摘 要 微積分作為理工科教育中的核心課程，其知識體系的復雜性和廣泛性給學生的學習帶來了挑戰(zhàn)。隨著知識圖譜技術(shù)的興起，將其應用于微積分教學領(lǐng)域成為一個值得探索的方向。文章旨在探討微積分知識圖譜構(gòu)建的理論基礎(chǔ)、技術(shù)實現(xiàn)、實踐應用以及未來展望，以期為微積分教學的改革和創(chuàng)新提供新的思路和方法。

關(guān)鍵詞 微積分；知識圖譜構(gòu)建；實踐；教學改革

中圖分類號：G642 " " " " 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.01.008

Exploration and Practice of Constructing a Knowledge Graph for Calculus

MA Yonggang， LIU Junmei

（School of Mathematics and Statistics， Yulin University， Yulin， Shaanxi 719000）

Abstract Calculus， as a core course in science and engineering education， poses challenges to students due to the complexity and breadth of its knowledge system. With the emergence of knowledge graph technology， its application in the field of calculus teaching has become a worthwhile direction to explore. This paper aims to explore the theoretical foundation， technical implementation， practical application， and future prospects of constructing a knowledge graph for calculus， with the goal of providing new ideas and methods for the reform and innovation of calculus teaching.

Keywords calculus; knowledge graph construction; practice; teaching reform

微積分作為高等數(shù)學的重要組成部分，不僅是理工科學生的必修基礎(chǔ)課程，還是連接數(shù)學與其他自然科學、工程技術(shù)領(lǐng)域的重要橋梁。微積分在物理、生物、經(jīng)濟學以及工程等諸多學科中扮演著不可或缺的角色，為學生的學術(shù)研究和實際應用提供強有力的工具。然而，微積分知識體系的復雜性和抽象性使得許多學生在學習過程中面臨著諸多困難，導致其在理解和應用相關(guān)概念時感到困惑。許多學生在學習微積分時，常常難以將不同的知識點進行有效整合，導致其對整個知識體系的把握不夠全面。這種現(xiàn)象不僅影響學生對微積分的深刻理解，也很大程度妨礙其后續(xù)學習。

知識圖譜作為一種智能、高效的知識組織方式，正是解決這一問題的有效工具。它以結(jié)構(gòu)化的形式清晰地展示知識點之間的關(guān)系，幫助學生快速把握微積分的整體框架。通過知識圖譜，學生能夠直觀地理解微積分的基本概念，如極限、導數(shù)和積分之間的關(guān)系，并且?guī)椭鷮W生建立起系統(tǒng)思維模式，促進其更深入地思考和探索。

微積分知識圖譜的構(gòu)建理論，不僅為學生提供了便捷的學習工具，幫助其克服學習過程中的障礙，還為教師在教學設計和課程安排上提供參考依據(jù)，從而促使教與學的高質(zhì)量協(xié)同推進。

1 微積分知識圖譜構(gòu)建的理論基礎(chǔ)

1.1 知識圖譜概述

知識圖譜作為一種結(jié)構(gòu)化知識表示方法，其核心在于以圖的形式生動、直觀地描述客觀世界中實體、概念及其之間錯綜復雜的關(guān)系網(wǎng)絡。構(gòu)建過程涵蓋多個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，包括知識有效抽取、精準融合、高效存儲與便捷查詢等，每一環(huán)節(jié)都扮演著不可或缺的角色。通過構(gòu)建知識圖譜，不僅能夠清晰地觀察到各個知識點之間的緊密聯(lián)系，還能深入洞察其內(nèi)在層次結(jié)構(gòu)與邏輯關(guān)系。這種直觀且系統(tǒng)的知識呈現(xiàn)方式，極大地促進學習者對知識的深入理解和長期記憶，為學習和研究提供強有力的支持。

1.2 微積分知識體系分析

微積分知識體系是一個復雜且豐富的領(lǐng)域，涵蓋微分學、積分學、級數(shù)理論等多個核心部分，涉及眾多概念、定理、公式以及解題方法。這些知識點相互獨立、相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成層次分明的知識網(wǎng)絡。在構(gòu)建微積分知識圖譜之前，必須對微積分知識體系進行深入的系統(tǒng)分析和梳理，明確各個知識點的范圍、分類和層次結(jié)構(gòu)。

