1 研究背景

傳統(tǒng)函數(shù)教學(xué)中常因抽象性導(dǎo)致學(xué)生理解困難[1.基于此，本研究嘗試將SOLO分類理論與項(xiàng)目式教學(xué)有機(jī)融合，構(gòu)建具有認(rèn)知發(fā)展梯度的教學(xué)設(shè)計(jì)框架，并以人教版初中數(shù)學(xué)“函數(shù)及其應(yīng)用”單元現(xiàn)實(shí)課堂教學(xué)為例，構(gòu)建“三維五階”教學(xué)設(shè)計(jì)框架.在實(shí)施過程中采用動(dòng)態(tài)支架策略，有效支持學(xué)生從基礎(chǔ)認(rèn)知向高階思維躍遷.這一研究不僅為解決初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的抽象概念教學(xué)難題提供了新思路，還為素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐提供了可推廣的教學(xué)策略，具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 總體設(shè)計(jì)

結(jié)合當(dāng)前的“雙碳”目標(biāo)，為助力綠色校園建設(shè)，本文以初三“函數(shù)及其應(yīng)用”單元教學(xué)為例，以“校園能源消耗調(diào)查與節(jié)能方案設(shè)計(jì)”為項(xiàng)目主題，基于SOLO分類理論的認(rèn)知發(fā)展框架，結(jié)合項(xiàng)目式學(xué)習(xí)（PBL）的實(shí)踐性特征，構(gòu)建“三維五階”教學(xué)實(shí)施策略（表1）.三維包括知識(shí)建構(gòu)、認(rèn)知發(fā)展、素養(yǎng)評(píng)價(jià)維度，五階指教學(xué)實(shí)施分為前測(cè)診斷、動(dòng)態(tài)支架、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、數(shù)學(xué)建模和深化遷移.

2.2 教學(xué)策略

2. 2.1 前測(cè)診斷：真實(shí)情境導(dǎo)入

設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)性問題是項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的核心概念.教師可結(jié)合時(shí)代背景，將解決身邊生活中的問題作為主線任務(wù).例如，教師可以通過介紹全球能源問題日益突出的背景，展示學(xué)校后勤部提供的夏季某日所在班級(jí)教室的能耗數(shù)據(jù)（如表2），并設(shè)置遞進(jìn)式問題鏈：

（1）“教室在夏季每天開燈10小時(shí)，會(huì)耗費(fèi)多少電？”

（2）“夏季我們教室空調(diào)耗電量是否與當(dāng)日氣溫存在關(guān)聯(lián)？其耗電量的增長速度呈現(xiàn)何種特征？”

2.2.2 動(dòng)態(tài)支架

（1）數(shù)據(jù)可視化分析

采用小組合作學(xué)習(xí)模式（每組 6～8 人），各個(gè)小組分別按照已有數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制：

a .“開燈時(shí)間一照明能耗”散點(diǎn)圖與折線圖繪制；

b.“室外氣溫一空調(diào)能耗”雙變量數(shù)據(jù)可視化.

教師講解最小二乘法的基本原理，并引導(dǎo)學(xué)生擬合照明能耗的一次函數(shù)模型 $E _ { ☉ } ＼sinh ＼ b = k ＼cdot t$ ，其中 k 為單位時(shí)間耗電量， Ψ_t 為開燈時(shí)間.學(xué)生通過計(jì)算，得出照明能耗的線性函數(shù)模型： ·

（2）非線性問題感知

通過空調(diào)能耗散點(diǎn)圖的拋物線型分布特征，教師提問：“同樣都是耗電設(shè)備，為什么照明能耗的點(diǎn)整齊排成直線，空調(diào)能耗的點(diǎn)卻像拋出去的球一樣向上彎曲？”由此引發(fā)學(xué)生通過對(duì)比觀察，引導(dǎo)學(xué)生感知線性關(guān)系與非線性關(guān)系的特征差異.

2.2.3 任務(wù)驅(qū)動(dòng)：數(shù)學(xué)本質(zhì)解讀

（1）變量關(guān)系拆解

教師引導(dǎo)學(xué)生分析空調(diào)能耗增長的雙重線性變化：

α_a .使用時(shí)長增加：氣溫每升高 1^°C ，空調(diào)多開

0.5小時(shí) （Δx=1^°CΔt=0.5h） ，

b .空調(diào)效率下降：氣溫每升高 1^°C ，每小時(shí)多耗電0.1度 （Δx=1^°CΔp=0.1kW?h/h）

（2）建立復(fù)合函數(shù)關(guān)系

教師引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算，得出總耗電量增長的表達(dá)式：總耗電量 使用時(shí)長 x 每小時(shí)耗電量 + 基礎(chǔ)耗電量.在各小組討論結(jié)果的基礎(chǔ)上，教師講解二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，并引導(dǎo)學(xué)生將總耗電量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)： .通過代數(shù)運(yùn)算推導(dǎo)出表達(dá)式為， 43.75.

