深化數(shù)學(xué)教育改革提供了實踐范式.

參考文獻(xiàn)：

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[2］吳佳美.探究式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)新課程中的實施[J].黑河教育，2022（07）：22-23.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]