首先，對知識體系進行分析時，需要明確微積分的基本構(gòu)成。微分學主要研究函數(shù)變化率和切線斜率，涉及導數(shù)定義、求導法則、鏈式法則、隱函數(shù)定理等基本概念和定理。積分學關(guān)注不定積分和定積分，探討面積、體積及累積量的計算，涉及積分基本定理、換元積分法、分部積分法等重要技巧。級數(shù)理論涉及收斂性、發(fā)散性分析，以及冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)等重要概念。在系統(tǒng)梳理這些知識點時，關(guān)注概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。例如，導數(shù)與積分之間的基本關(guān)系，深刻反映了微分學與積分學的統(tǒng)一性。

其次，明確分類和層次結(jié)構(gòu)是構(gòu)建知識圖譜的關(guān)鍵步驟。將微積分知識點分為基礎(chǔ)知識、核心定理、常用公式和應用技巧等幾個層次。基礎(chǔ)知識包括概念定義和基本性質(zhì)，核心定理指那些在微積分中起支撐性作用的定理，如洛必達法則、泰勒公式等。常用公式，如導數(shù)公式、積分公式，是計算必不可少的工具，而應用技巧則涉及不同類型問題的解決方法。

微積分知識圖譜不僅有助于學生更好地理解和掌握微積分基本概念和方法，也為教師教學提供了有力的輔助。教師利用知識圖譜作為教學素材，展示知識層次和聯(lián)系，能引導學生探索微積分的奧秘，激發(fā)學生的學習興趣和主動性。

2 微積分知識圖譜構(gòu)建技術(shù)實現(xiàn)

2.1 數(shù)據(jù)收集與處理

構(gòu)建微積分知識圖譜是一項復雜而細致的任務，教師需廣泛且深入地收集相關(guān)數(shù)據(jù)資源，包括但不限于權(quán)威教材、最新學術(shù)論文、在線課程以及各類專業(yè)網(wǎng)站上的相關(guān)資料。這些數(shù)據(jù)資源中蘊藏著對微積分知識點的詳細描述、豐富示例以及深入的分析，為知識圖譜構(gòu)建提供堅實的基礎(chǔ)。在成功收集到這些數(shù)據(jù)資源后，教師需要進行細致的預處理工作，包括文本清洗，去除無用噪音和冗余信息；分詞處理，將連續(xù)的文本切分成有意義的詞匯單元；詞性標注，為后續(xù)文本分析和理解奠定基礎(chǔ)。通過這些預處理步驟，可以更有效地進行知識抽取和融合，為微積分知識圖譜構(gòu)建做好鋪墊。

2.2 知識抽取

知識抽取是構(gòu)建微積分知識圖譜過程中極為關(guān)鍵的一環(huán)，其主要任務是從預處理過的數(shù)據(jù)資源中精準地提取出微積分領(lǐng)域的知識點、重要定理、核心公式等實體，并明確它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。為實現(xiàn)這一目標，可以采用多種方法，如基于明確規(guī)則的抽取方法、基于機器學習的抽取方法等。為提升知識抽取的準確性和效率，教師應對初步抽取結(jié)果進行細致的人工校驗和必要的修正。這一步驟對于確保微積分知識圖譜質(zhì)量和可靠性至關(guān)重要，它能夠幫助構(gòu)建一個更加完善、準確且實用的微積分知識圖譜，為相關(guān)領(lǐng)域研究和應用提供有力支持。

