發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是新時(shí)代追求高質(zhì)量教學(xué)目標(biāo)的體現(xiàn)，其一般載體是學(xué)科課程內(nèi)容.學(xué)科課程擔(dān)負(fù)著發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的天職，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)必然通過發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)來實(shí)現(xiàn).1859年，英國學(xué)者斯賓塞（H.Spencer）提出了“什么知識最有價(jià)值\"的著名命題，其核心素養(yǎng)之問是“什么知識最有利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)”.學(xué)科課程的知識內(nèi)容已有高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)保障，但是找到最能發(fā)展核心素養(yǎng)的學(xué)科知識很大程度取決于教師是否能把握知識之間的橫縱向聯(lián)系、超范圍聯(lián)系、跨領(lǐng)域聯(lián)系.

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，許多教師囿于應(yīng)試教育而進(jìn)行高強(qiáng)度的刷題訓(xùn)練，而忽視了建構(gòu)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.對于有經(jīng)驗(yàn)的老師，雖然能把握住知識的聯(lián)系，但是缺乏先進(jìn)的教學(xué)理論知識，難以將知識之間的聯(lián)系很好地呈現(xiàn)在學(xué)生面前.盡管已經(jīng)有許多關(guān)于核心素養(yǎng)、學(xué)科知識方面的研究[1][2][3]，但這些研究多集中于核心素養(yǎng)和學(xué)科知識及其轉(zhuǎn)化等方面，缺乏直接探索核心素養(yǎng)與學(xué)科知識關(guān)系的研究.因此，要想最大限度發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，就要從核心素養(yǎng)的學(xué)科核心知識載體出發(fā)，研究如何從數(shù)學(xué)學(xué)科課程內(nèi)容中找到最有利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的學(xué)科知識，即學(xué)科核心知識.學(xué)科課程普遍通過學(xué)科知識，特別是學(xué)科核心知識發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)，那么，學(xué)科核心知識到底是怎樣的呢？它是如何構(gòu)成的？怎么找到它？有何意義價(jià)值？本文以“復(fù)數(shù)\"單元內(nèi)容為例，在這方面進(jìn)行初步探索.

1內(nèi)涵與構(gòu)成：學(xué)科核心知識是核心素養(yǎng)時(shí)代 最有價(jià)值的知識

核心素養(yǎng)作為教育理論和實(shí)踐領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)，是中國乃至全世界各國教育改革和發(fā)展的重要方向.它揭示了應(yīng)試教育的缺陷一過度的知識教育壓抑了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，一定程度上泯滅了學(xué)生想象力和創(chuàng)造力.不同于一般意義的“素養(yǎng)\"概念，“核心素養(yǎng)”是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.[4]

教師作為數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)時(shí)刻關(guān)注教育的整體發(fā)展，并緊緊跟隨國家政策，以數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體落實(shí)核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為學(xué)科核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)知識之間的連續(xù)性、階段性和整合性，打破傳統(tǒng)意義上的代數(shù)、幾何等學(xué)科分支，追求整合教學(xué)內(nèi)容的知識綜合化和實(shí)踐導(dǎo)向的教學(xué)模式.相較于通常的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所要求的更廣泛的教育視角，是學(xué)生在接受教育過程中，逐步形成的具備數(shù)學(xué)本質(zhì)特征而適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與必備品格.換言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不僅存在外顯能力還存在內(nèi)在思維品質(zhì)，最終潛移默化地留在學(xué)生身上.[5]

如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要.核心素養(yǎng)的養(yǎng)成離不開知識，知識學(xué)習(xí)離不開學(xué)科，需要通過學(xué)科發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)生的核心素養(yǎng)形成于學(xué)科學(xué)習(xí)之中.因此，應(yīng)通過學(xué)科課程學(xué)習(xí)學(xué)科知識從而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，“什么知識最有價(jià)值\"的核心素養(yǎng)之問是“什么知識最有利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)”.自然想到的是，學(xué)科核心知識是最利于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的知識，學(xué)科核心素養(yǎng)主要通過學(xué)科核心知識發(fā)展.學(xué)科核心知識是最能體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值的知識，是所處領(lǐng)域知識發(fā)展的中心和必經(jīng)之處.學(xué)科核心知識既包括反映所在領(lǐng)域本質(zhì)的結(jié)果性知識，也包括關(guān)鍵環(huán)節(jié)的過程性知識.

