課程背景

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確要求：通過復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)的三角形式，了解復數(shù)的代數(shù)表示與三角形式之間的關系，了解復數(shù)乘、除運算的三角形式及其幾何意義[1.依據(jù)課程標準，人教A版（2019）教材把復數(shù)的三角形式作為選學內(nèi)容放在了必修第二冊第七章第3節(jié)，主要介紹的是復數(shù)的三角形式的概念，復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義等內(nèi)容。

復數(shù)的三角形式是復數(shù)表示形式的一種重要擴展，它將復數(shù)表示為模和輻角的組合.一個復數(shù) 可以表示為 r（cosθ+isinθ） ，其中r （r?0） 是復數(shù)的模（即復平面中原點到復數(shù)對應點的距離）， θ 是輻角（即復數(shù)在復平面對應的向量與正實軸之間的夾角；若 0?θlt;2π ，則稱 θ 為復數(shù) z 的輻角主值），i是虛數(shù)單位.這種表示形式在復數(shù)分析中尤為有用，因為它簡化了復數(shù)的乘、除運算.

文獻研習

1.歷史發(fā)展與演變

復數(shù)三角形式的起源可以追溯到18世紀歐拉和棣莫弗的工作．歐拉在其數(shù)學著作中引入了復數(shù)的指數(shù)形式，為復數(shù)三角形式的發(fā)展奠定了基礎．而棣莫弗則在三角恒等式的研究中，明確提出了復數(shù)的三角形式，并為復數(shù)運算提供了簡便的方法.隨著數(shù)學和物理學的發(fā)展，復數(shù)的三角形式在多個領域得到了廣泛的應用.

2.各領域中的應用

（1）高等數(shù)學中的應用

在數(shù)學領域，復數(shù)三角形式在復分析、傅里葉分析、調(diào)和分析等分支中有著廣泛的應用．尤其是在求解微分方程與積分方程時，復數(shù)三角形式可以大大簡化計算過程．此外，當在復數(shù)平面上對復數(shù)進行幾何解釋時，復數(shù)三角形式的獨特優(yōu)勢也能充分彰顯.

（2）物理與工程中的應用復數(shù)三角形式在物理和工程領域同樣占據(jù)重要地位.以交流電路分析為例，利用復數(shù)三角形式可直觀呈現(xiàn)電壓和電流的相位關系，有效簡化電路分析過程.在量子力學中，復數(shù)三角形式用于刻畫波函數(shù)的相位與振幅.不僅如此，在信號處理、控制系統(tǒng)分析與設計等諸多工程技術領域，復數(shù)三角形式也發(fā)揮著不可或缺的作用.

（3）計算機科學中的應用

在計算機科學中，復數(shù)三角形式主要應用于數(shù)字信號處理、圖象處理、機器學習等領域.例如，在數(shù)字信號處理中，復數(shù)三角形式可以用來表示信號的頻譜特性，進而實現(xiàn)信號的濾波、調(diào)制和解調(diào)等操作；在圖象處理中，它用于描述圖象的頻域特性，以此實現(xiàn)圖象的增強、去噪和壓縮等處理；在機器學習中，復數(shù)三角形式則用于表征數(shù)據(jù)的復雜特征，從而提升模型的預測性能和泛化能力，

3.前沿研究與挑戰(zhàn)

當前，復數(shù)三角形式的研究主要集中在復分析的新方法、新應用，以及與其他數(shù)學分支的交叉研究等方面.其中，復數(shù)三角形式在復動力系統(tǒng)、分形理論和復幾何等領域的應用研究尤為活躍.然而，隨著研究的不斷深入，也面臨著一些挑戰(zhàn)，例如復數(shù)三角形式在復雜系統(tǒng)建模與分析中的應用，以及復數(shù)三角形式計算的穩(wěn)定性和精度等問題.

素養(yǎng)分析

1.數(shù)學運算

在復數(shù)乘、除運算的三角表示教學中，首先需要引導學生將復數(shù)轉化為三角形式，這一過程通常會運用三角函數(shù)的誘導公式等知識．通過這樣的教學，能夠有效鞏固和加深學生對三角函數(shù)相關知識的理解與掌握.

2.直觀想象

復數(shù)的三角形式是由模長和輻角來表示的，本身具有鮮明的幾何特征，這與復數(shù)的幾何意義一脈相承.借助復數(shù)的三角形式，不僅能夠深化學生對復數(shù)模長等概念的理解，還可以引導學生從“形\"的角度認識和研究復數(shù).

