均值不等式是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)之一，主要有均值不等式及其變形形式和幾個(gè)重要不等式，主要作用是求最值.函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，也是高考的必考內(nèi)容，其中求函數(shù)的最值是主要考查題型之一.在考查函數(shù)求最值的題型中，一般解答方法是求導(dǎo)法，但是在特定情況下，使用均值不等式會(huì)更加快捷，下面從對(duì)函數(shù)的處理角度，分成配湊法、分離法、倒數(shù)法三個(gè)方面進(jìn)行討論.

1配湊法

配湊法主要是根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)形式進(jìn)行的，根據(jù)配湊項(xiàng)，一般分為兩種：一是配系數(shù)，即根據(jù)均值不等式形式，屬于“和定求積的最小值”，此時(shí)函數(shù)的結(jié)構(gòu)為兩項(xiàng)積的形式；二是配項(xiàng)，即根據(jù)均值不等式形式，屬于“積定求和的最小值”，此時(shí)函數(shù)的結(jié)構(gòu)為兩項(xiàng)和的形式.

1. 1 配系數(shù)

例1 已知函數(shù) ，當(dāng) x∈ （0，4）時(shí)，求函數(shù)的最大值.

解根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，

當(dāng)且僅當(dāng) 2x=8-2x ，即 x=2 時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng) x∈Γ(0，4) 時(shí)，函數(shù) 2x ）的最大值為4.

評(píng)注這種方法主要是針對(duì)函數(shù) f(x)= C ιx(b-cx ） (a≠c )求最大值，為了能滿(mǎn)足使用均值不等式的條件，通過(guò)配系數(shù)的方法使兩個(gè)變量 x 前面的系數(shù)相等，即在函數(shù)前面乘以 ，同時(shí)再乘，然后使用均值不等式求出最值，驗(yàn)證等號(hào)是否成立.

1. 2 配項(xiàng)

例2 已知函數(shù) 的定義域?yàn)? 求函數(shù)的最小值.

解根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，有 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 得最小值為8.

評(píng)注 該方法主要針對(duì)形如 f(x)=ax+b+ ）的函數(shù)，求最小值的題型.為了使其能滿(mǎn)足均值不等式使用條件，只需要將 ax+b 通過(guò)配項(xiàng)，使其與 ax+c 相等即可，即只需要對(duì)函數(shù)同時(shí)加和減 Ψ_c 即可.然后使用均值不等式求出函數(shù)最小值，驗(yàn)證等號(hào)是否成立即可.

2 配湊 + 分離法

例3 求函數(shù)的最小值.

解 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x=1 時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=χ2+7x+10 取得最小值，為9.

評(píng)注 該方法主要是針對(duì)形如 f(x)= （20號(hào) 的函數(shù)求最值.在選擇使用均值不等式時(shí)，需要先對(duì)分子進(jìn)行配湊，使其配湊成 p (mx+n)²+q(mx+n)+k 的形式，然后對(duì)分式進(jìn)行分離，使其拆分成3項(xiàng)，從而滿(mǎn)足均值不等式的使用形式.

3倒數(shù)法

例4 已知函數(shù) 當(dāng) x>0 時(shí)，1求函數(shù)的最大值.

解因?yàn)? ，

所以 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x=2 時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng) x=2 時(shí)，函數(shù) 取得最大值

評(píng)注該方法主要針對(duì)形如 （ (a≠0，b≠0) ）的函數(shù)求最大值，首先是將函數(shù)倒過(guò)來(lái)，所求函數(shù)的最小值，倒過(guò)來(lái)之后，符合例3的題型，則按照例3所述方法處理即可.

4結(jié)語(yǔ)

求函數(shù)最值是考查函數(shù)性質(zhì)的常規(guī)題型之一，其主要方法有求導(dǎo)法、均值不等式法和特殊函數(shù)法，而均值不等式法是最常用、最簡(jiǎn)潔的方法之一.本文從均值不等式的基本特征出發(fā)，根據(jù)均值不等式的使用條件，從配湊法、分離法、倒數(shù)法三種方法進(jìn)行例談，具體討論了均值不等式在函數(shù)求最值中的應(yīng)用策略，其中配湊法又分為了配系數(shù)和配項(xiàng)兩個(gè)方面.

參考文獻(xiàn)：

[1]張龍慶.芻議均值不等式的解題策略[J].理科考試研究，2024，31(5):29—31.

[2]師文亮.均值不等式中的“配湊”技巧[J].河北理科教學(xué)研究 .2022(4):1-2+11.

[3]梁宗明.隱匿的均值不等式[J].數(shù)理化解題研究，2020(28):16—17.

[4]龍克寧.利用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)不容忽視的幾個(gè)條件[J].黔東南民族師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002，20(3):74—75.

[5]曹昕，洪家鳳.利用均值不等式求函數(shù)最值的六種方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023(1)：80-81.