[中圖分類(lèi)號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-6058（2025）17-0010-06

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將數(shù)學(xué)建模列為六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，強(qiáng)調(diào)在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題.在傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，學(xué)生普遍缺乏個(gè)性化的建模學(xué)習(xí)內(nèi)容和真實(shí)的建模情境，教師缺乏數(shù)學(xué)建模教學(xué)有效模式，教學(xué)過(guò)程重問(wèn)題的分析與解決而輕問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出.基于此，本文結(jié)合“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”課例，探究基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐路徑.

一、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的核心內(nèi)涵

（一）概念界定

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是一種以真實(shí)情境為導(dǎo)向的探究性教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在復(fù)雜情境中通過(guò)合作解決問(wèn)題.它基于建構(gòu)主義理論，通過(guò)“提出問(wèn)題一探究實(shí)踐一反思迭代”的循環(huán)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、協(xié)作能力與創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)知識(shí)遷移和核心素養(yǎng)發(fā)展，突破傳統(tǒng)課堂的碎片化學(xué)習(xí)局限.

（二）理論基礎(chǔ)

皮亞杰的“認(rèn)知圖式”理論指出，知識(shí)是通過(guò)個(gè)體與環(huán)境主動(dòng)互動(dòng)建構(gòu)而成，這一過(guò)程包含同化、順應(yīng)和平衡三種關(guān)鍵機(jī)制.在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，學(xué)生面對(duì)真實(shí)問(wèn)題，會(huì)主動(dòng)調(diào)用已有圖式解決問(wèn)題（同化）；當(dāng)遇到模型不適用時(shí)，則重構(gòu)認(rèn)知圖式（順應(yīng)），最終形成更復(fù)雜的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)（平衡）.這種持續(xù)自我調(diào)節(jié)的建構(gòu)過(guò)程，正是知識(shí)自主發(fā)展的本質(zhì).

杜威的“做中學(xué)\"理念認(rèn)為，真正的學(xué)習(xí)源于有目的實(shí)踐活動(dòng)，人們最初且最牢固的知識(shí)是關(guān)于“怎樣做\"的知識(shí);教學(xué)過(guò)程應(yīng)是“做\"的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)“從活動(dòng)中學(xué)\"“從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)”，讓課堂知識(shí)與生活活動(dòng)相聯(lián)系.在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)解決真實(shí)問(wèn)題，將抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體經(jīng)驗(yàn)，并不斷調(diào)整方案，形成“行動(dòng)一反思一改進(jìn)”的循環(huán)，最終通過(guò)小組協(xié)作交流等方式完成知識(shí)的學(xué)習(xí)和問(wèn)題的解決.

（三）核心特征

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)具有以下核心特征：一是真實(shí)性，即問(wèn)題源自現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)生從生活情境中提煉抽象出具有一定創(chuàng)新性的學(xué)科問(wèn)題，并嘗試分析解決；二是自主性，即學(xué)生主導(dǎo)項(xiàng)目研究，教師僅充當(dāng)“腳手架\"協(xié)助學(xué)生完成項(xiàng)目；三是協(xié)作性，即學(xué)習(xí)過(guò)程中需要項(xiàng)目小組成員合理分工，且要跨學(xué)科團(tuán)隊(duì)和知識(shí)配合；四是成果導(dǎo)向，即學(xué)習(xí)的最終成果常能形成可視化的作品，如數(shù)學(xué)模型、調(diào)研報(bào)告、程序代碼等.

二、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模教學(xué)的耦合機(jī)制

（一）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模教學(xué)的內(nèi)在契合點(diǎn)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模教學(xué)在以下三個(gè)方面存在內(nèi)在契合：

其一，目標(biāo)一致.二者均指向解決真實(shí)問(wèn)題，著眼于提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，促使學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用知識(shí)、鍛煉思維.

其二，過(guò)程相似.二者均包含“問(wèn)題界定 $$ 方案設(shè)計(jì) $$ 實(shí)施改進(jìn)”的完整周期，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的基本流程.

