中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0031-06

一、問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次提出義務(wù)教育階段要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與高階思維密切相關(guān)．核心素養(yǎng)是個體在長期的學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的關(guān)鍵能力和品格特質(zhì)，它不僅包括知識技能，更強調(diào)跨學(xué)科理解和應(yīng)用能力、創(chuàng)新思維、批判性思考，以及解決問題的能力．有研究者指出，初中數(shù)學(xué)高階思維是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中為完成教師所提出的學(xué)習(xí)要求所表現(xiàn)出來的高水平心智活動，突出表現(xiàn)為策略型思維、批判型思維、創(chuàng)新型思維．其中，策略型思維具有抽象性、多樣性、擇優(yōu)性和遷移性的特點，批判型思維具有質(zhì)疑性、解構(gòu)性、辯證性和建構(gòu)性的特點，創(chuàng)新型思維具有拓展性、發(fā)散性和創(chuàng)造性的特點.

數(shù)學(xué)高階思維的培養(yǎng)是一個社會性建構(gòu)的過程，需要通過互動，激發(fā)多元主體之間的相互啟發(fā)和批判性接納不同觀點的能力．20世紀(jì)90年代，美國伊利諾伊大學(xué)兒童閱讀研究中心提出的合作推理式學(xué)習(xí)，目前被廣泛應(yīng)用在美國的小學(xué)課堂上.這一學(xué)習(xí)方式在提高兒童的語言表達、批判型思維、因果推理、決策能力、知識遷移等方面具有顯著效果．合作推理為大家提供了批判性地評價對方和展現(xiàn)自己的想法或觀點的機會．合作推理不是簡單的合作，而是體現(xiàn)了思維的社會建構(gòu)性特征．在合作推理式學(xué)習(xí)中，學(xué)生始終圍繞整體目標(biāo)，在超越自己真實認知水平的情境中，在自己已有經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)上與他人進行合作分析、推理，進而得出結(jié)論，解決問題．合作推理式學(xué)習(xí)有別于簡單的技巧性合作學(xué)習(xí)和單純的小組合作討論學(xué)習(xí)，強調(diào)圍繞具有挑戰(zhàn)性、開放性的問題，與他人在自己已有經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)上進行合情推理，共同建構(gòu)知識.其本質(zhì)是具有社會性建構(gòu)特征的思維活動，其核心是提升創(chuàng)造性思維能力和復(fù)雜交往能力，

二、合作推理式學(xué)習(xí)的作用

推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵能力和必備品質(zhì)，然而，初中數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生的推理過程存在不嚴謹、不完整等問題．筆者認為，合作推理式學(xué)習(xí)有助于解決這些問題．首先，合作推理式學(xué)習(xí)注重啟發(fā).教師從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗和思維水平出發(fā)，創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)情境，啟迪學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考．其次，合作推理式學(xué)習(xí)注重互動.師生、生生在思維碰撞、啟發(fā)和接力中尋找答案，在合理質(zhì)疑和反思的過程中促進問題的解決和知識的掌握．最后，合作推理式學(xué)習(xí)注重探究．合作推理式學(xué)習(xí)是通過提出問題、合作討論，以及反思和總結(jié)等步驟來完成探究的，這一學(xué)習(xí)方式有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力，促進知識的積累和理解．

以“特殊的平行四邊形”一課為例，探索如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計并實施合作推理式學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的高階思維.

三、合作推理式學(xué)習(xí)的案例設(shè)計與實施

1.案例背景

特殊的平行四邊形是滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》八年級第二學(xué)期第二十二章第二節(jié)“平行四邊形”中的內(nèi)容．本節(jié)課中，學(xué)生將經(jīng)歷從一般到特殊、從具體到抽象的學(xué)習(xí)過程，理解矩形、菱形的概念，探究矩形、菱形兩類特殊平行四邊形的性質(zhì)并進行簡單應(yīng)用.

