在章起始課的引導(dǎo)下，學(xué)生可以構(gòu)建起這一章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)，并對數(shù)學(xué)概念的整體構(gòu)造有初步的理解，實現(xiàn)先整體把握后深入了解的學(xué)習效果.章起始課不只是對章節(jié)內(nèi)容及對應(yīng)技能的預(yù)先呈現(xiàn)，還展現(xiàn)了思維技能的滲透與實踐經(jīng)驗的沉淀，有助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習熱情.章起始課融合數(shù)學(xué)文化，注人數(shù)學(xué)的思維方式，以此增強學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.由此可見，章起始課能夠在不知不覺中逐漸提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1注重整體設(shè)計

多年來，教師在設(shè)計數(shù)學(xué)課程時普遍以課堂時長為依據(jù)，這一做法不利于學(xué)生構(gòu)建全面的知識結(jié)構(gòu).教師過分強調(diào)知識點和技能的掌握，而對情感、態(tài)度以及價值觀的塑造疏于關(guān)注，這對于提高學(xué)生的學(xué)科能力并不是最優(yōu)選擇.章起始課從宏觀角度概括、預(yù)覽整個章節(jié)的主旨，具有引導(dǎo)和概述的特點.因此，在設(shè)計某一章節(jié)的教學(xué)時，教師必須掌握該章節(jié)的專業(yè)知識，同時具備常規(guī)的研究方法.章起始課需從單一課時設(shè)計轉(zhuǎn)向單元整體架構(gòu)，通過模塊化梳理零散知識點形成系統(tǒng)脈絡(luò)，在把握核心概念關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上構(gòu)建階梯式認知框架，以此促進學(xué)生對知識體系的完整性理解，實現(xiàn)從碎片化記憶到結(jié)構(gòu)化思維的轉(zhuǎn)變，最終達成學(xué)習效率與思維深度的同步提升.[1]

2設(shè)計要結(jié)合具體章節(jié)特征

章起始課應(yīng)展現(xiàn)章節(jié)的整體構(gòu)思，并非簡單復(fù)述章節(jié)開頭的插圖和序言內(nèi)容，也不是對知識點和思維方式的機械羅列.其核心在于幫助學(xué)生理解學(xué)習內(nèi)容的同時，把握知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.[2因此，設(shè)計每一章的章起始課時，教師應(yīng)當充分彰顯章節(jié)的獨特性，并側(cè)重與章節(jié)屬性相匹配的教學(xué)內(nèi)容，把握好教學(xué)重難點，做到條理清晰.

某些章起始課的知識點與其他章節(jié)存在緊密的關(guān)聯(lián)，在這種情況下，教師以復(fù)習先前所掌握的知識為起點，探索新課程內(nèi)容與以往學(xué)習內(nèi)容的關(guān)系，通過對比、思維拓展等方法進行章起始課的教學(xué).某些情況下，章節(jié)的結(jié)構(gòu)是基于一個核心問題來構(gòu)建的，在這種情形下，教師理應(yīng)將該問題詳細拆分成若干更小的問題，并使這些細分的問題成為各課時解答的重點.經(jīng)過對全部教材的學(xué)習和掌握，最終能夠解決章起始課所提出的主要問題.此外，部分章節(jié)是以數(shù)學(xué)的思想方法為核心展開論述，因此該章的起始課程宜聚焦思想方法，深入研究其歷史演進、變遷過程以及實際運用情況.

3教學(xué)設(shè)計應(yīng)該宜粗不宜細

章起始課的設(shè)計既要符合課程標準的教學(xué)要求，又要融入創(chuàng)新元素.其構(gòu)思應(yīng)體現(xiàn)章節(jié)的宏觀框架和深層內(nèi)涵，但在起始課中呈現(xiàn)全部內(nèi)容既不現(xiàn)實，也不合理.章起始課旨在圍繞特定課題和素材建構(gòu)探究框架，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀角度思考，把握本章的核心內(nèi)容和整體結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)習興趣，并推動后續(xù)開展深入、具體的分析.