學(xué)科核心知識與學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系決定了它與學(xué)科實(shí)踐的密切關(guān)系，作為高級能力的學(xué)科核心素養(yǎng)由兩個(gè)相互聯(lián)系、內(nèi)在統(tǒng)一的核心構(gòu)成，即學(xué)科知識與學(xué)科實(shí)踐[，前者即為作為結(jié)果的學(xué)科核心知識，后者即為學(xué)生通過學(xué)習(xí)發(fā)展核心素養(yǎng)必經(jīng)且必不可少的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是學(xué)生“再認(rèn)識\"的過程，是那些對學(xué)生的發(fā)展發(fā)揮關(guān)鍵作用的、有意義的環(huán)節(jié)，是需要教師通過教學(xué)法加工進(jìn)行邏輯的、結(jié)構(gòu)的、系統(tǒng)的、有目的的建構(gòu)并在課堂教學(xué)中展開的過程.這樣的過程正是學(xué)生個(gè)體認(rèn)識應(yīng)有的過程，即學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷的學(xué)科實(shí)踐

在“復(fù)數(shù)”單元中，其學(xué)科核心知識，都與數(shù)學(xué)史和類比思想方法密切相關(guān)，這可以從教材中看出來，無論是人教版、蘇教版、北師大版的教材，都將數(shù)學(xué)史作為閱讀材料，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)的概念，可見，本單元的學(xué)科核心知識必與復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)史有關(guān).“復(fù)數(shù)\"單元的學(xué)科核心知識必與復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程及其幾何意義密切相關(guān).復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程，緊密聯(lián)系著數(shù)系擴(kuò)充史，突顯出復(fù)數(shù)概念及其運(yùn)算的重要性；復(fù)數(shù)的幾何意義，貫穿整條復(fù)數(shù)知識線，是教學(xué)過程中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，并且復(fù)數(shù)幾何意義是將“知識”與“生活\"融合的橋梁，以此提高學(xué)生在生活實(shí)踐中運(yùn)用知識的能力.因此具體到復(fù)數(shù)，其結(jié)果性知識是作為“二元數(shù)\"的復(fù)數(shù)概念及其運(yùn)算，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)重視調(diào)取相關(guān)知識經(jīng)驗(yàn)；其過程性知識是復(fù)數(shù)運(yùn)算意義的構(gòu)建和幾何意義的完善優(yōu)化，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)著眼經(jīng)歷體驗(yàn)數(shù)系擴(kuò)充和直觀解釋，不斷構(gòu)建表征以反思認(rèn)識本質(zhì)，突顯學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識的過程.由此可見，學(xué)科核心知識融合了結(jié)果性知識和過程性知識的精華，引導(dǎo)學(xué)生能夠通過有目的的活動實(shí)踐融入社會歷史實(shí)踐，形成學(xué)科核心素養(yǎng).

2方法與策略：學(xué)科核心知識的探索與確定

學(xué)科核心知識來源于發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)需求，它的確定一般經(jīng)歷發(fā)生學(xué)視角的感悟、從知識線索中找出、從教材素材中確認(rèn)的過程，它一般散落混雜于學(xué)科基礎(chǔ)知識之中.下面以“復(fù)數(shù)”單元中學(xué)科核心知識的結(jié)果性知識和過程性知識的確定為例加以說明.

