動(dòng)點(diǎn)圓最值問題是中考數(shù)學(xué)中的常見壓軸題型，通常涉及一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，要求找出某個(gè)量（距離、角度等）的最大值或最小值.解題過程中，學(xué)生須具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)，還須具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象能力，靈活運(yùn)用隱圓最值模型、時(shí)鐘模型等常見模型找準(zhǔn)思路[1].以下就具體的初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)圓最值問題展開詳細(xì)敘述，

1 隱圓最值模型

例1如圖1，在邊長(zhǎng)為 的等邊 ΔABC 上，點(diǎn) D，E 分別是 BC，AC 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AE=CD 連接 BE，AD 相交于點(diǎn) P ，求線段 CP 的最小值.

解析 因?yàn)?ΔABC 是等邊三角形，

所以 AB=BC=AC ，

∠ABD=∠BAC=∠BCE=60^°. （204號(hào)

因?yàn)?AE=CD ，

所以 BD=CE

所以 ΔABD?ΔBCE（SAS）

所以 ∠BAD=∠CBE 因?yàn)?∠APE=∠BAD+∠ABE .所以 ∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC 所以 ∠APE=60^° ·所以點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡是以 O 為圓心， OA 為半

徑的圓弧，如圖2.連接 OC 交圓 O 于 N ，則 OC⊥AB 于點(diǎn) F ，根

據(jù)圓周角定理可得 ∠AOB=120^° ∠OAF=30^° 所以 從而可知 OC=2OA=4 當(dāng)點(diǎn) P 與 N 重合時(shí)， CP 的值最小，最小值

解題點(diǎn)撥 隱圓最值模型是解決復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)圓最值問題的有效方式，需要依據(jù)題目調(diào)整構(gòu)造出一個(gè)圓，再利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解.定長(zhǎng)對(duì)定角模型特征為兩條固定長(zhǎng)度的線段、兩條線段之間的夾角固定，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，其圓心位于定長(zhǎng)線段的中垂線上，半徑由定長(zhǎng)線段的一半和定角共同決定[2].解題思路是識(shí)別條件—構(gòu)造輔助圓—利用圓的性質(zhì)一求解答案.

2 時(shí)鐘模型

例2在給定的圖形中，線段AB是圓 O 的直徑， AB=4 ，點(diǎn) C 位于 AB 的延長(zhǎng)線上，且 BC=2 點(diǎn)P 是圓 O 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 PC ，并圍繞點(diǎn) P 構(gòu)造一個(gè)直角 ΔPCD ∠DCP=60^° ，連接 OD ，如圖3.求 OD 長(zhǎng)度的最大值和最小值.

解析將 OC 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60^° 得 CE ，且 ，連接 OE，ED ，可以證明 ΔOCE^′O ΔPCD ，如圖4.

由題及上述條件，可知 ΔPDC ΔOEC 為直角三角形.所以 ∠OEC=∠PDC=90^° 因?yàn)?∠OCP=∠OCE-∠PCE 所以 ∠ECD=∠PCD-∠PCE 又因?yàn)?∠OCE=∠PCD=60^° 所以 ∠OCP=∠ECD 因?yàn)? 所以

所以

因?yàn)樵?RtΔOEC 中， ：

在 ΔEOD 中， OE-ED

所以 OD 最大值為 ，最小值為

解題點(diǎn)撥 時(shí)鐘模型是常見的動(dòng)點(diǎn)圓最值問題模型，涉及一個(gè)圓以及圓上的三個(gè)點(diǎn)，即定點(diǎn) A 、定點(diǎn) B 以及動(dòng)點(diǎn) P ，這三個(gè)點(diǎn)通過圓上的弧和弦相互連接，形成一個(gè)類似于時(shí)鐘表面的幾何圖形，解題的核心在于找到動(dòng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到定點(diǎn) A 和定點(diǎn) B 距離之和／差的最小值或最大值.具體的解題步驟是分析題目條件一構(gòu)造輔助線一利用圓的性質(zhì)一應(yīng)用三角函數(shù)一驗(yàn)證答案.

3結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)圓最值問題是一類既富有挑戰(zhàn)性又充滿趣味性的題型，主要考查的是學(xué)生問題轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合思維與邏輯思考能力.從模型構(gòu)建角度出發(fā)，依據(jù)題干信息和問題求解要求，選用合適的模型，包括隱圓最值模型、時(shí)鐘模型等，明確不同題目的內(nèi)在邏輯，可幫助學(xué)生找到解決問題的整體思路，幫助學(xué)生更好地解決動(dòng)點(diǎn)圓最值問題，也能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和創(chuàng)新思維.在日常學(xué)習(xí)過程中，適時(shí)歸納總結(jié)模型與方法、積極練習(xí)與總結(jié)反思，將進(jìn)一步完善知識(shí)體系，提升解題水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]刁琴，石勇國(guó).中考熱點(diǎn)題型“動(dòng)點(diǎn)最值問題”的反思[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（01）：50-51.

[2」袁勁松.善于挖掘“隱圓”，巧解最值問題J」.數(shù)理天地（初中版），2024（17）：38-39.