“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是第二學段“數(shù)與運算”主題的內(nèi)容，是在學生掌握了表內(nèi)乘法，會計算兩位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上教學的。無論是整數(shù)乘法，還是小數(shù)、分數(shù)乘法，其本質(zhì)都是計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘、計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘。教師如何在教學中凸顯乘法運算的一致性，培養(yǎng)學生的數(shù)感、運算能力和推理意識呢？筆者以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元教學為例說明。

一、借助數(shù)的意義，建立知識關(guān)聯(lián)

在認識數(shù)的學習過程中，學生積累了按群計數(shù)的經(jīng)驗，能根據(jù)位值制將一個多位數(shù)分解。教學中，教師借助點子圖引導學生把數(shù)轉(zhuǎn)化為計數(shù)單位的表征方式，基于計數(shù)單位理解乘法算式的意義，表達算理，體會“整十數(shù)乘一位數(shù)可以以‘十’為單位計算；兩位數(shù)乘一位數(shù)可以分別以‘十’和‘一’為單位計算，再合并”，為研究整十數(shù)乘整十數(shù)、兩位數(shù)乘整十數(shù)的算理與算法奠定基礎(chǔ)。

新課伊始，筆者出示2和20，請學生數(shù)出相應(yīng)數(shù)量的小棒，說一說數(shù)的過程，以及它們分別表示什么意思。學生回答：一根一根地數(shù)，數(shù)兩次就能數(shù)到2，2表示2個一，它是一位數(shù)；要數(shù)出20，可以一根一根地數(shù)20次，也可以一捆一捆地數(shù)（每一捆10根小棒）數(shù)兩次，20是兩位數(shù)，表示20個一或2個十。接著，筆者請學生回憶怎樣計算2×3和20×3。學生回答：利用乘法口訣可以直接算出2×3=6；而計算20×3，要先算2×3=6，再在6的末尾添一個0，得出60。然后，筆者出示點子圖（如圖1），請學生找一找2×3=6中的6在點子圖的哪里；20×3=60的積中的6和十分別在點子圖的哪里。

通過圈畫，學生發(fā)現(xiàn)60中的6實際上是6個十，2×3算的是2個十乘3，得6個十。筆者追問：為什么計算2×3時用乘法口訣計算后可以直接寫6，而計算20×3時用乘法口訣計算后還要在6后面添一個0？學生指出：第一個6表示6個一，6個一就是6；第二個6表示6個十，在6后面添一個0才是60。最后，筆者請學生回憶23×3的口算方法，并將2×3和3×3的口算過程、結(jié)果與點子圖建立聯(lián)系。

通過以上對比分析，學生初步建立了數(shù)的概念與乘法運算的關(guān)聯(lián)，體會到不管是一位數(shù)乘一位數(shù)還是兩位數(shù)乘一位數(shù)，都是在用表內(nèi)乘法計算計數(shù)單位的個數(shù)；由于兩位數(shù)的計數(shù)單位既有“十”又有“一”，所以需要先算出幾個“十”和幾個“一”，再合并。

二、立足計數(shù)單位，打通算法關(guān)聯(lián)

多位數(shù)乘一位數(shù)，由于其中一個因數(shù)的計數(shù)單位是“一”，計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘產(chǎn)生的新計數(shù)單位與另一個因數(shù)的計數(shù)單位相同，學生難以發(fā)現(xiàn)兩個因數(shù)的計數(shù)單位也參與了運算，如2個十乘3個一得6個十（“十”由“十”乘“一”得到）。整十數(shù)乘整十數(shù)，計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘會產(chǎn)生與原本兩個因數(shù)的計數(shù)單位不同的新計數(shù)單位。教學中，教師要引導學生根據(jù)計數(shù)單位相乘的意義對新的計數(shù)單位是多少進行正向和逆向推導，逐步把整數(shù)乘法的算法統(tǒng)一為“計數(shù)單位乘計數(shù)單位，個數(shù)乘個數(shù)”。

課堂上，筆者引導學生思考20×30可以怎么算，用自己的方法計算，并借助點子圖說明這樣算的道理。學生得出如下四種計算方法：①先算3×2=6，再在6后面添兩個0；②20×3=60，60×10=600；③2×30=60，60×10=600；④3×2=6，6×100=600。針對方法②和方法③，筆者追問：60在點子圖（如圖2、圖3）的哪里？為什么要再乘10？