在精心設(shè)計的章起始課中，教學(xué)安排應(yīng)當符合以下要求：覆蓋廣泛的知識領(lǐng)域，有機融入認知框架與思維方法；遵循系統(tǒng)性原則，精選教學(xué)內(nèi)容；把握知識介紹的深度，避免面面俱到；聚焦整體框架的構(gòu)建，而非細節(jié)的呈現(xiàn).在章起始課教學(xué)過程中，過度的細節(jié)只會成為累贅，妨礙學(xué)生將注意力集中在總體理解上.靈活性和適應(yīng)性是設(shè)計教育方案的重要原則，教師應(yīng)當根據(jù)實際情況進行針對性設(shè)計，而非機械套用固定模式

4設(shè)計要符合學(xué)生認知邏輯

數(shù)學(xué)涉及邏輯思維，因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)強調(diào)邏輯推理.教材編寫專家依據(jù)課程標準構(gòu)建內(nèi)容體系，在確保符合學(xué)生認知特點與思維規(guī)律的基礎(chǔ)上，充分考慮其知識基礎(chǔ)、能力水平及實踐經(jīng)驗，使編纂的學(xué)習材料既體現(xiàn)編者的專業(yè)深度，又符合學(xué)習者的認知發(fā)展規(guī)律.但在實踐中，有時雖遵循了知識本身的邏輯序列，卻未能充分適應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展特點.因此，在具體的教學(xué)活動中，教師面對特定課程內(nèi)容時，完全可以在遵循課程標準的基礎(chǔ)上，依據(jù)知識點之間的邏輯關(guān)系以及學(xué)生思維的邏輯性，對教材內(nèi)容進行重新構(gòu)建，靈活地調(diào)整教學(xué)順序，妥善安排教學(xué)知識的深淺程度，確保教學(xué)中相關(guān)知識點的前后邏輯連貫，契合教育教學(xué)的內(nèi)在邏輯，并在此過程中顯現(xiàn)教師個人的教學(xué)方法和獨到之處.教師必須兼顧學(xué)科知識的邏輯體系與學(xué)生認知的邏輯規(guī)律，才能實現(xiàn)優(yōu)質(zhì)的教學(xué)效果.需要特別強調(diào)的是，這種教學(xué)理念并非賦予教師隨意發(fā)揮的自由，而是要求教師謹慎選擇單元教學(xué)的切入點，根據(jù)學(xué)生的認知特點對知識進行適應(yīng)性轉(zhuǎn)化.

5教學(xué)設(shè)計應(yīng)注重學(xué)生的發(fā)展

教師在設(shè)計章起始課時不應(yīng)局限于指導(dǎo)學(xué)生掌握特定的知識點，而應(yīng)注重如何培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，使其能獨立運用所學(xué)知識進行學(xué)習和問題的解決.同時，著重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習能力，引導(dǎo)其將所學(xué)知識遷移應(yīng)用于實際問題的解決.學(xué)生在學(xué)習時不應(yīng)僅是簡單地記住知識，而應(yīng)深人地理解數(shù)學(xué)的思維邏輯，這樣才能為他們的成長奠定發(fā)展基礎(chǔ).“教是為了不教”，章起始課亦承載著同等重要的責任，其教學(xué)目標不應(yīng)局限于教師將教材內(nèi)的知識點、技能及經(jīng)驗直接講授給學(xué)生，而是致力于培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習了這些教學(xué)內(nèi)容后，能夠自行掌握學(xué)習的技能與經(jīng)驗，實現(xiàn)自我驅(qū)動的終身學(xué)習.因此，章起始課應(yīng)充分發(fā)揮其關(guān)鍵作用，幫助學(xué)生構(gòu)筑知識體系、發(fā)展技能并完善思維方式.

6案例研究

接下來以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》中“圓錐曲線的方程\"為例，探討策劃章起始課的方法.圓錐曲線作為平面解析幾何的核心內(nèi)容，具有以下三個重要特征：知識體系的高度關(guān)聯(lián)性、集中體現(xiàn)了坐標法這一通用思維方法、研究方法在本章節(jié)具有普適性.坐標系作為幾何與代數(shù)相互關(guān)聯(lián)的核心內(nèi)容，融合著幾何與代數(shù)的思維方式.雖然學(xué)生在前期課程中已經(jīng)學(xué)習了直線與圓的相關(guān)知識，并初步認識到坐標系是探究幾何問題的基本工具，但對坐標方法的認知仍較為淺顯.而圓錐曲線的學(xué)習不僅能更深人地展現(xiàn)坐標法的核心應(yīng)用價值，凸顯其在數(shù)形結(jié)合中的關(guān)鍵作用，更能為學(xué)生后續(xù)的幾何學(xué)習奠定重要的認知基礎(chǔ)

6.1創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

情境1：杰尼西亞之耳.

