摘要：本文以“平面與平面垂直（第一課時(shí)）”為載體，探索深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)的實(shí)施路徑。研究聚焦立體幾何中“空間垂直關(guān)系”的整體性建構(gòu)，通過“直觀感—操作驗(yàn)證—抽象歸納—推理論證”的認(rèn)知路徑，將二面角概念、面面垂直判定定理納入立體幾何大單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，凸顯了“降維轉(zhuǎn)化”與“邏輯遞推”的深度學(xué)習(xí)特征。教學(xué)實(shí)踐通過情境化探究與問題鏈驅(qū)動(dòng)，助力學(xué)生從碎片化知識(shí)理解轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)化思維建構(gòu)，提升直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí) "大單元教學(xué) "平面與平面垂直 "立體幾何 "核心素養(yǎng)

在新一輪課程改革背景下，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確提出“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)”的要求。深度學(xué)習(xí)作為一種強(qiáng)調(diào)知識(shí)關(guān)聯(lián)、思維進(jìn)階與實(shí)踐創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，與大單元教學(xué)“整體性、結(jié)構(gòu)化”的設(shè)計(jì)理念高度契合。立體幾何作為高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的核心模塊，其知識(shí)體系具有強(qiáng)烈的邏輯性與層次性，而“平面與平面垂直”作為空間垂直關(guān)系的最高層級(jí)，是連接“線面垂直”與“空間綜合應(yīng)用”的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。本文基于深度學(xué)習(xí)理念，以大單元教學(xué)策略重構(gòu)“平面與平面垂直”的教學(xué)過程，探索如何通過整體性設(shè)計(jì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)空間垂直關(guān)系的深度理解與應(yīng)用。[1]

一、基于深度學(xué)習(xí)的大單元教學(xué)內(nèi)容分析

（一）深度學(xué)習(xí)與大單元教學(xué)的融合邏輯

知識(shí)結(jié)構(gòu)化：從孤立點(diǎn)到關(guān)系網(wǎng)的大單元教學(xué)通過重構(gòu)“平面與平面垂直”在空間幾何體系中的位置，形成雙重關(guān)聯(lián)：①線線角→線面角→面面角；②線線垂直?線面垂直?面面垂直。

思維可視化：設(shè)計(jì)“直觀感知→操作驗(yàn)證→抽象歸納→推理論證”的螺旋上升路徑，每個(gè)階段對(duì)應(yīng)特定的深度學(xué)習(xí)行為：

（二）學(xué)生認(rèn)知特征與教學(xué)重難點(diǎn)

學(xué)生在學(xué)習(xí)“平面與平面垂直”時(shí)，已具備線面垂直的認(rèn)知基礎(chǔ)及平面幾何中角的度量經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)空間垂直關(guān)系的理解仍呈現(xiàn)“碎片化”理解的特征。他們能識(shí)別簡單幾何體中的線面垂直關(guān)系，卻難以建立“線線垂直→線面垂直→面面垂直”的邏輯鏈條；可通過直觀模型感知二面角的“開合”現(xiàn)象，卻缺乏對(duì)平面角構(gòu)造邏輯的本質(zhì)理解。其認(rèn)知結(jié)構(gòu)正從“具體形象思維”向“抽象邏輯思維”過渡，需借助操作驗(yàn)證與問題鏈驅(qū)動(dòng)，完成從“經(jīng)驗(yàn)感知”到“理性建構(gòu)”的跨越。

教學(xué)重點(diǎn)聚焦于二面角的平面角的概念建構(gòu)與面面垂直判定定理的邏輯轉(zhuǎn)化，需讓學(xué)生理解“平面化度量”的核心思想，掌握“線面垂直→面面垂直”的判定路徑，并能在典型幾何體中應(yīng)用定理證明垂直關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)則體現(xiàn)在二面角平面角構(gòu)造的“唯一性”邏輯（為何必須垂直于棱）、判定定理證明中“線面垂直→線線垂直→平面角為直角”的完整推理鏈，以及復(fù)雜情境下空間垂直關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)化，這些均需通過直觀操作、問題拆解與系統(tǒng)訓(xùn)練逐步突破。

（三）深度學(xué)習(xí)導(dǎo)向的教學(xué)策略

情境化感知：通過“門軸垂直地面”“鉛垂線檢測墻面”等情境，激活學(xué)生對(duì)“面面垂直”的直觀認(rèn)知。

操作性突破：設(shè)計(jì)折紙實(shí)驗(yàn)及GeoGebra 動(dòng)態(tài)演示（構(gòu)造二面角平面角）與小組合作（推導(dǎo)定理證明），讓學(xué)生在動(dòng)手與思辨中理解抽象概念。