其三，評(píng)價(jià)多維.二者均注重過(guò)程性評(píng)價(jià)與成果的創(chuàng)新性，既關(guān)注知識(shí)掌握，也重視能力提升，將過(guò)程性評(píng)價(jià)與終結(jié)性評(píng)價(jià)有機(jī)結(jié)合，全面評(píng)估學(xué)習(xí)成效.

（二）基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

相較于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有明顯且獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)（見(jiàn)表1）.

表1基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

（三）基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)一般路徑

基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)強(qiáng)調(diào)“任務(wù)式驅(qū)動(dòng)”，這種驅(qū)動(dòng)方式以明確的任務(wù)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生從真實(shí)生活情境中挖掘探究項(xiàng)目，并運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想和方法分析和解決問(wèn)題.基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一般路徑如圖1所示.

創(chuàng)設(shè)項(xiàng)目情境 明確數(shù)學(xué)問(wèn)題 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型√檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型 解決項(xiàng)目問(wèn)題 總結(jié)反思創(chuàng)新

（1）創(chuàng)設(shè)項(xiàng)目情境：情境背景是建模的起點(diǎn)，教師應(yīng)選取與學(xué)生生活緊密相關(guān)的問(wèn)題或社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)建項(xiàng)目式學(xué)習(xí)背景，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)其建模興趣.

（2）明確數(shù)學(xué)問(wèn)題：在真實(shí)項(xiàng)目情境下，學(xué)生合理假設(shè)，提取關(guān)鍵信息、忽略無(wú)關(guān)因素，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)描述問(wèn)題本質(zhì)，確定要解決的數(shù)學(xué)核心問(wèn)題.

（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，引入合適變量，并借助信息技術(shù)等工具求解參數(shù)，建立變量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

（4）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型：待學(xué)生構(gòu)建模型后，教師引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的合理性、準(zhǔn)確性和有效性，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，確保數(shù)學(xué)模型能較好地用于解決實(shí)際問(wèn)題.

（5）解決項(xiàng)目問(wèn)題：利用構(gòu)建并檢驗(yàn)好的數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并將結(jié)果反饋到實(shí)際情境中，給出實(shí)際問(wèn)題的解決方案.

（6）總結(jié)反思創(chuàng)新：要求學(xué)生回顧建模過(guò)程，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，思考數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化和創(chuàng)新方向，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

三、基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐—

（一）創(chuàng)設(shè)項(xiàng)目情境

教師以富有感染力的語(yǔ)言介紹中國(guó)茶文化，隨后播放精心準(zhǔn)備的西湖龍井茶泡制視頻.視頻不僅清晰呈現(xiàn)泡制西湖龍井茶的最佳溫度為 、口感最佳的飲用溫度為 60^°C 等關(guān)鍵信息（如圖2），還融入了茶園風(fēng)光、采茶工藝等文化元素.

圖1基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一般路徑

圖2 西湖龍井茶簡(jiǎn)介

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)且富有文化韻味的情境，讓學(xué)生在感受茶文化魅力的同時(shí)，搭建生活中的項(xiàng)目情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題分析的橋梁，自然引出后續(xù)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)文化浸潤(rùn)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有機(jī)融合.

（二）明確數(shù)學(xué)問(wèn)題

教師：剛才我們了解了西湖龍井茶的最佳泡制水溫以及口感最佳的飲用溫度，大家思考一下，實(shí)際生活中影響茶水溫度變化的因素有哪些？

學(xué)生思考討論后，可能會(huì)說(shuō)出時(shí)間、泡制水溫、環(huán)境氣溫、茶杯材料、茶杯形狀、茶杯口大小等影響茶水溫度變化的因素.

教師：日常生活中，我們常用固定的茶杯泡茶.假設(shè)用固定的 85^°C 的水溫泡茶，且環(huán)境氣溫基本不受泡茶影響，那么引起茶水溫度變化的主要因素是什么？

學(xué)生：時(shí)間.