2.1發(fā)生學(xué)視角的感悟

發(fā)生學(xué)視角即從知識發(fā)生學(xué)視角的感悟得出數(shù)學(xué)學(xué)科核心知識.8教學(xué)的發(fā)生學(xué)原理告訴我們，在教一個(gè)科學(xué)的分支（或一個(gè)理論，一個(gè)概念）時(shí)，應(yīng)當(dāng)讓孩子重蹈人類思維發(fā)展中的那些關(guān)鍵性步子而不應(yīng)當(dāng)讓他重蹈過去的無數(shù)個(gè)錯(cuò)誤.9發(fā)生學(xué)視角包括數(shù)學(xué)史和教育數(shù)學(xué)開發(fā)的視角，前者側(cè)重于史實(shí)發(fā)展，后者需要創(chuàng)新性開發(fā).復(fù)數(shù)的教學(xué)可以借鑒發(fā)生法教學(xué)的理念，通過追溯概念發(fā)生的源頭，厘清概念產(chǎn)生的機(jī)理，尋找其中的學(xué)科核心素養(yǎng)知識.

數(shù)學(xué)史的視角著眼于運(yùn)算.通過數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生建立完整復(fù)數(shù)概念.歷史材料的直接應(yīng)用，從數(shù)學(xué)史出發(fā)，運(yùn)用類比法生成復(fù)數(shù)的概念，同時(shí)類比負(fù)數(shù)產(chǎn)生機(jī)理完成數(shù)系的擴(kuò)充，并對其進(jìn)行分類，討論復(fù)數(shù)相等的充要條件，最后再回歸到復(fù)數(shù)的幾何意義，引出復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.并以此形成數(shù)學(xué)史中的知識發(fā)展線（如圖1）.數(shù)學(xué)史通過復(fù)數(shù)的幾何意義貫穿整條知識線，只有在這個(gè)過程中，學(xué)生才可能感受到人類歷史實(shí)踐不斷向前發(fā)展的動力和需要、才可能進(jìn)人人類歷史發(fā)展的軌道.

教育數(shù)學(xué)開發(fā)的視角.以幾何意義為線索貫穿始終，借助于 +1 與一1或旋轉(zhuǎn)180度，兩次旋轉(zhuǎn)可以清晰建立起實(shí)數(shù)的幾何意義（如圖2），然后將思路類比到虛數(shù)i.方程 x²=-1 的一個(gè)根即為 x=i ，那么一1就可以看成是 -1=i²=i×i ，幫助學(xué)生更好地理解虛數(shù)的概念及其幾何意義.[10]

總之，通過數(shù)學(xué)史的探索，引導(dǎo)學(xué)生成為推動歷史發(fā)展的主體，主動探索知識的發(fā)展歷程，從而學(xué)習(xí)到學(xué)科核心知識中的過程性知識.發(fā)生學(xué)教學(xué)使得普通的知識具有文化意蘊(yùn)，讓知識在教學(xué)中不僅滲透思想教育、道德教育，而且與能力提高、境界提升、高級情感以及正確價(jià)值觀的養(yǎng)成緊密聯(lián)系了起來.

2.2從知識線索中找出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課標(biāo)”通過方程的解來進(jìn)行引人，并通過這一章的學(xué)習(xí)發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).課標(biāo)為教材的編寫指明了方向，但各版本的教材有各自的特點(diǎn)，為了能找出適合的知識線索，可以通過對比法.利用對比的思路，分析不同教材對于知識線安排的聯(lián)系與區(qū)別（見表1）.

通過3個(gè)版本教材的對比，可清晰地理出知識線：首先，要找到所學(xué)知識是哪些，以復(fù)數(shù)為例，根據(jù)課標(biāo)中所要求的是復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的三角表示；接著，要找到與這些知識相匹配的數(shù)學(xué)史或者數(shù)學(xué)機(jī)理，與之匹配復(fù)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)史，有方程求解問題的提出、負(fù)數(shù)產(chǎn)生的機(jī)理等；最后，通過情境創(chuàng)設(shè)、類比推理等方式，將知識點(diǎn)聯(lián)系到一起.由此，最適合的知識線索應(yīng)該是北師大版本（如圖3）.