問題鏈驅(qū)動(dòng)：以“如何量化二面角”“定理證明的關(guān)鍵是什么”等遞進(jìn)式問題鏈為思維支架，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)象觀察逐步深入到本質(zhì)探究，實(shí)現(xiàn)從具體經(jīng)驗(yàn)到抽象理論的深度學(xué)習(xí)躍遷。[2]

二、基于深度學(xué)習(xí)的四階認(rèn)知路徑大單元教學(xué)實(shí)踐

深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程的層次性與思維的進(jìn)階性。在“平面與平面垂直”教學(xué)中，通過問題鏈導(dǎo)向下的“直觀感知—操作驗(yàn)證—抽象歸納—推理論證”四階認(rèn)知路徑，將深度學(xué)習(xí)理念貫穿于大單元教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)感知到素養(yǎng)提升的連貫發(fā)展。

（一）直觀感知：問題鏈激活經(jīng)驗(yàn)，建立幾何表象

在深度學(xué)習(xí)起點(diǎn)階段，以“教室門旋轉(zhuǎn)時(shí)，門面與墻面的‘開合程度’發(fā)生變化”（問題1）這一生活現(xiàn)象為錨點(diǎn)，激活學(xué)生的空間感知經(jīng)驗(yàn)，自然引出二面角的研究必要性，繼而通過“如何用數(shù)學(xué)語言描述門面與墻面的‘夾角’？這種夾角與平面幾何中的角有何異同？”（問題2）的類比遷移，引導(dǎo)學(xué)生從平面角過渡到空間角的概念建構(gòu)，借助手勢(shì)模擬和幾何要素觀察，完成“面—棱—面”幾何表象的初步建立。該環(huán)節(jié)通過“觀察→類比→抽象”的問題鏈，實(shí)現(xiàn)生活經(jīng)驗(yàn)向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

（二）操作驗(yàn)證：問題鏈驅(qū)動(dòng)探究，揭示知識(shí)本質(zhì)

在深度學(xué)習(xí)深化階段，首先提出“異面直線所成角、線面角都是通過‘平面角’來度量的，二面角的大小能否也用平面角來表示？”（問題3）引發(fā)認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“降維轉(zhuǎn)化”思想；隨后通過“如何構(gòu)造這個(gè)平面角？平面角的頂點(diǎn)為何必須在棱上？兩條邊與棱的位置關(guān)系應(yīng)滿足什么條件？”（問題4）的實(shí)踐探究，組織學(xué)生折紙畫角實(shí)驗(yàn)與GeoGebra動(dòng)態(tài)驗(yàn)證，重點(diǎn)突破“頂點(diǎn)在棱、兩邊與棱垂直”的構(gòu)造條件。學(xué)生在“操作→觀察→質(zhì)疑→驗(yàn)證”的完整過程中，深度理解二面角平面角的確定性與唯一性，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。

（三）抽象歸納：問題鏈引導(dǎo)建模，實(shí)現(xiàn)符號(hào)抽象

進(jìn)入深度學(xué)習(xí)躍遷階段，通過“如何定義二面角的平面角？如何定義平面與平面垂直？進(jìn)一步如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言簡潔表達(dá)？”（問題5）推動(dòng)概念符號(hào)化，指導(dǎo)學(xué)生完成從自然語言到圖形語言再到符號(hào)語言的三重轉(zhuǎn)化；基于“鉛垂線緊貼墻面時(shí)，墻面垂直地面；門軸垂直地面，門面繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)始終垂直地面。這兩個(gè)生活現(xiàn)象可以歸納得到怎樣的數(shù)學(xué)命題？用符號(hào)語言又怎樣表達(dá)？”（問題6）的思考，引導(dǎo)學(xué)生用“如果……那么……”句式自主建構(gòu)判定定理，經(jīng)歷“現(xiàn)象觀察→共性提煉→命題表達(dá)”的完整抽象過程。該環(huán)節(jié)著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)的抽象與邏輯推理素養(yǎng)。[3]

（四）推理論證：問題鏈拓展應(yīng)用，促進(jìn)素養(yǎng)進(jìn)階

在深度學(xué)習(xí)高階階段，圍繞“歸納得到的命題如何證明呢？”（問題7）組織推理論證，引導(dǎo)學(xué)生建立“線面垂直?線線垂直?平面角為直角”的邏輯鏈條，明晰定義的雙重屬性和和利用定義證明面面垂直的路徑。繼而以正方體模型為載體，設(shè)置遞進(jìn)式問題鏈：首先通過“在正方體[ABCD-ABCD]中，證明：[平面ABD⊥][平面][ACCA]”（問題8），要求學(xué)生分別運(yùn)用判定定理（找線面垂直）和定義法（證明二面角的平面角為直角）進(jìn)行雙軌證明，通過對(duì)比兩種方法的步驟差異，凸顯判定定理通過“線面垂直”實(shí)現(xiàn)“面面垂直”證明的邏輯簡化價(jià)值，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“定理是定義的工具性延伸”的理解。