教師順勢(shì)提問(wèn)：龍井茶在 85°C 水溫泡制下，大約經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，飲用時(shí)口感最佳（即茶水溫度達(dá)60^°C ？

設(shè)計(jì)意圖：教師先引導(dǎo)學(xué)生提出合理假設(shè)，接著讓學(xué)生忽略無(wú)關(guān)或次要因素、突出主要因素，進(jìn)而確定常量和變量，最終明確需解決的數(shù)學(xué)核心問(wèn)題.學(xué)生在實(shí)踐中掌握從實(shí)際情境抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的原理和路徑，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

（三）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1.收集數(shù)據(jù)

教師闡述：毛主席曾說(shuō)過(guò)“一切真知都是從直接經(jīng)驗(yàn)發(fā)源的”.為了解決剛才提出的問(wèn)題，我們最好的辦法就是先做一做實(shí)驗(yàn)，收集一定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，看看能否獲得啟發(fā).

教師課前提前準(zhǔn)備好西湖龍井茶、統(tǒng)一的玻璃杯、熱水壺、飲用水、液晶顯示溫度計(jì)、秒表等實(shí)驗(yàn)用具.學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，分組測(cè)量茶水溫度、收集數(shù)據(jù).

具體要求如下：

（1）每個(gè)小組4人.（2）4人的任務(wù)分別為操作、計(jì)時(shí)、讀數(shù)和記錄.（3）記錄室溫.（4）水溫達(dá) 時(shí)放入茶葉并開(kāi)始計(jì)時(shí).（5）每分鐘測(cè)量和記錄一次，填入《茶水溫度記錄表》見(jiàn)表2）.

表2茶水溫度記錄表

操作人： 計(jì)時(shí)人： 讀數(shù)人： 記錄人：

學(xué)生根據(jù)教師提出的實(shí)驗(yàn)要求分組開(kāi)展實(shí)驗(yàn)并收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

設(shè)計(jì)意圖：教師以解決“龍井茶在 水溫泡制下，大約經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，飲用時(shí)口感最佳”這一問(wèn)題為項(xiàng)目導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，收集茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù).此過(guò)程中，學(xué)生不再是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是主動(dòng)參與到項(xiàng)目的各個(gè)環(huán)節(jié)，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過(guò)程.小組內(nèi)成員分工明確、各司其職，合作完成數(shù)據(jù)收集工作，這一過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生的溝通交流與團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力.

2.選擇函數(shù)模型

教師：大家在用液晶顯示溫度計(jì)測(cè)量茶水溫度時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在每個(gè)確定的時(shí)間里，茶水的溫度是唯一確定的.那么，這種茶水溫度隨時(shí)間變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，符合我們學(xué)過(guò)的哪個(gè)數(shù)學(xué)概念呢？

學(xué)生：函數(shù).

教師：很好.接下來(lái)我們來(lái)探究茶水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型.之前我們學(xué)過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等.若想直觀觀察茶水溫度隨時(shí)間的變化過(guò)程，用哪個(gè)函數(shù)模型擬合更適合？又該借助什么工具呢？

學(xué)生：函數(shù)圖象.

教師：很好.為了更直觀地觀察茶水溫度隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，下面請(qǐng)同學(xué)們按照之前的分組，在平板電腦上用GeoGebra軟件繪制采集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并思考討論茶水溫度的變化趨勢(shì).

學(xué)生在平板電腦上繪制散點(diǎn)圖.學(xué)生繪圖完成后，教師巡視指導(dǎo)，并選取第X組的結(jié)果投屏到SeeWo電腦上（如圖3）.

圖3學(xué)生用GeoGebra繪制的散點(diǎn)圖

教師：請(qǐng)第X組代表說(shuō)說(shuō)，據(jù)你觀察，隨著時(shí)間變化，溫度的變化有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：隨著時(shí)間的增加，溫度下降得越來(lái)越慢.

教師：很好.我們學(xué)過(guò)的函數(shù)中，有哪些函數(shù)的變化過(guò)程符合這個(gè)特點(diǎn)？

學(xué)生有多種回答，比如指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等.

教師：很好.時(shí)間有限，今天我們就利用指數(shù)函數(shù)來(lái)研究茶水溫度的變化規(guī)律.