在傳統(tǒng)的概念教學(xué)中，教師通常會以直接講授的方式給出矩形、菱形的性質(zhì)．但實踐發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生只是單純地記憶矩形、菱形所特有的性質(zhì)，不能對其靈活應(yīng)用．本節(jié)課采用合作推理式學(xué)習(xí)方式，通過將不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生組成小組實現(xiàn)組內(nèi)異質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷合情推理及演繹推理等過程，促進學(xué)生自身的深層理解、語言表達、論證推理、問題解決和知識遷移等高階思維能力的發(fā)展.

2.教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課包括“理解情境，引入主題”“回顧梳理，提出猜想”“小組合作，性質(zhì)論證”“簡單應(yīng)用，性質(zhì)鞏固”“師生小結(jié)，反思深化”“分層作業(yè)，能力提高”六個環(huán)節(jié)．在前三個環(huán)節(jié)中設(shè)置了兩個合作推理式學(xué)習(xí)任務(wù)．具體如下.

合作推理任務(wù)1：類比跨單元學(xué)習(xí)歷程，掌握矩形、菱形的定義.

在“理解情境，引入主題”環(huán)節(jié)，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的學(xué)習(xí)歷程，猜測四邊形的學(xué)習(xí)歷程，并在共同研討、相互啟發(fā)、交流碰撞中，從復(fù)雜多樣的觀點中逐步概括得到矩形、菱形的概念.

問題1：將一般三角形的邊特殊化，可以得到什么圖形？將角特殊化呢？將邊和角同時特殊化，可以得到什么圖形？

問題2：類比三角形的學(xué)習(xí)歷程，將平行四邊形的角特殊化可以得到什么圖形？將邊特殊化呢？將它的邊和角同時特殊化又能得到什么圖形？試結(jié)合小學(xué)期間已學(xué)的四邊形進行思考，嘗試歸納矩形、菱形的概念.

概念的形成是一個抽象、概括的過程，需要學(xué)生在已有經(jīng)驗和新情境的基礎(chǔ)上進行提煉、總結(jié)．通過問題1，學(xué)生可以回憶、總結(jié)三角形的學(xué)習(xí)歷程（如圖1），體驗問題研究的過程.通過問題2進行類比式推理，逐步得到矩形和菱形的概念（如圖2）.問題鏈設(shè)計的適切性和合理性，為學(xué)生合作推理討論奠定了基礎(chǔ).

圖1

圖2

合作推理任務(wù)2：從邊、角、對角線、對稱性四個方面探究矩形和菱形的性質(zhì).

在“回顧梳理，提出猜想”環(huán)節(jié)，教師提出問題3和問題4，并借助微視頻和學(xué)習(xí)單引導(dǎo)學(xué)生從邊、角、對角線、對稱性四個方面進行探究．在“小組合作，性質(zhì)論證”環(huán)節(jié)，類比平行四邊形的學(xué)習(xí)脈絡(luò)和性質(zhì)學(xué)習(xí)的過程，探究矩形和菱形的性質(zhì)，并構(gòu)建了如圖3所示的框架體系.

圖3

問題3：平行四邊形的學(xué)習(xí)脈絡(luò)是什么？

問題4：我們是從哪幾個維度學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)的，分別具有哪些性質(zhì)？你覺得該如何探究矩形、菱形的性質(zhì)？

由于初中生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)思維能力和對數(shù)學(xué)知識的理解，但從抽象思維到具體思維的過渡仍然存在問題，因此，在這個任務(wù)中設(shè)置了如下三個活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想一論證推理一形成觀點一小組匯報一引導(dǎo)反思”的過程.通過異質(zhì)組合作討論，學(xué)生逐步完成任務(wù)探究，最終得出結(jié)論.

活動1：矩形、菱形性質(zhì)的猜想，活動1包括如下兩個步驟.

步驟1：從邊、角、對角線、對稱性四個維度出發(fā)，猜想矩形和菱形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有什么性質(zhì)（小組討論）.

步驟2：填寫如表1所示的學(xué)習(xí)單.

表1

活動2：觀看視頻，回顧、感悟平行四邊形性質(zhì) 論證的具體過程.

