二次函數(shù)與等腰三角形相結(jié)合的探究題常作為中考壓軸題出現(xiàn)，此類問題將函數(shù)與幾何相結(jié)合，考查學(xué)生的知識整合能力與邏輯推理能力.教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識梳理，整合解法，結(jié)合實(shí)例掌握解題思路.

方法探究

以二次函數(shù)為背景的等腰三角形探究題，將函數(shù)與幾何相結(jié)合，具有“數(shù)”與“形”的雙重特性.解析時(shí)，學(xué)生可采用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)具體圖形分析幾何特性，通過函數(shù)運(yùn)算精準(zhǔn)定位.教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：一是等腰三角形構(gòu)造的一般思路；二是等腰三角形解析的常見方法．

1.構(gòu)造思路

對于二次函數(shù)背景下的等腰三角形問題，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造等腰三角形.常見情形：在平面直角坐標(biāo)系中，已知一條線段，需要構(gòu)造等腰三角形.解題思路：利用“兩圓一線”作圖法，分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長為半徑作圓，再作線段的垂直平分線，利用其特性構(gòu)建等腰三角形.

2.解析方法

二次函數(shù)背景下的等腰三角形存在性問題，具有鮮明的探究屬性，此類問題常與動點(diǎn)相結(jié)合，綜合考查學(xué)生的知識整合能力、分析推理能力.常見解析方法有兩種：一是代數(shù)法，側(cè)重于利用點(diǎn)坐標(biāo)來分析推導(dǎo)；二是幾何法，側(cè)重于探索其中的幾何性質(zhì).

學(xué)生可通過梳理代數(shù)法和幾何法的構(gòu)建思路，形成解題策略.下面，筆者以探索平面直角坐標(biāo)系中的等腰△ABC為例，演示構(gòu)建過程.

（1）代數(shù)法

第一步，設(shè)定未知數(shù)，表示點(diǎn)A，B， c 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

第二步，利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別表示線段 AB ，BC和AC的長度；

第三步，結(jié)合等腰三角形的特性要求，分別討論三種情形： AB= BC， BC=CA ， AB=AC

（2）幾何法

第一步，設(shè)定未知數(shù)，表示點(diǎn)A， B ， c 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

第二步，利用等腰三角形、全等三角形和相似三角形的性質(zhì)，以及三角函數(shù)來表示線段 AB ，BC和AC的長度；

第三步，結(jié)合等腰三角形的特性要求，分別討論三種情形： AB= BC， BC=CA ， AB=AC

模型示例

二次函數(shù)背景下的等腰三角形問題，可以從幾何、代數(shù)兩大視角出發(fā)，分別構(gòu)建解題思路，上述解析方法演示了兩種解法的構(gòu)建過程.教學(xué)中，教師可結(jié)合坐標(biāo)系建構(gòu)模型，引導(dǎo)學(xué)生感受解題過程，掌握解題策略.

1.題目呈現(xiàn)

在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（4，3），若 x 軸上存在能使△ABC為等腰三角形的點(diǎn)C，試求點(diǎn) C 的坐標(biāo).

方法1 幾何法 “兩圓一線”定位

應(yīng)用幾何法分析等腰三角形頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)，教師應(yīng)注重作圖定位的思路講解，利用“兩圓一線”來推理點(diǎn) c 的位置.

第一階段—作圖定位，如圖2所示

（1）以點(diǎn)A為圓心， AB 為半徑作圓，與 x 軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn) C ，此時(shí)有 AB=AC

（2）以點(diǎn) B 為圓心， AB 為半 徑，與 x 軸的交點(diǎn)即為滿足條件的 點(diǎn) c ，此時(shí)有 BA=BC

（3）作 AB 的垂直平分線，與 x 軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn) c ，此 時(shí)有 CA=CB

第二階段一一點(diǎn)位計(jì)算，構(gòu)建模型

在此階段，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形，構(gòu)建模型分別計(jì)算滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo).通常借助勾股定理或三角函數(shù)來解題.