借助點子圖，學生發(fā)現(xiàn)方法②中的60可以看成20個一乘3，方法③中的60可以看成30個一乘2，它們都表示60個一，再乘10是因為圖中還有10個這樣的60。針對方法④，筆者追問：6在點子圖的哪里？100從哪兒來？通過觀察和交流，學生得出：在點子圖（如圖4）中，100由“十”乘“十”得到，即“百”，6是“百”的個數(shù)。

筆者適時總結(jié)：“從數(shù)的意義看，計數(shù)單位‘十’與‘十’相乘得到一個新的計數(shù)單位‘百’”，并追問：方法④中，2和3這兩個數(shù)相乘是在算什么？為什么相乘后在積末尾添兩個0就能得到正確結(jié)果？通過討論交流，學生發(fā)現(xiàn)：20里有2個“十”，30里有3個“十”，2乘3算的是積的計數(shù)單位的個數(shù)，在6后面添兩個0是因為新的計數(shù)單位是“百”。

學生理解20×30的計算過程后，筆者設(shè)疑：20×30中，兩個因數(shù)的計數(shù)單位“十”和“十”相乘產(chǎn)生新的計數(shù)單位‘百’?；仡^看一看，口算20×3時，兩個因數(shù)的計數(shù)單位有沒有相乘呢？經(jīng)過激烈的討論，學生達成共識：將20看作2個“十”，3看作3個“一”，任何數(shù)乘1都得它本身，“十”乘“一”還是“十”，與20的計數(shù)單位“十”相同，因此我們誤以為兩個乘數(shù)的計數(shù)單位沒有相乘，實際上則不然。

這樣教學，學生體會到整十數(shù)乘一位數(shù)和整十數(shù)乘整十數(shù)口算方法的一致性，都是先用兩個乘數(shù)的計數(shù)單位相乘得到新的計數(shù)單位，再算出新計數(shù)單位的個數(shù)。

三、基于整體視角，完善認知結(jié)構(gòu)

乘法運算的原理是等合計數(shù)單位的個數(shù)。教學中，教師可以借助點子圖引導學生在用不同計數(shù)單位計數(shù)的過程中，對接算式中每一個數(shù)、每一步計算所表示的意義，以此貫通整數(shù)乘法算理的理解。

課堂上，筆者聚焦22×30和22×33的計算方法展開教學。學習22×30時，筆者請學生借助點子圖探究其計算方法，然后在小組里說一說怎么算。交流環(huán)節(jié)，一名學生借助點子圖匯報：先計算22×3=66，再在積的末尾添一個0。另一名學生補充：也可以先將22拆成20和2，計算20×30=600，2×30=60，再將600與60合起來得到660。針對第一種方法，筆者提問：22×3算的是什么？為什么要在它的積的末尾添一個0？學生思考后回答：22×3算的是計數(shù)單位“一”的個數(shù)，添0是因為有10個22×3。針對第二種方法，筆者設(shè)疑：同樣是兩位數(shù)乘30，為什么前面口算20×30時只需算一次“2×3”，這里口算22乘30，需要算兩次“2×3”？學生思考后解釋：20是整十數(shù)，由計數(shù)單位“十”構(gòu)成，22是兩位數(shù)，由計數(shù)單位“十”和“一”組合而成，第一次“2×3”算的是6個百，第二次“2×3”算的是6個十。筆者總結(jié)：當因數(shù)是整十、整百數(shù)時，可以用一個計數(shù)單位去數(shù)（算），當有一個乘數(shù)是非整十、整百數(shù)時，需要用多個計數(shù)單位去數(shù)（算）。

學習22×33時，筆者請學生先猜想“如果用‘2×3’計算22×33，要將‘2×3’算幾次”，再借助點子圖驗證。學生操作后，發(fā)現(xiàn)如下3種拆分方法：①20×30=600，20×3=60，2×30=60，2×3=6，600+60+60+6=726；②22×30=660，22×3=66，660+66=726；③20×33=660，2×33=66，660+66=726。不管哪一種方法，都要將“2×3”算4次。筆者適時將點子圖簡化成如圖5所示的樣子，并出示22×33的豎式，引導學生找出豎式中的各部分與口算方法的聯(lián)系。學生通過觀察，明確了筆算乘法與口算乘法的計算道理一樣，都要確定運算后新的計數(shù)單位是什么、有多少個，不同的是筆算乘法省略了不同計數(shù)單位上乘出的數(shù)合并的過程，并且在記錄上做了簡化。

在計數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)下，學生對乘法算式中積的位值意義有了更深層次的理解，感受到整數(shù)乘法運算的一致性。

（作者單位：宜城市窯灣小學）

文字編輯 張敏