八年級學(xué)生雖然已經(jīng)有了豐富的圖形研究活動經(jīng)驗，但圖形研究的基本框架還不夠成熟．對于如何開展矩形、菱形性質(zhì)的研究，學(xué)生往往缺乏具體的研究路徑和方向．因此，在活動2中，教師以微視頻形式展示研究問題的基本途徑，為學(xué)生提供研究范例，引導(dǎo)學(xué)生回顧和復(fù)習(xí)平行四邊形的研究路徑（定義一性質(zhì)一判定一應(yīng)用），整理和梳理平行四邊形性質(zhì)的探究步驟（猜測—論證一總結(jié)）.通過這種方式，學(xué)生能夠更好地理解研究問題的方法和過程，以便于后續(xù)能順利過渡到矩形和菱形性質(zhì)的猜想，并能夠順利論證性質(zhì)猜想的正確性.

活動3：矩形、菱形性質(zhì)的論證.

活動3最能體現(xiàn)合作推理式學(xué)習(xí)方式，包含四個步驟.

步驟1：每5人為一組（異質(zhì)組），通過討論自主選取矩形或菱形開展性質(zhì)探究，

步驟2：學(xué)生將有關(guān)矩形（菱形）性質(zhì)猜想的文字語言轉(zhuǎn)化為“已知、求證”的符號語言；學(xué)生小組討論，利用幾何思維流程輔助論證猜想.

步驟3：小組討論，整合歸納，派代表進行匯報步驟4：反思各小組的觀點，教師引導(dǎo)，總結(jié)觀點.

矩形、菱形性質(zhì)的論證，對學(xué)生數(shù)學(xué)語言、符號語言和圖形語言的互化、表達及數(shù)學(xué)推理能力有一定的要求，而小組總結(jié)匯報是合作推理式學(xué)習(xí)的重要一環(huán)．為了讓學(xué)生更好地開展討論，教師借助信息技術(shù)將視頻切片重組，在微視頻中以思維導(dǎo)圖的形式圖文并重地展現(xiàn)了由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因的推理過程，并精心設(shè)計了與微視頻內(nèi)容相呼應(yīng)的學(xué)習(xí)單（如圖4），為學(xué)生深人探究、高效交流提供支架.學(xué)生在合作推理中反思觀點，進一步完善結(jié)論.

圖4“特殊的平行四邊形”學(xué)習(xí)單

3.教學(xué)實施片斷

本課在上海市某區(qū)A校的八年級某班級中實施．A校屬于區(qū)域內(nèi)辦學(xué)質(zhì)量中等的學(xué)校，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和能力一般．本次是在該班第一次采用合作推理式學(xué)習(xí)方式授課．在課堂上，每5名學(xué)生為一組進行合作推理.學(xué)生的具體表現(xiàn)如下.

（1）合作推理任務(wù)1中的學(xué)生表現(xiàn).

在課堂上，學(xué)生對問題2中將平行四邊形的邊特殊化的回答如下.

生，：平行四邊形中有一個角是直角就能得到矩形，生2：平行四邊形中若兩條邊相等就能得到菱形.

此時有學(xué)生提出質(zhì)疑.

生3：因為平行四邊形的兩組對邊相等，所以兩條邊相等就能得到菱形是不對的．因此，若平行四邊形的四條邊相等就能得到菱形.

生4：不對，問題是將平行四邊形的邊特殊化，所以前提是平行四邊形的兩組對邊已經(jīng)相等了，應(yīng)改為“平行四邊形的兩組鄰邊相等就能得到菱形”

生5：我認為平行四邊形的兩組對邊已經(jīng)相等了，應(yīng)改為“若平行四邊形的一組鄰邊相等就能得到菱形”.

生，和生2通過類比、歸納等方式得出了具有普遍意義的數(shù)學(xué)概念，體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納概括能力．雖然生，和生2概括的內(nèi)容不完整，但發(fā)展了策略型思維（抽象性）.生3和生4基于已有的數(shù)學(xué)事實和活動經(jīng)驗，對前一名學(xué)生的觀點提出合理的質(zhì)疑，并對其觀點進行優(yōu)化、重構(gòu)，形成建設(shè)性的觀點，發(fā)展了批判型思維（質(zhì)疑性、建構(gòu)性）.生5在已有的數(shù)學(xué)事實和活動經(jīng)驗基礎(chǔ)上，也對前面同學(xué)的觀點進行了整合、拓寬，并化歸了新的觀點，發(fā)展了批判型思維（解構(gòu)性）.