方法2代數(shù)法—線段長推導(dǎo)

對于 C₅ ，學(xué)生可采用代數(shù)法來推理計(jì)算，把握垂直平分線條件，首先利用其性質(zhì)推導(dǎo)出等線段關(guān)系，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式構(gòu)建方程解題.如圖4所示，可分四步進(jìn)行思路構(gòu)建，教師應(yīng)注意每一步驟核心內(nèi)容的歸納.

第一步，表示關(guān)鍵點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) C₅ 的坐標(biāo)為 （m， 0） ，又A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），B 點(diǎn)坐標(biāo)（4，3）；

第二步，表示線段，則

（2號第三步，建立方程，根據(jù) AC₅= BC₅ 可得 （204號第四步，解方程，可得 ，由此可推導(dǎo)得出點(diǎn) C₅ 的坐標(biāo)為

2.復(fù)盤總結(jié)

對于二次函數(shù)背景下的等腰三角形問題，關(guān)鍵是討論等腰三角形的個(gè)數(shù)，學(xué)生可采用分類討論策略，結(jié)合“兩圓一線”作圖法來確定點(diǎn)的位置.

過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線，設(shè)垂足為 點(diǎn) H ，如圖3所示，則 AH=1. 可求 得 ，而 C₁H= ，從而可求得 （204號 同理可求出點(diǎn) C₃ ， C₄ 的坐標(biāo).

后續(xù)則根據(jù)具體的等腰情形，從“代數(shù)”與“幾何”兩大視角出發(fā)進(jìn)行分析推理.教師可用PPT展示思維導(dǎo)圖（圖5），指導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)解題策略.

因此類問題常與動點(diǎn)相結(jié)合，教師可以分情形展開剖析，重點(diǎn)關(guān)注三種動點(diǎn)情形.

情形1兩定一動，此時(shí)動點(diǎn)可能在直線上，也可能在拋物線上，需要綜合分析；

情形2一定兩動，則兩動點(diǎn)之間必然存在某種關(guān)聯(lián)，此時(shí)可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)，推導(dǎo)線段長，分析線段之間存在的關(guān)聯(lián)；

情形3三動點(diǎn)，此種情形一般存在特殊角或特殊邊，可以此為突破口.

解題指導(dǎo)

教學(xué)中建議結(jié)合實(shí)例進(jìn)行解題思路指導(dǎo)，使學(xué)生深刻理解并掌握解題策略，以便在今后的學(xué)習(xí)中加以靈活運(yùn)用.

1.問題呈現(xiàn)

例題：如圖6所示，拋物線 y= 與 x 軸交于點(diǎn) A（-1，0） ，B （4，0），與 y 軸交于點(diǎn) C. 連接 AC BC ，點(diǎn) P 在拋物線上運(yùn)動.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖6（1）所示，若點(diǎn) P 在

第四象限，點(diǎn) Q 在 PA 的延長線上，當(dāng)

∠CAQ=∠CBA+45^° 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖6（2）所示，若點(diǎn) P 在

第一象限，直線 AP 交BC于點(diǎn) F ，過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線交BC于點(diǎn) H ，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段 PH 的長.

2.思路分析

本題為二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，涉及動點(diǎn)、角度關(guān)系、等腰三角形存在性等內(nèi)容，考慮采用數(shù)形結(jié)合策略來解題.需注意解析題目中蘊(yùn)含的幾何關(guān)系，利用點(diǎn)坐標(biāo)推導(dǎo)線段長，再結(jié)合幾何特性來推理解題.