復(fù)數(shù)作為反映數(shù)學(xué)抽象性的典型內(nèi)容，其來源于數(shù)系擴(kuò)充，豐富于幾何意義.因此，可先將復(fù)數(shù)產(chǎn)生歸結(jié)為代數(shù)和幾何的雙線模式，然后融于三角中.在代數(shù)上，復(fù)數(shù)是一類重要的運(yùn)算對象，有著廣泛的運(yùn)用；在幾何上，復(fù)數(shù)形的旋轉(zhuǎn)和角的變化的重要性更是不言而喻.通過知識線索的梳理，找出復(fù)數(shù)中的學(xué)科核心知識，引導(dǎo)學(xué)生高度關(guān)注聚焦，刺激學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力，更有利于掌握學(xué)科核心知識中的結(jié)果性知識.

2.3從教材素材中確認(rèn)

教材中的知識素材即教學(xué)素材是“學(xué)科內(nèi)容\"的載體，“學(xué)科內(nèi)容”是應(yīng)用“教學(xué)素材”去教的東西.就教學(xué)素材本身而言，它是連接課標(biāo)、課外練習(xí)材料和評價(jià)學(xué)生的重要資源.教材素材的選擇具有豐富性，其呈現(xiàn)的方式也具有多樣性，同時(shí)對教師和學(xué)生都發(fā)揮著重要作用，即教材處于多種教育要素的鏈接點(diǎn)上.[11]教材素材的選取，既要考慮學(xué)生的知識基礎(chǔ)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)，又要考慮精準(zhǔn)體現(xiàn)知識的特點(diǎn).這些素材可以將理論知識應(yīng)用于實(shí)踐中，從而使學(xué)生更深人地理解所學(xué)知識.這種“做中學(xué)”的方式有助于將抽象的概念具體化，使學(xué)習(xí)更加生動和有效.素材的呈現(xiàn)形式多樣，如生活素材、問題素材、探究素材等.在“復(fù)數(shù)”單元的課程內(nèi)容中，常見以下素材形式.

素材1（問題素材）已知兩數(shù)的和為10及兩數(shù)積為40，求這兩個(gè)數(shù)（卡爾丹問題），并在數(shù)軸上畫一畫，能找出對應(yīng)的實(shí)數(shù)嗎？

素材2（練習(xí)素材）已知 2i-3 是關(guān)于 x 的方程 2x²+px+c=0 的一個(gè)根，求實(shí)數(shù) ?，q 的值，并試著探索復(fù)數(shù)系一元三次方程的求過程.

素材3（生活素材）電路分析中經(jīng)常使用交流電路，而交流電路中的電壓和電流可以表示為復(fù)數(shù)形式.通過復(fù)數(shù)的相位表示，我們可以更方便地計(jì)算電路的參數(shù)和響應(yīng).那請問復(fù)數(shù)為什么能同時(shí)表示電壓和電流呢？

素材4（問題素材）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù) Z₁= 1+i，Z₂=Z₁×i，Z₃=Z₁×i² ，它們分布對應(yīng)的向量為 如何直觀的理解 ， 之間的位置關(guān)系呢？

素材5（探究素材） 證明： ∣Z₁?Z₂∣=∣Z₁∣ · （204號 并試著探索證明 |Zⁿ|=|Z|ⁿ 比較以上素材，可得到相關(guān)線索（如圖4）.

通過上述“復(fù)數(shù)”單元中的教學(xué)素材分析，可以確認(rèn)其學(xué)科核心知識的結(jié)果性部分扎根于來源，終結(jié)于本質(zhì)，著眼于思維經(jīng)濟(jì)性問題解決的應(yīng)用；其過程性部分聚焦在復(fù)數(shù)概念內(nèi)建構(gòu)關(guān)鍵環(huán)節(jié)的精致化建構(gòu)過程.學(xué)習(xí)時(shí)通過反思認(rèn)識本質(zhì)，通過必要經(jīng)歷來源構(gòu)建表征.因此，利用教材素材教學(xué)，既可以反思知識的本質(zhì)，又可以構(gòu)建知識與生活來源之間的聯(lián)系，當(dāng)知識與學(xué)生所熟悉的生活背景和現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，學(xué)生才會從內(nèi)心深處渴望學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而形成從更高的維度俯瞰生活的能力，以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)科核心知識.