2.3 知識融合

知識融合是將多個知識庫中的知識進行整合與優(yōu)化的過程，對于構(gòu)建全面、系統(tǒng)的知識圖譜至關(guān)重要。在微積分知識圖譜構(gòu)建中，知識融合需要將來自不同教材、論文、在線課程等各類來源的知識點、定理、公式等實體進行精確對齊與合并，同時需要面對并解決諸多挑戰(zhàn)，如實體對齊、關(guān)系對齊以及屬性對齊等問題。為了解決這些問題，教師可采用多種先進技術(shù)手段，如基于統(tǒng)計機器學習方法幫助發(fā)現(xiàn)不同實體之間的潛在聯(lián)系；基于文本向量距離計算相似度方法，量化不同實體之間的相似程度；以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡方法，學習并模擬復雜的實體關(guān)系。通過這些方法的綜合應用，能夠構(gòu)建一個全面、準確、完整的微積分知識體系。

2.4 知識存儲與查詢

知識存儲是將經(jīng)過抽取和融合后的知識以結(jié)構(gòu)化圖形式進行高效存儲的過程。在微積分知識圖譜構(gòu)建中，選擇恰當?shù)拇鎯ぞ哂葹橹匾?，RDF（資源描述框架）和圖數(shù)據(jù)庫（例如Neo4j）是兩種常用存儲選擇。RDF以三元組形式將知識存儲在關(guān)系數(shù)據(jù)庫中，這種方式簡潔明了，尤其適用于小規(guī)模數(shù)據(jù)集。而圖數(shù)據(jù)庫則以圖形式直接存儲數(shù)據(jù)，支持高效圖查詢和搜索操作，非常適合處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集。在存儲過程中，深入考慮數(shù)據(jù)索引優(yōu)化和查詢效率等關(guān)鍵問題，以確保知識圖譜的性能。

3 微積分知識圖譜實踐應用

3.1 教學輔助

微積分知識圖譜作為一種教學輔助工具，能夠提升學生對微積分知識的理解與掌握。在傳統(tǒng)教學方式中，學生通常需要面對大量抽象的概念、定理與公式，往往難以厘清知識之間的關(guān)系。而微積分知識圖譜通過可視化形式，將知識點之間的聯(lián)系及整體框架清晰地展現(xiàn)出來，使學生能夠直觀地了解微積分知識的層次結(jié)構(gòu)和內(nèi)在關(guān)聯(lián)。這種直觀的展示方式不僅有助于增強學生記憶的效果，還能夠促使其在學習過程中形成更為系統(tǒng)的思維模式。

通過微積分知識圖譜，學生可以快速識別出基本概念、核心定理以及它們之間的關(guān)系。例如，學生在學習導數(shù)時，可以看到它與切線、速度、變化率等概念的聯(lián)系；在學習積分時，能夠意識到其與面積、累積和反導數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系。這樣的知識組織方式讓學生在掌握具體知識點的同時，也能夠建立起對整個知識體系的全面理解，提高學習效率與效果。

教師利用微積分知識圖譜進行精準教學，以滿足不同學生的學習需求。如對基礎(chǔ)較弱的學生，可以著重強調(diào)對基本概念的理解；對進階需求較高的學生，引導其探討微積分的高級應用和理論。這種個性化教學策略能提高學生的學習興趣和積極性，幫助他們在微積分學習中獲得更好的體驗。

3.2 學科交叉融合

微積分作為理工科的基礎(chǔ)課程，與眾多學科之間存在緊密而深刻的聯(lián)系。而微積分知識圖譜能夠幫助揭示微積分與其他學科之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進不同學科交叉融合，實現(xiàn)更為全面和系統(tǒng)的知識學習。

通過整合不同學科的知識資源，微積分知識圖譜呈現(xiàn)出一個跨學科的知識網(wǎng)絡。例如，在物理學中，微積分是描述運動、力和能量變化的重要工具；在經(jīng)濟學中，微積分則被廣泛應用于邊際收益和成本分析研究中。將這些跨學科應用整合到知識圖譜中，學生可以在學習微積分的同時，看到其在實際問題中的應用場景，從而激發(fā)學習興趣和探索欲望。跨學科知識圖譜能夠幫助學生理解微積分如何有效地解決現(xiàn)實世界中的復雜問題，促進其對數(shù)學應用意義的深入思考。