相傳，意大利西西里島中部的一個巖洞曾是暴君杰尼西亞關(guān)押罪犯的地方.被囚禁于此的犯人多次謀劃越獄，但每次都被守衛(wèi)發(fā)現(xiàn).起初，囚犯們懷疑內(nèi)部出現(xiàn)了叛徒，卻始終未能找出告密者.經(jīng)過深入調(diào)查，他們終于明白并非有人背叛.原來，這個特殊囚室的構(gòu)造呈橢圓形，囚犯們恰好被關(guān)押在一個焦點附近，而守衛(wèi)則駐守在對應(yīng)的另一個焦點處.這種獨特的設(shè)計使得囚犯們的對話能夠通過橢圓形的聲學(xué)特性被守衛(wèi)清晰聽到.因此，這座地牢被稱為“杰尼西亞之耳”那么什么是橢圓？什么是橢圓的焦點？為什么橢圓具有這樣的性質(zhì)呢？今日我們將探討圓錐曲線中的橢圓，了解其幾何特性，并探究如何應(yīng)用數(shù)學(xué)技能對其進行分析.

【設(shè)計意圖】學(xué)生此前已掌握關(guān)于直線的方程、圓的方程等相關(guān)知識.本次教學(xué)的核心在于探索如何展現(xiàn)新課程內(nèi)容的創(chuàng)新性，進而激發(fā)學(xué)生學(xué)習的熱情.通過構(gòu)建一個具有吸引力的故事情境，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而引領(lǐng)他們進人學(xué)習主題.教師在學(xué)生深入探索該傳說時，闡述了本次課程的教學(xué)目標.

情境2：生活中的圓錐曲線.

在現(xiàn)實生活中，我們可以觀察到許多圓錐曲線的具體實例，如衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的軌道、籃球投射時在空中劃出的軌跡，以及冷卻塔特有的截面形狀，那么這些曲線有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

雖然學(xué)生能夠準確識別橢圓和拋物線的圖形特征，但對雙曲線的視覺辨識可能稍顯不足，這些曲線在日常生活、工業(yè)制造及學(xué)術(shù)研究等各個領(lǐng)域都發(fā)揮著不可替代的重要作用，因此被統(tǒng)稱為圓錐曲線.在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這些曲線為何被歸為同一類別表現(xiàn)出強烈的求知欲.基于此，本節(jié)課將首先探討“圓錐曲線\"這一統(tǒng)稱的由來及其數(shù)學(xué)本質(zhì).

【設(shè)計意圖借助生動的實例展現(xiàn)圓錐曲線在日常生活中的普遍存在，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與日常息息相關(guān)，進而激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的學(xué)習興趣，

6.2追溯歷史，了解起源

探究1：平面截圓錐，

兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)大師阿波羅尼奧斯（Apollonius）在探究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)平面截取圓錐體的角度，可以生成多種不同的曲線圖形.當平面通過圓錐的尖端時，可獲得一個單點、一條線段或是兩根相交線段；當平面與圓錐體的中心線垂直時，截得的形狀則是圓形.那么，若進一步調(diào)整平面與圓錐體之間的相對位置，我們還能截得哪些其他類型的曲線呢？

在學(xué)生的自主探索過程中，教師通過視頻講解和動態(tài)幾何軟件的直觀演示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當平面和圓錐體中心線的夾角發(fā)生變化時，所截得的形狀也會隨之改變.其中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種特殊的曲線形態(tài)尤為引人注目一它們都是平面與圓錐面相交所產(chǎn)生的幾何圖形，因此統(tǒng)為圓錐曲線（如圖1）.

曲線特性，其著作《圓錐曲線論》幾乎窮盡了圓錐曲線的所有幾何性質(zhì)，這一成就使得相關(guān)研究停滯兩千年之久.直到1822年，比利時數(shù)學(xué)家丹德林（Dandelin）提出創(chuàng)新性方法—運用兩個同時與圓錐面和截面相切的球體（Dandelin球）來分析圓錐曲線特性.他通過圓錐直接推導(dǎo)出曲線軌跡概念，從而證明了截面定義與軌跡定義的等價性，

接下來，通過實驗探索，從三維空間中橢圓的基本性質(zhì)出發(fā)，過渡到其二維空間的路徑性描述，并構(gòu)建了二者之間的橋梁.具體研究過程如下.

如圖2，在錐體的截面上下兩側(cè)各置入一個球體B（O₁） 和 B（O₂） ，它們既與錐面也與截面接觸，分別以 F₁，F(xiàn)₂ 標記接觸點.在圓錐面和截面相交線上隨意選取點 M ，連接 MF₁₁MF₂ ，繪制穿過點 M 的圓錐母線，此線與球體 B（O₁） 相交于點 P ，與球體 B（O₂） ）相交于點 Q

（1）MF₁，MP 與小球有怎樣的位置關(guān)系？（2）MF₁ 與 MP 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）PQ 長度是否為定值？（4）MF₁ 與 MF₂ 有怎樣的關(guān)系？

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過觀察、推理和實踐等多種學(xué)習方式，經(jīng)歷了從具體到抽象的認知過程.這種將直觀體驗與邏輯推理相結(jié)合的學(xué)習方式，幫助學(xué)生深入理解了圓錐曲線的截面形成原理.在此過程中，教師適時引入圓錐曲線的數(shù)學(xué)定義，為后續(xù)課程內(nèi)容作好了鋪墊.

