近年來(lái)，風(fēng)險(xiǎn)理論是保險(xiǎn)精算領(lǐng)域的熱門課題，學(xué)者們研究了各種風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)或者生存概率、Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)等問(wèn)題[1-18]。經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型往往考慮理賠為單險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，事實(shí)上隨著保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)新品種的不斷開(kāi)發(fā)以及經(jīng)營(yíng)規(guī)模的壯大，單險(xiǎn)種的風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)不能很好地描述風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)過(guò)程的實(shí)際，因此需要將單險(xiǎn)種模型推廣為雙險(xiǎn)種模型。同時(shí)，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程一般假設(shè)保費(fèi)收人過(guò)程是時(shí)間的線性函數(shù)[12]，但現(xiàn)實(shí)中，風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程常在隨機(jī)環(huán)境下進(jìn)行的，即保費(fèi)收人可能會(huì)是一隨機(jī)過(guò)程，故經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型需要優(yōu)化和改善。

經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型?？紤]索賠過(guò)程是復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程[9，13-17]，泊松分布的期望等于方差，但事實(shí)上由于投保人和保險(xiǎn)公司提高了風(fēng)險(xiǎn)認(rèn)識(shí)，保險(xiǎn)公司常常會(huì)設(shè)置無(wú)賠款折扣和免賠制度，當(dāng)事故發(fā)生時(shí)，投保人會(huì)權(quán)衡利弊而決定其是否尋求索賠，所以事故次數(shù)往往大于索賠次數(shù)，即索賠次數(shù)方差往往大于均值。文獻(xiàn)[3-8，10-12]對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)的研究，考慮索賠為復(fù)合Poisson-Geometric的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程。文獻(xiàn)[3]考慮了具有投資收益的雙復(fù)合Poisson-Geometric模型并得到其破產(chǎn)概率;文獻(xiàn)[4]研究了隨機(jī)投資的雙復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，獲得無(wú)限時(shí)和有限時(shí)生存概率的微積分方程;文獻(xiàn)[5]研究了帶干擾的復(fù)合Poisson-Geomet-ric模型，得到風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的生存概率;文獻(xiàn)[6]考慮復(fù)合Poissn-Geometric風(fēng)險(xiǎn)下帶無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資本的投資組合-比例再保-閾值分紅問(wèn)題，得到并求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程;文獻(xiàn)[7]建立混合保費(fèi)下有擾動(dòng)的雙復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型，得到破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式和Lundberg不等式;文獻(xiàn)［10-12]研究了復(fù)合Pois-son-Geometric 風(fēng)險(xiǎn)模型，得到破產(chǎn)概率表達(dá)式等相關(guān)結(jié)論;文獻(xiàn)[8-9]考慮了借貸利率的風(fēng)險(xiǎn)模型，即當(dāng)保險(xiǎn)公司發(fā)生財(cái)政赤字時(shí)，充許其通過(guò)借錢來(lái)繼續(xù)開(kāi)展它的業(yè)務(wù)，并通過(guò)后期的保費(fèi)及投資收入償還債務(wù)，并獲得了模型破產(chǎn)概率的積分微分方程。

本文在上述工作和實(shí)際需要的基礎(chǔ)上，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了推廣，建立了更加符合實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)模型。構(gòu)建了混合保費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)模型，即保費(fèi)收取為固定保費(fèi)和隨機(jī)保費(fèi)的雙險(xiǎn)種模型，同時(shí)用布朗運(yùn)動(dòng)描述不確定的付款和收益的影響，考慮借貸和投資因素，即研究混合保費(fèi)收取模式下帶借貸、投資及干擾因素的復(fù)合Poisson-Geometric模型。

1相關(guān)知識(shí)簡(jiǎn)要回顧及模型的建立

定義 1^[10] 稱母函數(shù) 所對(duì)應(yīng)的分布為復(fù)合Poisson-Geometric分布，記為 PG（λt，ρ） ，其中 λgt;0，0?ρlt;1 。

引理 1^[10] 當(dāng) ρ=0 時(shí)， PG（λt，ρ） 是參數(shù)為 λ 的Poisson分布。

引理2[]當(dāng)tgt;O時(shí)，若N（t）服從PG（λt，p）分布，則E[（t）-p。

引理 3^[10] 若 {N_i（t）;t?0} ，是參數(shù)為 λ_i，ρ_i 的Poisson-Geometric 過(guò)程，記 λ（1-pi）（若p：=0，則?。?04號(hào) α_i=λ_i） ，則當(dāng) Φ_t 足夠小時(shí)有