在此基礎(chǔ)上，通過兩組變式探究深化知識(shí)應(yīng)用。探究1以三個(gè)子問題（①[平面BBDD與平面ACCA]是否垂直？②[平面DBC與平面ACCA]是否垂直？③垂直于同一平面的兩平面位置關(guān)系如何？及當(dāng)這兩個(gè)平面相交時(shí)交線性質(zhì)的追問），引導(dǎo)學(xué)生突破“垂直關(guān)系單一化”認(rèn)知，在正反例辨析中構(gòu)建“垂直于同一平面的兩平面可能平行或相交”的完整認(rèn)知；探究 2則通過“在[平面ACCA]上找一條線垂直于[平面ABD]”的逆向思維任務(wù)，推動(dòng)學(xué)生從“面面垂直?線面垂直”進(jìn)行邏輯逆推，深化對(duì)空間垂直關(guān)系雙向轉(zhuǎn)化的理解。

整個(gè)環(huán)節(jié)通過“基礎(chǔ)證明→方法對(duì)比→關(guān)系拓展→逆向應(yīng)用”的問題鏈設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在多維論證中完成空間幾何認(rèn)知的系統(tǒng)化建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)邏輯推理、批判思維與問題解決能力的綜合進(jìn)階。[4]

三、結(jié)語

以“平面與平面垂直（第一課時(shí)）”為載體的大單元教學(xué)實(shí)踐，既是對(duì)深度學(xué)習(xí)理念的落地探索，也是對(duì)立體幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的一次創(chuàng)新嘗試。課堂通過“門軸垂直地面”“鉛垂線檢測”等生活化情境激活直觀想象，借助折紙實(shí)驗(yàn)與GeoGebra動(dòng)態(tài)演示突破二面角的平面角構(gòu)造難點(diǎn)，再以遞進(jìn)式問題鏈貫穿于“觀察—驗(yàn)證—?dú)w納—論證”的全過程。使學(xué)生在“線線垂直→線面垂直→面面垂直”的邏輯遞推中，構(gòu)建起空間垂直關(guān)系的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了從碎片化知識(shí)理解到系統(tǒng)性思維建構(gòu)的深度跨越。

然而，教學(xué)中仍有值得精進(jìn)之處。例如，雖通過問題鏈實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階，但對(duì)不同認(rèn)知水平學(xué)生的分層支持仍需細(xì)化，未來可嘗試探索 “基礎(chǔ)任務(wù)保底、挑戰(zhàn)任務(wù)分層”的彈性設(shè)計(jì)，如為基礎(chǔ)薄弱學(xué)生提供“定理證明步驟填空”，為高水平學(xué)生設(shè)置“非規(guī)則幾何體中構(gòu)造面面垂直” 的開放性問題。對(duì)GeoGebra 的應(yīng)用目前因課堂時(shí)間限制由教師操作直觀呈現(xiàn)幾何規(guī)律，后續(xù)可安排學(xué)生通過微視頻等途徑學(xué)習(xí)軟件的相關(guān)功能，引導(dǎo)學(xué)生課余利用信息技術(shù)自主探索規(guī)律，實(shí)現(xiàn)從“被動(dòng)接受”到“主動(dòng)發(fā)現(xiàn)”的轉(zhuǎn)變。此外，大單元教學(xué)的跨課時(shí)銜接可更具系統(tǒng)性，如在本課時(shí)探究2中預(yù)留“面面垂直性質(zhì)”的思維接口，幫助學(xué)生構(gòu)建“判定—性質(zhì)—應(yīng)用”的完整認(rèn)知閉環(huán)。

此次實(shí)踐印證了深度學(xué)習(xí)與大單元教學(xué)融合的可行性——當(dāng)單一知識(shí)點(diǎn)被置于“空間垂直關(guān)系”的整體網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)抽象概念被轉(zhuǎn)化為可操作、可探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生的思維便獲得了向深度生長的力量。未來，我將繼續(xù)深耕 “知識(shí)關(guān)聯(lián)的邏輯性”“思維進(jìn)階的層次性”“技術(shù)融合的探究性”，讓數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的傳遞，更是學(xué)生核心素養(yǎng)拔節(jié)生長的過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]洪榕波.基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)實(shí)踐[J].家長，2024（08）：41-43.

[3]劉強(qiáng)強(qiáng).深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)策略——以“數(shù)列”教學(xué)為例[J].高考，2023（18）：113-115.

[4]章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（13）：5-12.