3意義與價(jià)值：學(xué)科核心知識具有促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的多元價(jià)值

學(xué)科核心知識是學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要支撐，也是學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的重要抓手，它與大概念、學(xué)科實(shí)踐、跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)等方面具有密切的關(guān)系.

第一，學(xué)科核心知識可以確定大概念.學(xué)科核心知識是可能的知識單元大概念或者形成知識單元大概念的必要基礎(chǔ).復(fù)數(shù)中的大概念是數(shù)，而數(shù)主要來自數(shù)量的抽象或圖形與圖形之間關(guān)系的抽象，復(fù)數(shù)產(chǎn)生的代數(shù)來源和幾何來源恰好說明了這一點(diǎn).

第二，學(xué)科核心知識是在現(xiàn)象學(xué)層面的有利于核心素養(yǎng)落地的重要抓手.學(xué)科核心知識是可操作化的抓手，可以作為教師教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生的學(xué)科知識應(yīng)以此為基礎(chǔ)，滾雪球式地將知識線索化、網(wǎng)絡(luò)化和體系化.

第三，學(xué)科核心知識是正確價(jià)值觀的重要載體.知識是文化的一種呈現(xiàn)形式，學(xué)科核心知識更是文化中的精華.以復(fù)數(shù)為例，復(fù)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是數(shù)學(xué)家們的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與歸納，將其作為一種優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，融入學(xué)生的價(jià)值觀培養(yǎng)中，能夠在豐富學(xué)生知識視野的同時(shí)，幫助他們樹立正確的價(jià)值觀.

第四，學(xué)科核心知識是培養(yǎng)必備品格的重要途徑.學(xué)科核心知識的學(xué)習(xí)往往伴隨著批判性思維的培養(yǎng).學(xué)生需要分析、評估信息，提出自己的見解，這有助于他們形成獨(dú)立思考、不盲目從眾的品格.學(xué)科核心知識更是跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)的邊界和是否跨出的判斷標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生能夠接觸到不同文化、不同時(shí)代的思想精華，從而培養(yǎng)開放、包容、尊重多元文化的品格.

第五，學(xué)科核心知識是發(fā)展關(guān)鍵能力的重中之重.學(xué)科核心知識是學(xué)科實(shí)踐的核心聚焦，學(xué)科實(shí)踐是新質(zhì)生產(chǎn)力賦能教育的重要途徑.學(xué)科實(shí)踐是教育、科技和人才的融匯點(diǎn).學(xué)科實(shí)踐的核心聚焦，是大概念的支撐，它在學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)鏈條上的位置是“學(xué)科核心素養(yǎng)一學(xué)科實(shí)踐一學(xué)科大概念一學(xué)科核心知識一課程內(nèi)容要求知識”.利用學(xué)科核心知識，將知識與社會生活緊密聯(lián)系，促使學(xué)生更好地適應(yīng)社會，培養(yǎng)關(guān)鍵能力.

4結(jié)語

在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中重點(diǎn)培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于對學(xué)科知識的凝練，即在教學(xué)中凝練出學(xué)科核心知識.本文以“復(fù)數(shù)”單元為例，從發(fā)生學(xué)視角、知識線索和教材素材三個(gè)角度，對學(xué)科核心知識進(jìn)行了初步探索.學(xué)科核心知識的意蘊(yùn)，在于探索出知識的本質(zhì)，幫助教師更好地教、學(xué)生更好地學(xué)，從而打造有深度、有溫度、有內(nèi)涵的數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化于心、外化于研，求是探索、知行合一.只有這樣，學(xué)生的核心素養(yǎng)才能得以更好地發(fā)展.

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