追本溯源，認識主從動關系

如圖1， A 為平面內一定點，連接AQ，AP，∠QAP =α且AP （ kgt;0 ）當點 Q 是直線 l₁ 上一個動點時，點 P 的軌跡為一條直線；當點 Q 在圓 O₁ 上運動時，點 P 的軌跡是一個圓.

分析如圖1，當點 Q 在直線 l₁ 上時，可理解為將線段AQ繞點A順時針旋轉 ∝ 并放縮為原來的 k 倍得到線段 AP ，過點 A 作 AM⊥l₁ ，將AM進行相同的操作可得 AN ，點 M 為定點，點 N 同樣為定點，易證 AMQ～ ANP ，得到點 P 的軌跡直線 l₂ ，且∠1=∠QAP=α ；如圖2，當點 Q 在圓 O₁ 上運動時，只需連接 AO₁ ，將線段 AO₁ 繞點A順時針旋轉 ∝ 并放縮為原來的 k 倍得到線段 AO₂ ，易證 且相似比為 1：k ，故點 P 的軌跡為圓 O₁ 且 r₂=kr₁

從一般結論到特殊圖形，不斷優(yōu)化思路

（一）幾何背景下的應用

1.題目呈現(xiàn)

如圖3， ΔABC 和 ΔCEF 都是等腰直角三角形，其中 ∠BAC= ∠ECF=90^° ， AB=AC ， CE=CF ，點 G 是 AC 的中點，且 B ， G ， F 三點在一條直線上．點 E 在ABC外部時，點 P 是線段 BF 上的一點，連接 AP EP ，若 BG=10 ， FG=13 ， ΔBAG 的面積為20，求當 AP+EP 最小時，AP+EP 的值.

2.優(yōu)化路徑

常規(guī)思路如圖4，輔助線作法：在 _GF 上取點 H 使 GH=BG ，連接CH， AH ，延長 EA 交 BF 于點M.先證明四邊形ABCH為平行四邊形，由ΔCEF 為等腰直角三角形，考慮旋轉全等，易證ACEHCF（SAS），由線段的數(shù)量關系得到核心線段長 AE= HF=GF-GH=GF-BG=13-10=3 通過導角可證 EM⊥BF ，最后由 得到 ，因此 AP+EP=4+ 7=11 ：

優(yōu)化分析本題的難點在于猜想并證明 EA⊥BF ，若能預判 EA 與BF 的位置關系，則可將問題迅速轉化為求 AM 的長度，從而極大地簡化了問題的難度，但是這一步極具思維跳躍性.由于 ΔABC 形狀固定， BG=10 ，可解得 ΔABC 的邊長.點 G 是 AC 的中點，射線BG是定線，此時將點 F 看作 BG 延長線上的動點，則可由主從動關系得到點E 的運動狀態(tài)，如圖5，描述了點 F 在 BG 延長線上不同位置時點 E 的軌跡.當 GF=BG 時，點 E 與點A重合，如圖6，由 CE ， CF 的夾角是90^° ，可得 EA 與 BF 的夾角也是 90^° ，從而完成優(yōu)化.

解后反思完成思維的跳躍需化靜為動，化固定為運動.本題中GF長度已經(jīng)固定，顯然是一種特殊情況.從特殊到一般，是模型思想的體現(xiàn)，也是動態(tài)思維處理靜態(tài)問題的體現(xiàn).在解題過程中切忌為了解題而解題，要養(yǎng)成以關聯(lián)知識與結構去刻畫圖形結構的習慣，以不斷加深對圖形的理解.緊緊抓住圖形細節(jié)，通過推理找到最優(yōu)的解題路徑.

（二）一次函數(shù)背景下的應用

1.題目呈現(xiàn)

如圖7，直線 l₁ y=-x-3 與 x （204號軸交于點 A ，直線 l₂ 與 x 軸交于點 B ，直線 l₁ ， l₂ 交于點C.點 E 的坐標為（-2，0），將直線 l₁ 繞點 c 逆時針旋轉，使旋轉后的直線 l₃ 剛好經(jīng)過點 E ，過點 C 作平行于x 軸的直線 l₄ ，點M， N 分別為直線l₃ ， l₄ 上的兩個動點.是否存在點 M N ，能使 ΔBMN 成為以M點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請寫出 N 點的坐標；若不存在，也請說明理由.

2.優(yōu)化路徑

常規(guī)思路 先求出直線 l₃ 的表 達式： 進而由已知作 ， 圖，據(jù)圖列出方程組.

情形一如圖8，當點M在直線l₄ 的上方時，設點 ，點

點B（4，0），

過點 N ， B 分別作 y 軸的平行線，與過

點M作 x 軸的平行線分別交于點 R /

s ，由K型全等，可得方程組 （20 （20

解得 故點 N 的坐標為，

（-16，-4）.

情形二如圖9，當點 M 在 l₄ 的下方時，過點 M 作PQ//x軸，與過點 B 作 y 軸的平行線交于點 Q ，與過點 N 作y 軸的平行線交于點 P ，同情形一的方法可得 即：點N的坐標為 4或（-16，-4）.

優(yōu)化分析本題中，點M， N 的位置在不斷變化， ∠MNB= ∠MBN=45^° ，且 .因此，可考慮關聯(lián)主從動關系，此時將點 N 的運動范圍擴大為平面.為保證完備性，將點 M

B， N 分別按順逆時針排布，點 N 的坐標在不同的旋轉排布下表示唯一.由主從動關系的運動規(guī)律，移動點M，可以得到點 N 的運動軌跡，如圖10、圖11.點 M 的運動軌跡為直線，點 N 的運動軌跡也為直線，其中點 N 的軌跡與 l₄ 的交點即為本題所求的點 N.

情形一如圖10，當點M，B， N

順時針排布時，設點

點B（4，0），

點 N 的橫縱坐標分別為 ，由K

型全等，可得方程組 解得 此時，點 N 的橫縱坐標均由 m

表示，分析代數(shù)結構可知，此為直線的參數(shù)方程，點 N 的軌跡方程為 ， 聯(lián)立 與 l₄ y=-4 可得 x_N=-16 ，N₁（-16，-4）.

情形二如圖11，當點M， B ，N 逆時針排布時，設點 點 B （4，0），點 N 的橫縱坐標分別為 ，同情形一的解法，可得

解后反思本題的常規(guī)思路是找圖、用圖、解圖，需根據(jù)具體圖形找到突破口，但構圖不易.而優(yōu)化后的思路只需依據(jù)順逆時針的排布進行分類，用主動點坐標表示從動點坐標求解即可.此方法從數(shù)與形兩個方面同時描述了從動點的運動狀態(tài)，在研究中則需時常關注數(shù)形關聯(lián)情況.

結束語

研究幾何模型的基本結構、基本性質是理解幾何模型的關鍵.學生只有充分理解模型后，才能在解題中不斷地增強模型意識，提高建模能力.上述題目優(yōu)化的核心是尋模、構模、用模.在優(yōu)化路徑時跳出題目本身來建立模型，才會對特定結構產(chǎn)生新的認知.

本例是一道以一次函數(shù)為背景的題目，在優(yōu)化過程中，數(shù)形之間關聯(lián)性較強，可由主從動關系發(fā)現(xiàn)點 N 的運動軌跡是直線，也可由關于點N的參數(shù)方程得出這個結論.數(shù)的不同表現(xiàn)形式往往會對應不同的形，反之亦然，數(shù)形相互關聯(lián)、相互理解，動與靜的相互交融、相互刻畫，可以產(chǎn)生對模型本質最深刻的理解.