摘" 要：“雞兔同籠”作為古代經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，在小學(xué)階段借助直觀畫圖法、列表法得以解決，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)思維與運算能力.初中階段用方程法和函數(shù)法等代數(shù)方法深入求解，提升學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在教學(xué)實踐中，通過引導(dǎo)學(xué)生從小學(xué)的直觀經(jīng)驗過渡到初中的抽象思維，先讓學(xué)生回顧小學(xué)算術(shù)解法，再逐步引入方程法和函數(shù)法，鼓勵學(xué)生自主探究不同解法間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程.這種以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)實踐，助力學(xué)生平穩(wěn)完成小初數(shù)學(xué)銜接，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞： 核心素養(yǎng)；小初銜接；雞兔同籠

基金項目：

福建省教育科學(xué)規(guī)劃辦2023年度立項課題“從教走向?qū)W：初中數(shù)學(xué)‘閱讀·思考·表達’能力培養(yǎng)的路徑研究”（項目編號：FJJKZX23-144）；2024年福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題“從教走向?qū)W：基于思維可視化的數(shù)學(xué)整體教學(xué)實踐”（項目編號：MJYKT2024-168）.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版新課標”）在“課程實施”部分明確指出：“核心素養(yǎng)是在長期的教學(xué)過程中逐漸形成的，核心素養(yǎng)在不同學(xué)段的主要表現(xiàn)體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的階段性和各個階段之間的一致性.”［1］小學(xué)、初中不同階段的教材中常常設(shè)置相同的知識內(nèi)容或者主題材料，其目的就是讓教師在該主題教學(xué)的時候，能夠厘清知識內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)，從核心素養(yǎng)表現(xiàn)的內(nèi)涵入手，結(jié)合學(xué)生年齡、心理特點和認知發(fā)展規(guī)律，選擇相應(yīng)的解決問題的方法和教學(xué)手段.

本文以古代經(jīng)典數(shù)學(xué)問題“雞兔同籠”為例，以核心素養(yǎng)的模型思想為主要載體，具體在小初銜接教學(xué)中聚焦于核心素養(yǎng)表現(xiàn)、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)生學(xué)習(xí)路徑等四個一致性路徑來進行學(xué)科教學(xué)實踐.

1" 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的小初銜接教學(xué)理論基礎(chǔ)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)要求教師必須具有一致性理念.教師要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的一致性，厘清小學(xué)、初中前后關(guān)聯(lián)的知識內(nèi)容之間存在著本質(zhì)相通的原理，就是所謂的“通性”，還要求關(guān)注內(nèi)容學(xué)習(xí)的基本路徑及知識內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想方法的一致性，也就是所謂的“通法”.“雞兔同籠”在小學(xué)、初中重復(fù)出現(xiàn)，目的是培養(yǎng)學(xué)生的模型思想.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）將模型思想界定為“是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”.［2］2022版新課標則將“模型思想”細化為兩個模塊，分別為“模型意識”與“模型觀念”.［3］小學(xué)階段側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的“模型意識”，重點在于對數(shù)學(xué)模型有一個初步的認識和感悟，以及運用；初中階段側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的“模型觀念”，重點在于對數(shù)學(xué)模型認識的進一步提升，能夠結(jié)合實際情境靈活運用模型.二者均是以“學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標.

2" 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的小初銜接教學(xué)實踐路徑

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的小初銜接教學(xué)，可以從核心素養(yǎng)表現(xiàn)的一致性、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一致性、數(shù)學(xué)思想方法的一致性、學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的一致性等四個方面來進行教學(xué)實踐.［4］在“雞兔同籠”主題教學(xué)設(shè)計時，根據(jù)不同教材的對比研究，發(fā)現(xiàn)在小學(xué)階段中低學(xué)段所采用的方法有畫圖法、列表法；小學(xué)中高學(xué)段采用靈活列表法（逐一列舉、取中值列舉、跳躍列舉）、假設(shè)法、面積法；初中階段采用方程法、函數(shù)法.通過這些內(nèi)容的教學(xué)最終培養(yǎng)學(xué)生模型意識和模型觀念. 三個階段同一主題下的教學(xué)，從小初銜接的四個實踐路徑來分析，具體呈現(xiàn)如表1所示.

3" “雞兔同籠”主題下的小初銜接教學(xué)設(shè)計

本課時教學(xué)內(nèi)容選自北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊》第五章《二元一次方程組》的內(nèi)容，本節(jié)課為章復(fù)習(xí)課，班級學(xué)生整體水平較高，思維活躍.教學(xué)設(shè)計采用任務(wù)驅(qū)動下的問題教學(xué)，共設(shè)計5個任務(wù)，9個問題，包含在大問題下設(shè)置不同的追問，旨在引導(dǎo)學(xué)生走向更深的思考，通過對比提煉出小初銜接的內(nèi)容本質(zhì)和通性通法.

任務(wù)1：古典問題，多種解法.

原題" 我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？ ”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？

問題1" 針對“雞兔同籠”這個經(jīng)典問題，你還記得小學(xué)階段曾經(jīng)采用過哪幾種方法來解決這個問題呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)學(xué)生有以下四種代數(shù)解法：①假設(shè)全是雞；②假設(shè)全是兔；③假設(shè)腳減半；④枚舉法.這四種解法均為學(xué)生小學(xué)已經(jīng)學(xué)過的方法，具體解法和詳細過程本文不再贅述.