微積分知識圖譜構(gòu)建有助于激發(fā)學生的創(chuàng)新思維。通過觀察不同學科間的聯(lián)系與融合，學生不僅能夠獲得更廣闊的視野，還能夠在面對跨學科問題時，靈活運用所學知識，找到更為有效的解決方案。這種跨學科思維方式將為學生未來的學術(shù)研究、職業(yè)發(fā)展提供重要支持。

3.3 智能問答與推薦系統(tǒng)

微積分知識圖譜的應用范圍不僅限于教育教學領(lǐng)域，它在智能問答系統(tǒng)和推薦系統(tǒng)中的潛力同樣巨大。

首先，智能問答系統(tǒng)可以利用微積分知識圖譜中的詳細實體和關(guān)系信息，精準地回答用戶的問題。通過自然語言處理技術(shù)，智能問答系統(tǒng)能夠理解學生提出的問題，并在知識圖譜中迅速查找相關(guān)概念、定理及其相互關(guān)系。例如，當學生詢問“如何應用微積分解決物理中的速度問題”時，系統(tǒng)不僅可以提供微積分的基本知識，還能鏈接到相關(guān)的物理概念，這種基于知識圖譜的智能問答機制，可以減少學生在學習過程中遇到的迷茫與困擾，使他們在短時間內(nèi)獲得準確的信息和指導，從而加快學習進度。

其次，推薦系統(tǒng)則能夠根據(jù)用戶學習歷史和興趣偏好，個性化地推薦相關(guān)微積分知識點和學習資源。通過分析學生的學習習慣與成績表現(xiàn)，推薦系統(tǒng)能夠識別出學生在微積分學習過程中存在的薄弱環(huán)節(jié)。例如，若系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)某位學生在積分的相關(guān)題目上表現(xiàn)較差，它可以主動推薦相關(guān)補習資料、視頻教程或練習題，從而幫助學生在不足領(lǐng)域獲得強化訓練。同時，推薦系統(tǒng)還可以針對學生學習興趣提供更符合其需求的深度學習資源，激發(fā)其進一步學習的熱情。

微積分知識圖譜不僅豐富了智能問答和推薦系統(tǒng)的功能，還為學生提供一種靈活、自主和個性化學習體驗。這種綜合應用不僅能提高學習效率，讓學生在短時間內(nèi)獲得豐富的知識，還能增強學習的趣味性，提升了用戶滿意度。最終，這些創(chuàng)新性應用將推動教育技術(shù)的進一步發(fā)展，促進教育資源智能化、個性化配置，為學生創(chuàng)造一個更為高效和友好的學習環(huán)境。

4 未來展望

隨著知識圖譜技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，微積分知識圖譜的構(gòu)建將會面臨更多的機遇和挑戰(zhàn)。未來，可以從以下幾個方面進行探索和實踐：①深化技術(shù)融合。將自然語言處理、機器學習等先進技術(shù)應用于微積分知識圖譜的構(gòu)建中，提高知識抽取和融合的準確性和效率。②拓展應用場景。將微積分知識圖譜應用于更多的教學場景和學習平臺中，為廣大學生提供更加個性化和智能化的學習體驗。

③促進學科交叉。加強微積分與其他學科的交叉融合研究，構(gòu)建跨學科的知識圖譜體系，推動學科交叉融合的發(fā)展。④加強國際合作。加強與國際學術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界的合作與交流，共同推進微積分知識圖譜技術(shù)的發(fā)展和應用。

5 結(jié)論

微積分知識圖譜的構(gòu)建是一個復雜而系統(tǒng)的工程，需要綜合運用多種技術(shù)和方法。通過本文的探索實踐，初步構(gòu)建了微積分知識圖譜的基本框架和關(guān)鍵技術(shù)實現(xiàn)路徑。未來，將繼續(xù)深化技術(shù)研究、拓展應用場景、促進學科交叉和加強國際合作，為微積分教學改革和創(chuàng)新貢獻更多力量。

★基金項目：2023年教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目（230702728120433）；2023年榆林學院本科教育教學改革研究項目（JG2343）。

參考文獻

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梁勇鋒.AI引擎助力下高等數(shù)學課程知識圖譜建設研究[J].西藏教育，2024（1）：47-50，64.