教師：?jiǎn)握{(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)的解析式為 y= a^x（0

學(xué)生小組討論后，由小組代表發(fā)言.

學(xué)生：首先，實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)量的氣溫不是 0^°C ，根據(jù)茶水溫度降至氣溫就不再下降的特點(diǎn)，應(yīng)將指數(shù)函數(shù)的漸近線向上平移，即構(gòu)造函數(shù) alt;1，x?0 ，其中參數(shù) c 是室內(nèi)氣溫值.又因初始溫度為 ，也就是當(dāng) x 為0時(shí)， y 應(yīng)為85，所以我在 a^x 前面增加了一個(gè)系數(shù) k ，這樣構(gòu)造的函數(shù) y= ka^x+c（0

教師：非常棒！大家掌聲鼓勵(lì).

設(shè)計(jì)意圖：借助GeoGebra軟件繪制散點(diǎn)圖，使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可視化，幫助學(xué)生直觀感知“溫度下降速率趨緩”的變化規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用系統(tǒng)思維，發(fā)掘已學(xué)的函數(shù)知識(shí)，多角度提出可能的函數(shù)類(lèi)型（如指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等），再聚焦指數(shù)模型進(jìn)行針對(duì)性?xún)?yōu)化.通過(guò)對(duì)比指數(shù)函數(shù)圖象與實(shí)際情境的差異，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)模型的局限性.這一過(guò)程滲透“假設(shè)一驗(yàn)證—修正”的建模思想，強(qiáng)化學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)條件優(yōu)化模型的意識(shí)，培養(yǎng)其批判性思維、數(shù)形結(jié)合的分析能力以及理論與實(shí)踐結(jié)合的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.通過(guò)小組代表發(fā)言，鍛煉學(xué)生的邏輯表達(dá)與交流能力，實(shí)現(xiàn)思維碰撞.

3.求解函數(shù)模型

教師：剛才同學(xué)們思考討論后，初步得出了水溫變化的函數(shù)模型 γ=ka^x+c（0c ，同學(xué)們能求出這些參數(shù)值嗎？

學(xué)生代表：我們測(cè)得的室溫為 18^°C ，即參數(shù) c 的值為18，將坐標(biāo)（0，85）代人函數(shù)解析式，解得 k=67，從而得到函數(shù)模型 y=67a^x+18（0

教師：很好.最后剩下的參數(shù) a 叫“衰減比例”，那么結(jié)合測(cè)量數(shù)據(jù)，我們?cè)撊绾吻蟪鏊p比例 Ψ_a 的值？

有的學(xué)生答代人第1個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，有的學(xué)生答代入多個(gè)點(diǎn)數(shù)據(jù)求平均值等.

教師：如果只代1個(gè)點(diǎn)，其他數(shù)據(jù)就用不上，而且可能這個(gè)數(shù)據(jù)誤差較大，并不保險(xiǎn)；代多個(gè)點(diǎn)求平均值，計(jì)算會(huì)很煩瑣.請(qǐng)大家觀察下面的式子.大家還能想到更簡(jiǎn)便的求解 a 的方法嗎？

學(xué)生：可以把每個(gè)式子減去 c 后相除求出 a 的值，再取平均值.

教師：很好.但是這個(gè)過(guò)程如果用手算工作量會(huì)很大.接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們用平板電腦的Excel軟件進(jìn)行計(jì)算．

學(xué)生根據(jù)本組采集的數(shù)據(jù)，借助Excel軟件計(jì)算 Ψ_a 的值.教師巡視指導(dǎo)，選取第Y組的結(jié)果投屏到SeeWo電腦上（如圖4）.

圖4學(xué)生用Excel軟件求解衰減比例

教師：非常好！剛才通過(guò)同學(xué)們的共同努力，我們已經(jīng)構(gòu)建并求解出了茶水溫度變化的一個(gè)函數(shù)模型[具體要看每組測(cè)量數(shù)據(jù)，類(lèi)似于函數(shù)模型y=67×0.9578^x+18（x?0）].