3.數(shù)學建模

在三角形式下，復數(shù)的乘、除運算有了新的表示，其幾何意義更加明晰，具體規(guī)則如下：

（1）復數(shù)的乘、除運算

若復數(shù) r₂（cosθ₂+isinθ₂），r₁gt;0，r₂gt;0，z₂≠0 ，則

（2）復數(shù)的乘方、開方運算

若復數(shù) z=r（cosθ+isinθ），rgt;0 ，則zⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）， ， · ，其中 k= 0，1，2，…，n-1.

我們不難發(fā)現(xiàn)，在三角形式下，復數(shù)的乘、除運算分別轉化成了兩個復數(shù)的模長相乘與相除、輻角相加與相減.模長的相乘與相除可以分別看作線段的伸長與縮短，輻角的相加與相減可以看作圖形的旋轉．因此，在解決涉及平面圖形的伸縮問題和旋轉問題時，我們可以考慮建立復數(shù)模型，進而利用復數(shù)的相關運算解決問題.教師要將轉化的思想貫穿于整個教學過程中，促使知識得到遷移，讓學生逐步感知并學會解決問題，從而獲得新知[2].

現(xiàn)狀調(diào)研

盡管復數(shù)的三角形式在培育學生數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)學建模素養(yǎng)方面具有積極作用，但由于該內(nèi)容在教材中屬于選學部分，且高考不會直接命制考查復數(shù)三角形式的試題，不過學生仍可利用相關知識解決問題.在高考中，復數(shù)部分試題難度普遍不高，涉及乘、除運算和乘方運算的題目難度也較小，學生大多能夠直接運用復數(shù)的代數(shù)形式進行推算.在這樣的背景下，復數(shù)的三角形式的教學現(xiàn)狀究竟如何呢？

1.調(diào)查背景

本次問卷調(diào)查旨在了解教師對普通高中數(shù)學課程中“復數(shù)的三角形式\"教學內(nèi)容的認知情況及實際教學應用情況.通過收集教師性別、教齡、職稱、所在學校區(qū)域等基本信息，以及他們對課程標準和考試要求的理解，探究教師對“復數(shù)的三角形式”教學的態(tài)度與實際操作方式.同時，通過了解教師認為該內(nèi)容對培養(yǎng)學生何種素養(yǎng)的作用，以及在教學中采用的處理方式，分析教師在課堂教學中對該內(nèi)容的重視程度和應對教學難點的情況.最終，為進一步提升數(shù)學教學質(zhì)量和學生數(shù)學素養(yǎng)提供參考與建議.

2.樣本基本情況

通過問卷星APP，共收集到328名一線高中數(shù)學教師的問卷反饋．其中，男性教師占比 64.33% ，女性教師占比 35.67% ．教師教齡分布較為均衡，教齡21年及以上的教師占比最高，達 35.06%. 從職稱分布來看，一級教師和高級教師占比較高，分別為39.33% 和 36.89% ．參與調(diào)查的教師中，大多數(shù)來自城市學校 （92.38%） ），來自鄉(xiāng)鎮(zhèn)及其他地區(qū)學校的教師占比較低.

3.基本數(shù)據(jù)分析

題1《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》對“復數(shù)的三角形式\"的要求是（ ）

數(shù)據(jù)顯示，針對“復數(shù)的三角形式\"的教學要求， 14.94% 的人認為是必學內(nèi)容， 81.71% 的人認為是選學內(nèi)容， 3.35% 的人表示不清楚．進一步分析可知，大多數(shù)人認為“復數(shù)的三角形式\"屬于選學內(nèi)容.

題2新高考中，對“復數(shù)的三角形式\"的考查要求是

數(shù)據(jù)顯示，針對“復數(shù)的三角形式\"的考查要求，選項B\"不考\"占比最高，達 50.3% ;其次是選項C“可能考”，占比 36.28% ；選項A“必考”占比 6.1% 選項D“不清楚”占比 7.32% .由此可見，“復數(shù)的三角形式\"在新高考中或許不會成為重點考查內(nèi)容.