其中， A_kⁱ（t）=ρ_i^k+（k-1）[ρ_i（1+α_it）]^k-2，o（t） 與 k 無(wú)關(guān)，且 （t）一致收斂， i=1，2 。

在概率空間 （Ω，F(xiàn)，P） 上，考慮保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程為

$$

其中， （1）u 是初始準(zhǔn)備金， A 是投資額， l 是單位時(shí)間投資收益率， ∣c∣ 是單位時(shí)間征收的保險(xiǎn)費(fèi)率；（2）{X，X_i，i=1，2，…} 是期望為 ?μ 的獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列， X 表示隨機(jī)保費(fèi)額，其分布函數(shù)為 R（x） ，概率密度函數(shù)為 r（x），S₁（t） 是一隨機(jī)過(guò)程，稱為隨機(jī)保費(fèi)收入過(guò)程; （3）{M（t），t?0} 是參數(shù)為 λ 的Poisson過(guò)程，表示到時(shí)刻 Φ_t 為止所收到隨機(jī)保費(fèi)的保單數(shù)； 是期望為 的獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列， Y 表示第一種險(xiǎn)種的理賠額，其分布函數(shù)為 G（x） ，概率密度函數(shù)為 g（x） ，且 G^*k（x），g^*k（x） 分別為 G（x） ，g（x） 的 k 重卷積， 是 G^*k（x） 的尾函數(shù)， S₂（t） 是一隨機(jī)過(guò)程，稱為第一種險(xiǎn)種的索賠過(guò)程； 是參數(shù)為 Φ（λ₁，ρ₁） 的Poisson-Geometric過(guò)程，表示到時(shí)刻 Φ_t 為止第一種險(xiǎn)種理賠發(fā)生的次數(shù); 是期望為 μ₂ 的獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列， Z 表示第二種險(xiǎn)種的理賠額，其分布函數(shù)為 F（x） ，概率密度函數(shù)為 f（x） ，且 F^*k（x），f^*k（x） 分別為 F（x），f（x） 的 k 重卷積， 是F^*k（x） 的尾函數(shù)， S₃（t） 是一隨機(jī)過(guò)程，稱為第二種險(xiǎn)種的索賠過(guò)程; （7）{N₂（t），t?0} 是參數(shù)為 （λ₂，ρ₂） 的Pois-son-Geometric過(guò)程，表示到時(shí)刻 χ_t 為止第二種險(xiǎn)種理賠發(fā)生的次數(shù)； 是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示不確定的付款和收入， σ 是一常數(shù)，表示付款和收入的不確定性對(duì)保險(xiǎn)公司盈余的影響程度；（9）由于各個(gè)保險(xiǎn)過(guò)程和理賠是相互獨(dú)立的，設(shè) {N₂（t），t?0} 以及 {B_ι，t?0} 是相互獨(dú)立的。

為了使模型更具有實(shí)際意義，我們假設(shè)當(dāng)保險(xiǎn)公司財(cái)政赤字時(shí)，即盈余是負(fù)的，可以允許其以利息力 δgt; 0進(jìn)行借貸并繼續(xù)經(jīng)營(yíng)其業(yè)務(wù)，保險(xiǎn)公司通過(guò)它的保費(fèi)和投資收入來(lái)償還其債務(wù)，然而當(dāng)公司的盈余低于c + IA+μ時(shí)，絕對(duì)破產(chǎn)出現(xiàn)。

混合保費(fèi)下帶借貸和投資及干擾的雙復(fù)合Poisson-Geometric模型風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，即

dU_δ（t）=（c+lA+δU_δ（t）I（U_δ（t）lt;0））dt+σdB_t+dS₁（t）-dS₂（t）-dS₃（t）U_δ（0）=u， 其中 ，I（A） 是集合 A 上的示性函數(shù)，設(shè) T_δ 表示風(fēng)險(xiǎn)模型（2）的破產(chǎn)概率， T_δ=inf{t≥0 且約定 表示模型（2）中初始資本為 u 的無(wú)限時(shí)破產(chǎn)概率，即