探究2：探究圓錐曲線.

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，圓錐曲線研究經(jīng)歷了重要突破：阿波羅尼奧斯采用純幾何方法系統(tǒng)研究了圓錐

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，核心環(huán)節(jié)之一是闡述數(shù)學(xué)知識的演進歷程.這一歷程既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科自身的發(fā)展軌跡（包括研究課題與研究方法的演變），也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)對社會生活的深遠影響及其在人類文化發(fā)展中的重要作用.采用這樣的教學(xué)方式，不僅能有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習興趣，更能引導(dǎo)他們切身感受數(shù)學(xué)的獨特魅力，進而深入探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)探究活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生基于前人的研究，通過深入研討丹德林雙球模型來探索橢圓的幾何特性，共同體驗數(shù)學(xué)實踐探索的過程.在建立這一基本認知后，師生將進一步借助丹德林球體實驗，系統(tǒng)研究雙曲線和拋物線的形態(tài)特征；通過對比分析，深刻理解這三種圓錐曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，從而真切領(lǐng)略圓錐曲線理論所展現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美.

6.3比舊悟新，提煉方法

探究3：研究圓錐曲線的方法.

教師先簡要介紹解析幾何的基本概念，幫助學(xué)生理解其數(shù)學(xué)原理和實際應(yīng)用價值；然后借助學(xué)生對“圓的方程\"的掌握，指導(dǎo)他們運用“坐標法\"這一核心工具來系統(tǒng)研究圓錐曲線的性質(zhì)與特征.

教師讓學(xué)生思考采取何種方法去研究圓錐曲線，并回想一下對直線和圓的探究過程.接下來，指導(dǎo)學(xué)生類比直線與圓學(xué)習圓錐曲線，促使他們采用坐標系的方式來掌握新知識.在此過程中，學(xué)生完成表1.

此時可以提問學(xué)生以下問題

（1）為何偏向于采用代數(shù)手段探究圓錐曲線的性質(zhì)？（2）使用純幾何方法來探究圓錐曲線存在哪些缺陷？（3）借鑒直線和圓的公式推理，思考如何運用壘標法來求解圓錐曲線的公式.

通過對以上問題的探究，得到求曲線方程的一般步驟： ① 建系.建立合適的直角坐標系. ② 設(shè)點.設(shè)曲線上任意一點為 （x，y） ·③ 列式.按照曲線上的點符合的數(shù)值關(guān)聯(lián)性，構(gòu)建關(guān)系式，然后求解未知數(shù).④ 建立方程.使用坐標 （x，y） 來描述這個關(guān)系式.⑤ 證實.方程的解的坐標是否與曲線上的每個點都相匹配.

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descartes）主張通過坐標系，把曲線的幾何屬性進行代數(shù)表示，從而在幾何曲線和代數(shù)公式之間構(gòu)建聯(lián)系，并利用這些聯(lián)系來探討圓錐曲線的屬性和相關(guān)問題.在這個過程里，學(xué)生能夠掌握坐標化的研究技巧，深入理解數(shù)形結(jié)合的核心思想.其中，“構(gòu)建曲線方程\"和\"通過曲線方程來探索曲線的特性\"這兩個主要問題的解決都依賴于坐標系和圖象的融合.

【設(shè)計意圖】借助教材的縱向鏈接，激勵學(xué)生運用所掌握的知識去應(yīng)對新的挑戰(zhàn)，

7結(jié)語

設(shè)計章起始課的目的在于闡述這一部分應(yīng)該學(xué)習哪些內(nèi)容、學(xué)習原因以及如何學(xué)習.章起始課具有內(nèi)容豐富、隱含價值高、思維引導(dǎo)性強等特點，能夠系統(tǒng)總結(jié)學(xué)習的核心內(nèi)容、指導(dǎo)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化等內(nèi)容.隨著時代的發(fā)展，與時俱進的章起始課將在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識方面發(fā)揮重要作用.

參考文獻

[1]董冠華.高中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)實踐研究[J].求知導(dǎo)刊，2024（34）：35-37.

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