看，您認為“復數(shù)的三角形式\"的教學能夠培育學生哪些核心素養(yǎng)？

數(shù)據(jù)顯示，選項A“數(shù)學運算”選項B“數(shù)學抽象”選項D“邏輯推理”的占比分別為 87.5% 70.43% 70.73% ，這表明大部分一線教師認為“復數(shù)的三角形式\"在培育學生數(shù)學運算、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)等方面的效果顯著．選項C“直觀想象”選項E“數(shù)據(jù)分析”選項F“數(shù)學建模\"的占比分別為 46.65%，26.52%，37.5% ，這說明“復數(shù)的三角形式\"對直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模素養(yǎng)的培育程度相對較低.選項G“沒有直接關聯(lián)\"的占比為 2.74% ，這意味著僅有少部分人認為“復數(shù)的三角形式”與學科核心素養(yǎng)無直接關聯(lián).

題4您在教學中對“復數(shù)的三角形式\"的處理方式是

在教學中，教師對“復數(shù)的三角形式\"的處理方式里，采用“簡單提及\"方式的占比最高，達 46.34% ；其次是“完整教學”，占比為 26.22% “學生自學\"和\"直接跳過\"的占比分別為10.37% 和 15.24% ，“其他處理方式\"的占比最低，僅 1.83% ，由此可見，教師處理“復數(shù)的三角形式\"時，更傾向于“簡單提及\"或“完整教學”，較少采用“學生自學\"或\"直接跳過\"的方式.

數(shù)的三角形式\"的主要原因是

數(shù)據(jù)顯示，教師在教學中不講或略講“復數(shù)的三角形式\"的主要原因集中在四個選項.其中，“高考不考查”這個選項占比最高，達 33.54% ;其次是\"教學進度緊張”，占比為 27.13% ：“學生基礎薄弱\"和“其他原因”的選擇比例分別為 19.82% 和 19.51% 由此推斷，高考考查要求與教學進度安排是影響教師對此內(nèi)容教學處理的主要因素.

題6在課時允許的情況下，您會講授\"復數(shù)的三角形式\"嗎？

數(shù)據(jù)顯示， 53.05% 的人表示一定會講授“復數(shù)的三角形式”， 43.6% 的人表示可能會講授，僅 3.35% 的人表示一定不會講授．大多數(shù)人表示會考慮講授該內(nèi)容，說明“復數(shù)的三角形式\"在課堂教學中具有一定的重要性和普及性.

教學實踐

很顯然，在復數(shù)模塊引入復數(shù)的三角形式，絕不僅僅是為了解決復數(shù)的計算問題．利用復數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi（a，b∈R） ，完全可以解決復數(shù)的四則運算、乘方以及開方問題.引入復數(shù)的三角形式，從知識層面而言，能夠簡化復數(shù)的乘、除運算和乘方、開方運算：更為重要的是從能力層面來看，它有助于學生在解決問題的過程中培養(yǎng)問題優(yōu)化意識，體會數(shù)學的簡潔美.

例題如圖7所示，已知平面內(nèi)并列的三個相等的正方形，證明： α+β+

乍一看，這是一道平面幾何題或三角函數(shù)題，似乎與復數(shù)并無太多聯(lián)系.

思路1幾何思維．將 α，β，γ 三個角“集中”到正方形EFGH中，也就是將 ?α，β，γ 拼成一個直角．易得 ∠GHF= γ ，因此只需證明∠FHP=β即可.

4.調(diào)查結論

綜上所述，教師對“復數(shù)的三角形式\"的認知普遍較為清晰.大多數(shù)教師認可其在落實學科核心素養(yǎng)與課程教學中的重要價值，但在實際教學過程中，存在選擇性教學現(xiàn)象，并涉及教學資源分配的衡考量．建議在后續(xù)教學實踐中，教師結合學科知識體系特點與學生認知水平，合理安排教學內(nèi)容，優(yōu)化教學設計，從而切實提升教學效果

解法1如圖8所示，記第三個正方形為EFGH，設其邊長為1，連接HF ，易得 .在△FHP中， 由余弦定理可得 cos∠FHP= 而 且β為銳角，則 又∠FHP也為銳角，所以 ∠FHP=β. 所以， α+β+γ=∠EHP+

思路2函數(shù)思維．易得 γ=∠BDA= ，因此，要證明 只需證明 聽

解法2由圖8可知， 所以tan（α+β）= 又 0lt;α+βlt; ，所以 所以，

思路3復數(shù)思維．引入復數(shù)，以點B為坐標原點建立復平面直角坐標系，則 α，β，γ 可以看作點 H，E，D 所對應的復數(shù)的輻角主值，從而α+β+y可以看作這三個復數(shù)的乘積的輻角主值.