當(dāng)盈余處于不同水平時(shí)，破產(chǎn)概率符合不同的積分微分方程，為了研究問(wèn)題的方便，當(dāng) u?0 時(shí)，記 當(dāng) 時(shí)，記 ψ（u）=ψ_-（u）

設(shè) T 表示風(fēng)險(xiǎn)模型（1）的破產(chǎn)時(shí)刻， T=inf{t?0;U（t）lt;0};?（u） 表示風(fēng)險(xiǎn)模型（1）中初始資本為 u 的無(wú)限時(shí)破產(chǎn)概率，即 ，顯然當(dāng) u?0 時(shí)， T?T_δ，0lt;ψ₊（u）??（u）lt;1 且

由[2，8]可知，導(dǎo)致破產(chǎn)出現(xiàn)有兩種可能，一種是由于索賠引起的， ψ_s（u） 表示破產(chǎn)是由索賠引起的破產(chǎn)概率，另一種是由于擾動(dòng)引起的， ψ_d（u） 表示破產(chǎn)是由擾動(dòng)引起的破產(chǎn)概率，因此無(wú)限時(shí)破產(chǎn)概率有以下分解：

而且，

類似地，當(dāng) u?0 時(shí)，記 ψ_s+（u）=ψ_s（u），ψ_d+（u）=ψ_d（u） 當(dāng) 時(shí)，記 ψ_d-（u）=ψ_d（u）

同樣地，定義有限時(shí)所有變量 ψ（u，t），ψ_s（u，t），ψ_d（u，t），ψ_s-（u，t），ψ_s+（u，t），ψ_d-（u，t），ψ_d+（u，t）_∞=0

為了保證保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，需要假設(shè)保險(xiǎn)公司的營(yíng)收總和期望值大于支出總和期望值，由此定義安全負(fù)荷條件為：c+IA+μgt;1-pi

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè) 是二次連續(xù)可微的，當(dāng) u?0 時(shí)， 符合下面積分微分方程：

當(dāng) _c+A+λμ

邊界條件為：

其中

證明：

當(dāng) u?0 時(shí)，令 則 H（0）=u 且 dH（t）=（Al+c）dt+σdB_t° 由伊藤積分公式有

即

所以

在充分小的時(shí)間段 （0，t] 內(nèi)，考慮（2）式定義的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程 U_δ（t） 。既然 M（t） 是Poisson過(guò)程， ??N₁（t） 和 N₂（t） （20都是Poisson-Geometric過(guò)程，則在 （0，t] 有以下五種可能情況：

（1）M（t），N₁（t） 和 N₂（t） 都沒(méi)有跳躍，即隨機(jī)保費(fèi)沒(méi)有保單到達(dá)，兩類索賠也都沒(méi)有發(fā)生，其發(fā)生的概率為 （1-λt+o（t））（1-λ₁t+o（t））（1-λ₂t+o（t））

η（2）M（t） 沒(méi)有跳躍， N₁（t） 至少有一跳躍，且 N₂（t） 沒(méi)有跳躍，即隨機(jī)保費(fèi)沒(méi)有保單到達(dá)，第1類索賠至少發(fā)生k（k?1） 次，第2類索賠發(fā)生0次，其發(fā)生的概率為

（3） M（t） 和 N₁（t） 都沒(méi)有跳躍，且 N₂（t） 至少有一跳躍，其發(fā)生的概率為 （1-λt+o（t））（1-λ₁t+

η（4）M（t） 有一跳躍，且 N₁（t） 和 N₂（t） 都沒(méi)有跳躍，其發(fā)生的概率為 λt（1-λ₁t+o（t））（1-λ₂t+o（t）） （5）其它情況發(fā)生的概率為 o（t） 。

整理可得

在（7）式兩邊同時(shí)除以 Φ_t ，令 t?0 ，同時(shí)利用（6）式則有

所以（3）式成立。

當(dāng) 時(shí)，令 Y（t）=ue^δt+（lA+c）t+σB_t， 則 Y（0）=u 及 dY（t）=（uδe^δt+lA+c）dt+ σdB_t. ，由伊藤積分公式有：