進(jìn)一步，通過數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，得出教學(xué)簡化模型： E_ssise=0.05（x-25）²+12.5，

2.2.4 數(shù)學(xué)建模：模型驗(yàn)證與數(shù)學(xué)解釋

在模型驗(yàn)證階段，教師引導(dǎo)各個(gè)小組選取不同溫度值（ ΔT=26^°C，30^°C，35^°CΔ ）進(jìn)行代入計(jì)算，以檢驗(yàn)二次函數(shù)模型與實(shí)際能耗數(shù)據(jù)的吻合程度.例如，當(dāng)溫度為 30^°C 時(shí)，根據(jù)建立的二次函數(shù)模型，理論計(jì)算得到空調(diào)能耗為： E=0.05（30-25）²+12.5= 13.75kW?h

教師引導(dǎo)學(xué)生查找后勤處給出的其他日期的數(shù)據(jù)，觀測(cè)得當(dāng)室外溫度為 30^°C 時(shí)，空調(diào)當(dāng)日能耗為

13.2kW?h ，與理論計(jì)算值的相對(duì)誤差在 4.0% ，驗(yàn)證了模型的有效性.

進(jìn)一步，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖象分析，包括開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等幾何特征.學(xué)生觀察到該二次函數(shù)呈現(xiàn)開口向上的拋物線形態(tài)，其對(duì)稱軸為 x= 25（即 T=25^°C ），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（25，12.5）.教師進(jìn)一步提問該頂點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際意義，并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過討論得出結(jié)論：當(dāng)室外溫度為 25^°C 時(shí)，空調(diào)系統(tǒng)將達(dá)到理論上的最小能耗值 12.5kW?h .然而，這一理論最優(yōu)解與實(shí)際運(yùn)行條件存在差異.根據(jù)學(xué)校規(guī)定，空調(diào)系統(tǒng)僅在室外溫度達(dá)到 26^°C 及以上時(shí)方可啟用.因此，實(shí)際運(yùn)行中的最低能耗應(yīng)從 T=26^°C 開始計(jì)算.

通過這一建模過程，學(xué)生不僅掌握了二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用方法，更重要的是學(xué)會(huì)了如何將數(shù)學(xué)模型與實(shí)際約束條件相結(jié)合進(jìn)行修正.

2.2.5 深化遷移：深化總結(jié)與遷移應(yīng)用

（1）深化總結(jié)

由學(xué)生對(duì)這節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，明晰重點(diǎn)，克服難點(diǎn)，不同的小組舉手補(bǔ)充，最后教師進(jìn)行總結(jié)點(diǎn)評(píng)，師生共同完成本節(jié)課學(xué)習(xí)框架圖（圖1），由此讓學(xué)生充分感知到自己是學(xué)習(xí)的主人，實(shí)現(xiàn)了由知識(shí)到能力、從體驗(yàn)到樂趣的轉(zhuǎn)變.

（2）遷移應(yīng)用

在擴(kuò)展階段，教學(xué)評(píng)價(jià)的重點(diǎn)應(yīng)著眼于學(xué)生能否超越具體情境，將函數(shù)應(yīng)用于更廣泛的實(shí)際問題中.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)與合作探究，培養(yǎng)其跨學(xué)科思維與創(chuàng)新能力.

在本案例的結(jié)項(xiàng)階段，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察校園中其他能耗和數(shù)據(jù)，如教室照明燈的開關(guān)次數(shù)、洗手間的水表、公共區(qū)域用電等，并嘗試建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè).同時(shí)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生繪制校園能耗分布圖，標(biāo)注高能耗區(qū)域，并針對(duì)性地提出節(jié)能建議.通過生生互評(píng)機(jī)制，學(xué)生互學(xué)互鑒，進(jìn)一步深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解與應(yīng)用.

項(xiàng)目還可以延伸至社會(huì)層面，讓各小組基于數(shù)學(xué)建模結(jié)果編制《教室節(jié)能操作指南》并開展宣傳活動(dòng)，將節(jié)能理念轉(zhuǎn)化為實(shí)際行動(dòng)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在跨學(xué)科實(shí)踐中的重要意義.

3結(jié)語

本文以初中數(shù)學(xué)“函數(shù)及其應(yīng)用”單元教學(xué)為切入點(diǎn)，結(jié)合SOLO分類理論與項(xiàng)目式學(xué)習(xí)（PBL）模式，構(gòu)建了“三維五階”的教學(xué)設(shè)計(jì)框架，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與建模素養(yǎng).研究通過“校園能源消耗調(diào)查與節(jié)能方案設(shè)計(jì)”這一真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生完成從數(shù)據(jù)收集到數(shù)學(xué)建模的完整過程，實(shí)現(xiàn)從基礎(chǔ)認(rèn)知到深度應(yīng)用的躍遷.研究的創(chuàng)新之處在于將SOLO理論與PBL模式有機(jī)結(jié)合，形成了具有可操作性的教學(xué)實(shí)施策略.學(xué)生在經(jīng)歷完整學(xué)習(xí)過程后，能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題，提高節(jié)能意識(shí)與行動(dòng)能力.未來研究可進(jìn)一步拓展該模式的適用性和推廣價(jià)值，同時(shí)結(jié)合人工智能技術(shù)優(yōu)化動(dòng)態(tài)支架策略，為提升初中生的思維能力提供更有力的支持.

參考文獻(xiàn)：

[1]王靜.基于“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”理論的概念教學(xué)設(shè)計(jì)及分析—以“函數(shù)的概念”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)）（下半月），2016（10）：32—35.