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)以求解函數(shù)模型參數(shù)為核心任務(wù)，通過(guò)借助問(wèn)題鏈開(kāi)展深入探究，引導(dǎo)學(xué)生分析參數(shù)的實(shí)際意義與求解方法.首先，針對(duì)參數(shù) 和 k ，教師安排學(xué)生進(jìn)行室溫測(cè)量，并將初始溫度代入相關(guān)式子，讓學(xué)生理解參數(shù) c 和 k 的物理意義，體會(huì)“從實(shí)際背景抽象參數(shù)”的建模策略.接著，聚焦關(guān)鍵參數(shù)衰減比例 a ，教師對(duì)比“單點(diǎn)代入”與“多點(diǎn)代入求平均值”這兩種方法的局限，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生思考更高效的方法，在此過(guò)程中滲透數(shù)據(jù)處理的優(yōu)化策略.在此基礎(chǔ)上，引入Excel工具計(jì)算 a ，降低運(yùn)算的機(jī)械性，讓學(xué)生體驗(yàn)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的高效性，培養(yǎng)其數(shù)字化學(xué)習(xí)能力.整個(gè)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“實(shí)際問(wèn)題一數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化一工具輔助—模型完善”的探究路徑，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用的真實(shí)性、工具性和嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

（四）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型

教師：大家覺(jué)得這個(gè)函數(shù)模型擬合效果好嗎？我們?nèi)绾屋^為直觀地感受擬合的效果是否好呢？

學(xué)生畫(huà)出函數(shù)圖象，對(duì)照散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)是否均勻分布在函數(shù)圖象附近.

教師：很好.接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們利用GeoGebra軟件進(jìn)行繪圖.

學(xué)生借助GeoGebra軟件，在剛才繪制的散點(diǎn)圖上畫(huà)出所求解出的函數(shù)圖象.教師巡視指導(dǎo)，選取第Z組的結(jié)果投屏到 SeeWo 電腦上（如圖5）.

圖5學(xué)生用GeoGebra繪制的函數(shù)圖象

教師：請(qǐng)一組同學(xué)代表說(shuō)說(shuō)你們擬合的函數(shù)效果如何？

學(xué)生：我覺(jué)得我們組擬合效果挺好的，因?yàn)檫@些點(diǎn)大致分布在曲線周?chē)译x得近.

師：你分析得很有道理.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生評(píng)估函數(shù)模型的擬合效果，培養(yǎng)其數(shù)據(jù)分析和模型驗(yàn)證能力，呈現(xiàn)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.首先，提出問(wèn)題“我們?nèi)绾屋^為直觀地感受擬合的效果是否好呢”，激發(fā)學(xué)生對(duì)模型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的思考，引出“圖象對(duì)比法”，即疊加函數(shù)曲線與散點(diǎn)圖觀察，滲透數(shù)形結(jié)合策略.其次，利用GeoGebra軟件繪圖，將代數(shù)模型轉(zhuǎn)化為幾何圖形，通過(guò)視覺(jué)對(duì)比判斷擬合效果的好壞，凸顯技術(shù)工具在數(shù)學(xué)驗(yàn)證中的支撐作用，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型“近似性”與“實(shí)際值”關(guān)系的理解，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

（五）解決項(xiàng)目問(wèn)題

教師：既然我們已經(jīng)求解出了茶水溫度降低的函數(shù)模型，接下來(lái)回到我們最開(kāi)始提出的問(wèn)題龍井茶在 水溫泡制下，大約經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，飲用口感最佳？

學(xué)生：令 y=60 ，求 x 的值.

教師：很好，接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們用GeoGebra軟件進(jìn)行計(jì)算.

學(xué)生利用GeoGebra軟件進(jìn)行計(jì)算操作，得到結(jié)果.

