1 軌跡問題

針對拋物線具體軌跡方程的考查，這類問題屬于較為基礎(chǔ)的一類拋物線問題.解答時應(yīng)結(jié)合已知條件做出具體分析，根據(jù)拋物線性質(zhì)和平面幾何關(guān)系得到與拋物線方程參數(shù) p 有關(guān)的等式，經(jīng)過運算得到對應(yīng)軌跡方程.求解拋物線軌跡方程這類問題，具體的解題步驟為：（1）假設(shè)拋物線方程形式，利用所給條件得到具體關(guān)系等式，即與拋物線方程中參數(shù) Σ_P 有關(guān)的等式；（2）通過運算求出 Σ_P 的具體值，從而得到具體軌跡方程.

例1已知點 A 是拋物線 C：y²=2px（/≥0） （2號上一點，點 A 到拋物線的焦點的距離等于12，到 y 軸的距離等于9，則該拋物線方程為（ ）

分析解答本題的關(guān)鍵點在于利用 _A，C 兩點之間的距離公式列出等式，首先假設(shè) A 點坐標為（9，y_A） 得到方程 y_A²=18p ，進一步結(jié)合已知條件“點 A 到拋物線的焦點 的距離等于12”和兩點間的距離公式，運算得到 Σ_P 的值，即可求出拋物線

的具體軌跡方程式.

解析 由題意知，點 A 到 y 軸的距離等于9，所以可以假設(shè)點 A 的坐標為 （9，y_A） ，

所以 y_A²=18p ，

又因為點 A 與焦點 的距離等于12，所以由兩點間的距離公式可得：

等價于 p²+36p-252=0

解得 ?=-42 （舍）或 ?=6 ，

故正確答案為（C）選項.

2 定值問題

與拋物線有關(guān)的定值問題，是一類較為常見的中等拋物線問題，只要靈活運用拋物線的定義和相關(guān)性質(zhì)，并結(jié)合已知條件做出分析，往往都能使問題迎刃而解.解答與拋物線有關(guān)的定值問題，一般解題步驟為：（1）分析題意，明確所求定值類型，并結(jié)合所給條件和拋物線定義或性質(zhì)列出對應(yīng)表達式；（2）將具體值代入關(guān)系等式中，通過運算即可求出所求定值的大小.

例2若拋物線 y²=4x 上的點 M 到焦點的距離等于10，則點 M 到 y 軸的距離等于

分析 根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)解得焦點坐標F（1，0） 和準線方程 x=-1 以后，假設(shè)點 M（x，y） ，利用幾何性質(zhì)得到點 M 到 y 軸的距離.

解析 根據(jù)題意得，拋物線 y²=4x 的焦點為F（1，0） ，準線方程為 x=-1

假設(shè)點 M 的坐標為 （x，y）

因為點 M 到焦點的距離等于10，

所以 x+1=10

所以 x=9 ，

因此，點 M 到 y 軸的距離等于9.

3最值問題

有關(guān)于拋物線的最值問題，屬于綜合性問題，求解的關(guān)鍵在于將問題所求最值的變量具體化，以函數(shù)解析式形式或基本不等式結(jié)構(gòu)進行表達，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值或不等式求最值問題.解答拋物線的最值問題，具體解題步驟為：（1）根據(jù)問題所給條件，假設(shè)變量，將問題所求表示為與假設(shè)變量有關(guān)的函數(shù)解析式或基本不等式結(jié)構(gòu)；（2）根據(jù)變量的區(qū)間求函數(shù)的最值，或憑借基本不等式求最值；（3）通過運算得到最值，即對應(yīng)問題所求最終答案.

例3 已知拋物線 y²=2px（pgt;0） ）的焦點過

（1，0），過點 F 作直線 ξ_l 交拋物線于點 A，B 兩點，則

（204號 的最小值為

分析問題所求與線段 AF，BF 有關(guān)，可考慮根據(jù)拋物線性質(zhì)和已知條件找出 AF，BF 之間的關(guān)系等式，使問題所求轉(zhuǎn)化為只和 AF 或 BF 有關(guān)的表達式，根據(jù)表達式結(jié)構(gòu)特點，考慮通過函數(shù)或基本不等式求出最值.

解析 因為拋物線 y²=2px（pgt;0） 的焦點為（1，0），所以 .因為 A，B 為拋物線的焦點弦，所以

即

因為

所以

當且僅當 ，即 AF=6 時，等號成立，故 的最小值為—6.

4結(jié)語

高中階段的數(shù)學(xué)知識體系中，以拋物線為背景進行考查的問題類型有很多，不僅需要學(xué)生熟練掌握拋物線的定義和性質(zhì)等基本知識，還需要學(xué)生能夠根據(jù)實際情況對相關(guān)知識進行靈活運用.因此，學(xué)生要多練習(xí)，尋找解答不同類型問題的通法，才能對拋物線有更加深刻的理解，從而更加高效地解答拋物線問題.

參考文獻：

[1]王暉.拋物線中的常考題型[J].數(shù)理天地（高中版），2021（9）：22—25.

[2]孫英環(huán).拋物線最值問題的解題策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二數(shù)學(xué)），2024（1）：20—22.

[3]楊蒼洲.與拋物線焦點弦有關(guān)的比例問題的解題策略[J].數(shù)理化解題研究，2021（31）：42-43.