整理可得

經(jīng)計(jì)算可得：

在（9）式兩邊同時(shí)除以 Φ_t ，令 t?0 ，同時(shí)利用（8）式則有（4）式成立。

在（4）式中，令u↓_c+lA+λμ ，得邊界條件（5）式中的第（2）式。

注1：當(dāng) l=0，λ=0 時(shí)，（3）式、（4）式分別退化為文獻(xiàn)[8]中的（3）式、（4）式。

定理2假設(shè) ψ_d（u） 是二次連續(xù)可微的，當(dāng) u?0 時(shí)， 符合下面積分微分方程： 當(dāng) 髙時(shí) ψ_d（u） 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中，

證明：類似于定理1。

注2：當(dāng) l=0，λ=0 時(shí)，（10）式、（11）式分別退化為文獻(xiàn)[8]中的（10）式、（11）式。

推論1在定理1和定理2的條件下，當(dāng) u?0 時(shí) ψ（u） 符合下面積分微分方程：

當(dāng) _c+A+μ

邊界條件為：

其中

證明：

ψ_i（u）+ψ_s（u）=ψ（u）ψ^′_d（u）+ψ^′_s（u）=ψ^′（u），ψ^′_d（u）+ψ^′_s（u）=ψ^′（u），

因此，根據(jù)（3）式和（10）式，得（13）式，根據(jù)（4）式和（11）式，得（14）式，根據(jù)（5）式和（12）式，得（15）式。

注3：當(dāng) l=0，λ=0 時(shí)，（13）式、（14）式及（15）式分別退化為文獻(xiàn)[8]中的（13）式、（14）式及（15）式。

定理3假設(shè) 是對(duì) u 二次連續(xù)可微的，對(duì) Φ_t 一次連續(xù)可微的.當(dāng) u?0 時(shí) ，ψ_s（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當(dāng) 氣時(shí) 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中

證明：

當(dāng) u?0 時(shí)，令 H（t）=u+（Al+c）t+σB_t ，則 H（0）=u 且 dH（Δ）=（Al+c）dΔ+σdB_Δ 由伊藤積分公式有

所以

在充分小的時(shí)間段 （0，Δ] 內(nèi)，考慮（2）式定義的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程。首先研究索賠引起的有限時(shí)破產(chǎn)概率ψ_s（u，t） ，由全概率公式并整理可得：

在（20）式兩邊同時(shí)除以 Δ ，令 Δ0 ，同時(shí)利用（19）式得（16）式.

當(dāng) 時(shí)，令 Y（t）=ue^δt+（lA+c）t+σB_t， 則 Y（0）=u 無(wú)及藍(lán) dY（Δ）=（uδe^δΔ+lA+c）dΔ （20+σdB_Δ°

由伊藤積分公式有：

經(jīng)計(jì)算可得：

在（22）式兩邊同時(shí)除以 Δ ，令 Δ0 ，同時(shí)利用（21）式得（17）式。

注4： ，當(dāng) t?∞ 時(shí)，式（16）即為（3）式、（17）式即為（4）式。

注5：當(dāng) l=0，λ=0 時(shí)，式（16）式（17）分別退化為文獻(xiàn)[8]中的式（16）式（17）。

定理4假設(shè) ψ_d（u，t） 對(duì) u 是二次連續(xù)可微的，對(duì) Φ_t 是一次連續(xù)可微的.當(dāng) u?0 時(shí)， ψ_d（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當(dāng) _c+A+λμ

（204號(hào) 邊界條件為：

其中，

證明：類似于定理3。注6： 當(dāng) t?∞ 時(shí)，式（23）即為（10）式、（24）式即為（11）式。注7：當(dāng) l=0，λ=0 時(shí)，式（23）式（24）分別退化為文獻(xiàn)[8]中的式（23）式（24）。

推論2在定理3和定理4條件下，當(dāng) u?0 時(shí) ，ψ（u，t） 符合下面偏微分積分方程：

當(dāng) 氣時(shí) ψ（u，t） 符合下面積分微分方程：

邊界條件為：

其中

證明：類似于推論1。

注8 ，當(dāng) t?∞ 時(shí)，（25）式即為（13）式、（26）式即為（14）式。

注9：當(dāng) l=0，λ=0 時(shí)，（25）式、（26）式分別退化為文獻(xiàn)[8]中的（25）式、（26）式。

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