（2）合作推理任務(wù)2中的學(xué)生表現(xiàn).

當(dāng)小組成員明確了研究矩形和菱形性質(zhì)的問題后，會從邊、角、對角線和對稱性這四個維度進行理性分析.在活動1的討論中，小組成員傾聽彼此的觀點，思考不同的觀點，比較、整理各種不同的結(jié)論，并形成組內(nèi)的主要觀點（如表2），但此時學(xué)生對菱形對角線的性質(zhì)的概括并不完整.

表2

在活動3中論證“菱形的兩條對角線互相垂直”時，學(xué)生借助圖5在小組內(nèi)發(fā)起了討論.

圖5

生：已知菱形的四條邊相等，而且對角線互相平分生，：要證對角線互相垂直，也就是要證AC⊥BD.

生：已知 AD=CD ， AO=CO ，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)就能得到AC⊥BD.

生、生，和生：通過對一個復(fù)雜的問題進行分析、推理，將其轉(zhuǎn)化為基本的、簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系，體現(xiàn)了批判型思維（建構(gòu)性）.

對于上述觀點的論證，所有小組都能順利完成，但論證過程中沒有學(xué)生對菱形對角線的性質(zhì)進行補充．這時，教師給予引導(dǎo)：你們在論證“菱形的兩條對角線互相垂直”的過程中有其他發(fā)現(xiàn)嗎？然后各小組學(xué)生繼續(xù)思考與討論.

生。：我發(fā)現(xiàn)菱形的任意一條對角線都把菱形分割成兩個全等的等腰三角形.

生 ₁₀ ：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得 ∠ADB=∠CDB. 同理， ∠DAC=∠BAC ， ∠ABD=∠CBD ∠BCA=∠DCA

生 ₁₁ ：其實根據(jù)“等邊對等角”及“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”也能說明 ∠ADB=∠CDB ， ∠DAC=∠BAC ∠ABD=∠CBD，∠BCA=∠DCA.

生 ¹² ：這四組角相等說明了什么？

生 ₁₃ ：說明 BD 平分 ∠ADC 和∠ABC， AC 平分∠BAD和∠BCD.

生 ¹⁴ ：我知道了！菱形的兩條對角線除了互相垂直外還平分每一組對角．所以我們在活動1的表格中關(guān)于菱形的性質(zhì)從對角線出發(fā)還應(yīng)該添加“菱形的每條對角線平分一組對角”.

生。和生1在已有的數(shù)學(xué)事實和活動經(jīng)驗基礎(chǔ)上進行跳躍式聯(lián)想、類比和關(guān)聯(lián)，化歸新的觀點和認識，體現(xiàn)了批判型思維（解構(gòu)性）.生 ₁₁ 從不同角度、不同方式分析、推理得出相同的觀點，體現(xiàn)了策略型思維（多樣性）.生12基于已有的數(shù)學(xué)事實和活動經(jīng)驗對觀點提出合理的疑問，體現(xiàn)了批判型思維（質(zhì)疑性）.生13和生 ₁₄ 基于已有的數(shù)學(xué)事實和活動經(jīng)驗，延伸已有的信息和觀點，得出了具有普遍意義的數(shù)學(xué)概念、定理，體現(xiàn)了策略型思維（抽象性、遷移性）.這樣，學(xué)生通過討論完善了菱形對角線的性質(zhì).

活動3中，每個小組充分討論，相互補充，形成觀點，在成果匯報環(huán)節(jié)，各小組派代表陳述小組的觀點和理論支持，并展示小組對核心問題的不同結(jié)論或過程與方法.這對學(xué)生的數(shù)學(xué)表達、推理能力有一定的要求．例如，學(xué)生借助學(xué)習(xí)單，對“矩形的對角線相等”的論證進行了如下匯報.

生（組長）：如圖6，我們小組的猜想是“矩形的兩條對角線相等”．我們先寫出了已知和求證．已知是AB//CD ， ∠ABC=90^° ， AB=CD 求證是 AC=BD. 要證 AC=BD ，只要證 ΔABC?ΔDCB.