第（1）問為基礎(chǔ)問題，根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

第（2）問則需解析角度關(guān)系，首先結(jié)合點(diǎn) c 的坐標(biāo)，利用勾股定理逆定理推導(dǎo)出 ∠ACB=90^° ，進(jìn)而有 ∠ACO=∠CBA. 接著在 σ_X 軸上取點(diǎn)E （2，0），連接 CE ，易得 ΔOCE 為等腰直角三角形，則 ∠OCE=45^° ，進(jìn)一步可推導(dǎo)出 ∠ACE=∠CAQ ，由∠ACE=∠CAQ 可推導(dǎo)出 CE//PQ. 緊接著，求出直線 CE 和 PQ 的解析式，最后聯(lián)立直線與拋物線的方程，求得交點(diǎn) P 的坐標(biāo).

第（3）問是關(guān)于二次函數(shù)背景下的等腰三角形問題，題目并未設(shè)定等腰三角形的腰，故需分三種情形進(jìn)行討論，并結(jié)合等腰三角形的“等腰”特性來構(gòu)建關(guān)于線段長的方程，進(jìn)而求出點(diǎn) P 和點(diǎn) H 的坐標(biāo)，方可求出線段 PH 的長.

3.過程構(gòu)建

（1）拋物線的解析式是 y=

（2）根據(jù)上述分析思路，可得 直線 PQ 的解析式為 y=-x-1 ，與 拋物線的解析式聯(lián)立，則有 從而解得

x=-1， x=6， 或 點(diǎn) P 在第四

y=0， y=-7，

象限，則坐標(biāo)為（6，-7）.

（3）綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論和方程思想，指導(dǎo)學(xué)生掌握此問的構(gòu)建過程.

設(shè)直線 AP 與 y 軸交于點(diǎn) G ，如圖7所示，因?yàn)?PH//y 軸，可得∠PHC=∠OCB ， ∠FPH=∠CGF. 如果 ΔPFH 為等腰三角形，則 ΔCFG 也為等腰三角形.

由 c （0，2）， B （4，0）可得直線 BC 的解析式為 ，由A （ε-1，ε0） ，可得直線 AF 的解析式為 y=mx+m

通過聯(lián)立直線 BC 和 AF 的方程，可得點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 從而可得 CG²=（2-m）² 根據(jù)分析可知，當(dāng) ΔCFG 為等腰三角形時(shí)，可確?！鱌FH也為等腰三角形.下面，分三種情形進(jìn)行討論.情形 ① ：當(dāng) CG=CF 時(shí)，則 可得 （舍去負(fù)值），此時(shí)可確定直線 AF 的解析式，將其與拋物線解析式聯(lián)立，可得點(diǎn) P 的坐 此時(shí)點(diǎn) H 的坐標(biāo)為5-√5， 則

情形 ② ：當(dāng) FG=FC 時(shí)，則 可得 （舍去不符合的值），參考情形① ，可得 情形 ③ ：當(dāng) GF=GC 時(shí)，則 可得 （舍去不符合條件的值后），同理，可得 （20號綜上可知，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，滿足條件的線段 PH 值有3個(gè)，分別為 ， 和 （204

4.復(fù)盤總結(jié)

上述第（3）問為核心之問，是關(guān)于二次函數(shù)背景下的等腰三角形探究.解析過程的特殊之處在于構(gòu)建4 ΔCFG 與 ΔPFH 之間的關(guān)系”，從而將問題轉(zhuǎn)化為分析 ΔCFG 為等腰三角形.后續(xù)則綜合代數(shù)法與幾何法，利用等線段關(guān)系來構(gòu)建方程、求解參數(shù)、推出直線方程.教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的分析方法，把握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，靈活運(yùn)用分析策略來定位、求出點(diǎn)坐標(biāo).

結(jié)語

二次函數(shù)背景下的等腰三角形問題，融合了幾何、函數(shù)、方程等內(nèi)容，問題形式多變，作為壓軸題在中考中出現(xiàn)，確實(shí)能夠全面考查學(xué)生的能力.教學(xué)中，教師應(yīng)注意方法講解，構(gòu)建示例模型，便于學(xué)生理解解題策略.實(shí)例講解時(shí)，教師應(yīng)注意思路分析與引導(dǎo)，合理設(shè)問啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生充分體會問題轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建的過程.