例1如圖1所示，在菱形 ABCD 中，連接 BD ，點(diǎn) M 是線段 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但不含 B 點(diǎn)，連接AM ，其中 的最小值為

解析首要依據(jù)菱形的性質(zhì)確定各角角度，分別過(guò)點(diǎn) M，A 作垂直于BC的輔助線 ME 和 AF 后，可得到直角三角形.利用直角三角形的性質(zhì)，并結(jié)合三角關(guān)系，確定 AM+ME 的最小值條件，可對(duì)AM 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，此時(shí)點(diǎn) E 與點(diǎn) F 重合，可得出三點(diǎn)共線的結(jié)果.

如圖2所示，過(guò)點(diǎn) A 作 AF⊥BC 交 BC 于點(diǎn) F . 過(guò)點(diǎn) M 作 ME⊥BC 交 BC 于點(diǎn) E ，

因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，且 ∠ABC=60^° 所以 ∠ABD=∠CBD=30^°

在 RtΔABE 中，可得

則 +ME ，

因此，當(dāng) A，M，E 三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值，即 AF 垂直于 BC 的情況，

在 RtΔABF 中，由三角函數(shù)可得出：

因此可直接得到結(jié)果， 的最小值為

點(diǎn)評(píng)本題是較為直觀的，可以使用“胡不歸”定理解決的類型.需要結(jié)合菱形的性質(zhì)、作輔助線，以及直角三角形的性質(zhì)等進(jìn)行分析解題.集齊全部條件后，通過(guò)觀察題目要求;求 的最小值，再對(duì)該式子進(jìn)行轉(zhuǎn)換，找到當(dāng) δ_A，M，E 三點(diǎn)共線時(shí)的結(jié)果，即可求得最小值.

例2如圖3所示，在 ΔABC 中，邊 AC 上有一個(gè)移動(dòng)的點(diǎn) P ，其中 ∠ACB=90^° ∠ABC=60^° AB=10 ，試求出 的最小值.

解析本題注重考查如何將不在同一直線上的線段替換到同一直線上，通過(guò)作一條輔助線，結(jié)合三角函數(shù)可得未知的邊長(zhǎng)，接著對(duì) 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可知 B，P，D 三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.

如圖4所示，在邊 AC 下方作一條射線 AM ，使得 ∠CAM=45^° ，過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥AM 交 AM 于點(diǎn)D ，過(guò)點(diǎn) B 作 BE⊥AM 交 AM 于點(diǎn) E ，其中 BE 交AC 于點(diǎn) N ：

在 RtΔABC 中，已知 ∠ACB=90^°，AB=10 ∠ABC=60^°， 所以可由三角函數(shù)得， 因?yàn)?BE⊥AM 所以 ∠AEB=90^° 已知 ∠CAM=45^° 則 ∠EAN=45^° 因此 ∠ENA=90^°-45^°=45^° 由兩直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等可得 ∠BNC=

∠NBC=45^° 所以 CN=BC=5 ， 由三角函數(shù)得： 因此 因?yàn)?PD⊥AM ，所以 ∠PDA=90^° 則 所以 因此，當(dāng) B，P，D 三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.即 所以 的最小值為

點(diǎn)評(píng)觀察本題，可發(fā)現(xiàn)題目含有會(huì)移動(dòng)的點(diǎn)P ，要求 的最小值，需要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí).在作輔助線后，可通過(guò)轉(zhuǎn)換 ，找到當(dāng) B，P，D 三點(diǎn)共線時(shí) 的最小值，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

結(jié)語(yǔ)

“胡不歸”問(wèn)題是中考?jí)狠S的?？碱}，在最值問(wèn)題中，解題關(guān)鍵就是構(gòu)造一條線段，將“ PA+kPB ”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“ PA+PC ”型.需要注意的是，這里的 PB 必須是一條方向不變的線段，以及動(dòng)點(diǎn) P 是在一條直線上運(yùn)動(dòng)的，這樣才能構(gòu)造定角，從而利用三角函數(shù)得到與 kPB 等量代換的線段，進(jìn)而解決該類最值問(wèn)題.