圖6

現(xiàn)在已知 AB//CD ， AB=CD ，可知 ∠ABC 和∠BCD是一對互補的同旁內(nèi)角，再根據(jù)矩形定義可知 ∠ABC= 90^° ，得到 ∠ABC=∠BCD 結(jié)合 AB=CD ，可以證得 ΔABC?ΔDCB （SAS），從而證得 AC=BD

從上述匯報可以看出，學(xué)生通過合作推理形成了建設(shè)性的觀點，體現(xiàn)了策略型思維、批判型思維等高階思維．整節(jié)課中，學(xué)生經(jīng)歷了歸納推理、類比推理等合情推理，從已知進行分析，依據(jù)圖形的性質(zhì)和定理，歸納、類比、演繹等推出結(jié)論，從而達到演繹推理，形成如圖7和圖8所示的幾何思維框架結(jié)構(gòu)圖.

圖7

圖8

在探究矩形、菱形的基本概念和性質(zhì)的過程中，教師發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生選擇了探究菱形邊、角和對角線的性質(zhì)，關(guān)于對稱性的性質(zhì)論證的嘗試較少．這背后的原因可能有兩個方面．一方面，學(xué)生認為對稱性的性質(zhì)可以通過實踐操作來驗證，不需要進行論證；另一方面，學(xué)生不清楚如何論證對稱性的性質(zhì)．針對這一課堂生成的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生進行反思總結(jié)．在教師的引導(dǎo)下，組間共同討論解決菱形和矩形的對稱性問題．最終，發(fā)現(xiàn)從跨單元的視角，可以類比在七年級第一學(xué)期學(xué)習(xí)的關(guān)于圖形運動的知識解決問題.根據(jù)菱形對角線的性質(zhì)一一對角線互相垂直平分，沿著對角線所在直線將菱形翻折，必然會重合，所以菱形是軸對稱圖形，在師生共同努力下，逐步發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造型思維.

四、教學(xué)思考

從案例的實施效果來看，在合作推理式學(xué)習(xí)中開展的探究性對話、建構(gòu)式互動等學(xué)習(xí)活動，為高階思維實現(xiàn)社會性建構(gòu)提供了條件，能促進學(xué)生高階思維的發(fā)展．其關(guān)鍵在于教師需要對學(xué)生的知識水平、思維特征預(yù)先考慮，精心設(shè)計教學(xué)活動，并在課堂中敏銳捕捉學(xué)生在推理過程中的不足和創(chuàng)新之處，提供足夠的支架，進而促進學(xué)生通過合作完善推理活動，發(fā)展學(xué)生的高階思維.

1.充分利用問題情境，為學(xué)生提供合作推理式學(xué)習(xí)的機會

教師需要創(chuàng)設(shè)具有挑戰(zhàn)性、開放性的探究問題，借助由問題情境激發(fā)學(xué)生的興趣與思考，給學(xué)生留下思維的契機和質(zhì)疑的空間，提供合作推理式學(xué)習(xí)的機會.

2.巧妙運用“腳手架”，化解合作推理式學(xué)習(xí)中的難點

在理解的困頓處和思維的轉(zhuǎn)折時，教師給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，以便于學(xué)生能在思維的最近發(fā)展區(qū)發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，同時通過小組合作及推理深度激活學(xué)生的思維，以此增加學(xué)生思維的廣度、深度、高度和厚度，特別地，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進行質(zhì)疑和反思，從而深化理解，分散難點.

3.善于捕捉教學(xué)素材，增進合作推理式學(xué)習(xí)的效益

在課堂中，教師要善于捕捉學(xué)生在推理過程中存在的不足和產(chǎn)生的問題，為學(xué)生提供辯論的機會，創(chuàng)設(shè)尋因、糾錯的臺階，進而促進學(xué)生進發(fā)出創(chuàng)新的火花．在這些課堂的突發(fā)事件中，教師要及時利用足夠的教學(xué)機智，采用恰當(dāng)?shù)姆绞浇o予學(xué)生適當(dāng)點撥，促進學(xué)生通過合作形成完善的推理，增強合作推理式學(xué)習(xí)的效果.

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