解法3以點B為原點，建立復平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則復平面內(nèi)點 _{D，E，H} 所對應的復數(shù)分別為 z₁=1+i，z₂=2+i，z₃=3+i ，它們的輻角主值分別為 γ，β，α ，則 z₁z₂z₃ 的輻角主值是 α+β+γ ，因為 z₁z₂z₃=（1+ i） （2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i= ，所以

從求解問題的過程來看，解法1和解法2都運用了三角函數(shù)的相關知識.解法1主要借助余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關系式，解法2著重考查正切函數(shù)的定義以及兩角和的正切公式．這兩種解法對學生的計算能力均有一定要求.而解法3主要考查復數(shù)的幾何意義以及復數(shù)三角形式的概念，運算以復數(shù)乘法為主，難度相對較低.借助復數(shù)三角形式在乘、除運算方面的便捷性以及對應的幾何意義，使得“數(shù)\"與“形\"的轉化與結合更加密切，操作起來更加直觀簡捷[3].

教學建議

在當前高中數(shù)學教學中，復數(shù)三角形式作為選學內(nèi)容，常因高考不直接考查而被忽視.然而，這部分知識對培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新能力具有重要價值．因此，即便不作為考試重點，教師仍應適度引入和講解復數(shù)三角形式，以豐富學生的數(shù)學知識體系，提升其綜合素養(yǎng).

1.尊重學生實際，適度引入

在不增加學生學習負擔的前提下，教師可在講解復數(shù)相關知識點時，適時引入復數(shù)三角形式．例如，在探討復數(shù)的代數(shù)形式與幾何意義時，順帶介紹三角形式的特點與優(yōu)勢.對于基礎較好的學生，可進行適度拓展.學習復數(shù)三角形式，既能加深學生對復數(shù)幾何意義的理解，也能助力學生鞏固三角函數(shù)知識.若課堂教學時間有限，教師可指導學生課后自主學習相關內(nèi)容.

結語

2.創(chuàng)設應用問題，激發(fā)興趣

復數(shù)三角形式是數(shù)學領域的重要成果，凝聚著眾多數(shù)學工作者的智慧與心血，歐拉和棣莫弗便是其中的杰出代表.教師可適當講述數(shù)學家探索復數(shù)三角形式的故事，介紹其發(fā)展歷程，以及在數(shù)學、物理等領域的應用.這有助于學生體會復數(shù)三角形式的來之不易，培養(yǎng)科學精神，激發(fā)創(chuàng)新意識與能力.

設計與現(xiàn)實生活、其他學科相關的復數(shù)問題，引導學生在解決問題過程中接觸復數(shù)三角形式，直觀感受其實際應用價值與數(shù)學美.通過實際問題，讓學生體會復數(shù)三角形式在乘法運算中的便利性，以及在處理圖形伸縮、旋轉問題時的創(chuàng)新思維.當學生認識到復數(shù)三角形式的強大功能，便會更主動地投入學習.

3.滲透數(shù)學文化，拓寬眼界

復數(shù)三角形式的應用領域廣泛，其衍生出來的問題往往極具挑戰(zhàn)性解決這些問題，需要學生經(jīng)歷分析、歸納、抽象、概括等過程，從而有效鍛煉計算推理與歸納證明能力．因此，復數(shù)的三角形式成為培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)的絕佳載體[4].盡管復數(shù)三角形式并非高考直接考查內(nèi)容，但其在提升學生核心素養(yǎng)方面的重要價值不容小.教師可通過創(chuàng)新教學方法與評價機制，營造輕松愉快的學習氛圍，助力學生掌握復數(shù)三角形式，進而全方位提升其數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2」陳曉丹.淺試在道德情境場中實現(xiàn)學科育人一以“復數(shù)的三角形式”為例[J].數(shù)理化解題研究，2023（9）：32-34.

[3]王守亮．巧借復數(shù)三角形式，妙解數(shù)學綜合問題[J].中學數(shù)學，2024（5）：47-48.

[4」石城，汪曉勤.美英早期三角學教科書中的復數(shù)三角形式之若干應用[J].數(shù)學教學，2022（12）：2-7.