教師：非常好！對(duì)照各組結(jié)果，我們可以大致估計(jì)約 xx 分鐘時(shí)龍井茶飲用口感最佳.當(dāng)然，也許有人更愛(ài)喝 50°C 或 40°C 的綠茶，有了這個(gè)函數(shù)模型，也是可以快速算出最佳飲用時(shí)間的，

教師：事實(shí)上，幾百年前，牛頓曾經(jīng)對(duì)液體的溫度變化進(jìn)行過(guò)研究，他得出的函數(shù)模型被稱(chēng)為“牛頓冷卻定律”（如圖6）.實(shí)際上，該公式與我們今天所得一致（教師講解任意底數(shù)與自然底數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系）.而且，在當(dāng)今社會(huì)的大數(shù)據(jù)分析中，此模型也發(fā)揮著重要作用.

圖6 牛頓冷卻定律

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)回歸初始問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際生活問(wèn)題，形成基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的完整閉環(huán).首先，引導(dǎo)學(xué)生求解最佳飲用時(shí)間，讓他們感受到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；其次，組織學(xué)生討論不同溫度偏好的個(gè)性化需求，滲透數(shù)學(xué)模型的普適性和靈活性，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的辯證思維；最后，引入牛頓冷卻定律的歷史背景，拓展學(xué)生科學(xué)視野，強(qiáng)化數(shù)學(xué)與物理的跨學(xué)科聯(lián)系.隨后讓學(xué)生對(duì)比驗(yàn)證自主構(gòu)建的模型與經(jīng)典定律的一致性，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者相符時(shí)，會(huì)極大地增強(qiáng)他們的成就感.

（六）總結(jié)反思創(chuàng)新

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)流程，由學(xué)生自主提煉“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題\"的一般步驟（如圖7）.

了解中國(guó)茶文化了解綠茶的最佳泡制 實(shí)際情境和飲用溫度多長(zhǎng)時(shí)間飲用口感最佳？ 發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題 建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題測(cè)量不同時(shí)間茶水的溫度 收集數(shù)據(jù)課堂小結(jié) √←選擇函數(shù)模型 選擇函數(shù)模型求解參數(shù) 的值 求解函數(shù)模型不符合實(shí)際檢驗(yàn)函數(shù)模型是否符合實(shí)際 檢驗(yàn)函數(shù)模型符合實(shí)際求出茶水最佳飲用時(shí)間 解決實(shí)際問(wèn)題

教師布置課后任務(wù)：1.嘗試用反比例函數(shù)等其他函數(shù)模型對(duì)茶水溫度的變化過(guò)程進(jìn)行擬合，并與指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行對(duì)比分析.2.以小組為單位合理假設(shè)常量，利用“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題\"的方法，探究茶杯材料、杯壁厚度等其他變量對(duì)水溫變化快慢的影響.

設(shè)計(jì)意圖：師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，提煉出在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)過(guò)程中建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟，讓學(xué)生獲得此類(lèi)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的基本方法，理解數(shù)學(xué)建模的基本路徑，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).兩項(xiàng)課后任務(wù)注重實(shí)踐性和開(kāi)放性，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，使數(shù)學(xué)建模從課堂延伸到課外，進(jìn)而形成完整的學(xué)習(xí)閉環(huán)，后續(xù)還可開(kāi)展新的數(shù)學(xué)建模任務(wù).

四、結(jié)束語(yǔ)

基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)，依托建構(gòu)主義理論，通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究與協(xié)作實(shí)踐，體現(xiàn)了“做中學(xué)”的教育理念，推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從靜態(tài)知識(shí)傳遞轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)能力生成.在真實(shí)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生主動(dòng)調(diào)用跨學(xué)科知識(shí)，經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)項(xiàng)目情境一明確數(shù)學(xué)問(wèn)題一構(gòu)建數(shù)學(xué)模型—檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型一解決項(xiàng)目問(wèn)題一總結(jié)反思創(chuàng)新\"的完整過(guò)程，逐步形成解決項(xiàng)目問(wèn)題的一般路徑.在此教學(xué)策略下，教師可不斷挖掘生活與科技中的項(xiàng)目資源，設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性的建模任務(wù)，并借助數(shù)字化工具優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，讓數(shù)學(xué)建模真正成為學(xué)生探索世界的工具，為其終身學(xué)習(xí)與創(chuàng)新實(shí)踐奠定基礎(chǔ).

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（責(zé)任編輯 黃春香）