【設(shè)計意圖】本節(jié)課以中國經(jīng)典的“雞兔同籠”問題引入課題，為算術(shù)法和二元一次方程組之間的微妙關(guān)系埋下伏筆.不同層次的學(xué)生可以根據(jù)自己的水平層次采用不同的方法來解決問題，在后續(xù)分享過程中，全體學(xué)生可以達到一個相對均衡的高度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強學(xué)生的文化自信.

問題2" 如果設(shè)雞有x只，則兔有（" ）只（用含x的代數(shù)式表示），若用一元一次方程解決這個問題，則可以得到方程（" ），解這個方程可得x=（" ），則兔有（" ）只.

【設(shè)計意圖】作為復(fù)習(xí)課，學(xué)生對問題中的數(shù)量關(guān)系已經(jīng)有了較為充分的認識.教師通過填空題形式引導(dǎo)學(xué)生運用一元一次方程去解決問題，讓學(xué)生充分感受一元一次方程與算術(shù)法的關(guān)聯(lián)，也為后面的二元一次方程組進行類比作好鋪墊.

問題3" 若設(shè)雞有x只，兔有y只，請先填寫表2，然后列二元一次方程組解決這個問題.

分析：新授課和復(fù)習(xí)課的重點均是找等量關(guān)系，即雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=35，雞腳數(shù)+兔腳數(shù)=94，以及隱含的等量關(guān)系，即腳的總數(shù)=兔的只數(shù)×4+雞的只數(shù)×2.

解析：由題意得二元一次方程組x+y=35，①

2x+4y=94.②

【設(shè)計意圖】由用一元一次方程解決問題過渡到用二元一次方程組解決問題，作為章復(fù)習(xí)課的設(shè)計，直接設(shè)兩個不同未知數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從二元一次方程組的視角去分析和解決問題，凸顯本章的核心知識“二元一次方程組及其解法”.

任務(wù)2：解方程組，整合知識.

問題4" 在運用消元法解該方程組的過程中，對比前面的小學(xué)算術(shù)法，你是否發(fā)現(xiàn)它們之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)？

追問1" 對比消元法與一元一次方程法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)聯(lián)？

解析：由①得x=35-y ③，把③代入②得2×（35-y）+4y=94，y=12.把y=12代入③得x=23.

【設(shè)計意圖】本題實際上延續(xù)了小學(xué)的假設(shè)法，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程從小學(xué)到初中是一脈相承的.初中階段是把“雞”或“兔”假設(shè)成一個未知數(shù)x或y，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的符號意識，凸顯了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題也考查了數(shù)學(xué)建模意識，用數(shù)學(xué)語言清晰、準確地表達建模的過程，比小學(xué)階段的認識深入一些.同時，教給了學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角分析問題，用數(shù)學(xué)的方式去思考問題.

追問2" 對比消元法中的①×2與假設(shè)全是雞兩種方法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)聯(lián)？

解析：由①×2得2x+2y=70④.②-④得（2x+4y）-（2x+2y）=94-70，化簡得2y=24，即y=12.把y=12代入①得x=23.

【設(shè)計意圖】受假設(shè)法的啟發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生將該算術(shù)法的思想遷移到解二元一次方程組中，即擴大①式未知數(shù)x的系數(shù)，使得兩式中未知數(shù)x的系數(shù)相同，兩式相減消去x，將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”進行求解.

追問3" 對比消元法①×4與假設(shè)全是兔兩種方法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)聯(lián)？

解析：由①×4得4x+4y=140⑤.

⑤-①得（4x+4y）-（2x+4y）=140-94，化簡得2x=46，即x=23.把x=23代入①得y=12.

【設(shè)計意圖】與追問2一樣，擴大①式未知數(shù)y的系數(shù)，使得兩式中未知數(shù)y的系數(shù)相同，兩式相減消去y，也可以將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”進行求解.

追問4" 對比消元法②÷2與假設(shè)腳減半兩種方法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)聯(lián)？

解析：由②÷2得x+2y=47⑥.⑥-①得（x+2y）-（x+y）=47-35，化簡得y=12.把y=12代入①得x=23.

【設(shè)計意圖】受“假設(shè)腳減半”的啟發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生將該算術(shù)法的思想遷移到解二元一次方程組中，即利用等式的性質(zhì)縮?、谑街形粗獢?shù)x的系數(shù)，使得兩式中未知數(shù)x的系數(shù)相同，兩式相減即可達到“消元”的目的.

任務(wù)3：數(shù)到字母，通性通法.

問題5" 請嘗試觀察“雞兔同籠”類型的問題本身具有什么結(jié)構(gòu)特點，用自己的語言描述你的發(fā)現(xiàn).

問題6" 請自行命制一道“雞兔同籠”類型的應(yīng)用題，然后列二元一次方程組進行解答.

追問1" 對于“雞兔同籠”類型的問題，你可否找到能夠列二元一次方程組的方法進行求解的一般性解法？

提示：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35（改為a）個頭，從下面數(shù)有94（改為b）只腳，問籠中各有幾只雞和兔（用含a和b的字母來表示）？

解析：根據(jù)題意可以列出方程組

x+y=a，

2x+4y=b.這里的字母a，b均為正整數(shù)，且滿足b大于2a且為偶數(shù).

同樣，可以根據(jù)消元法得到結(jié)果，x=2a-0.5b，y=0.5b-a.

追問2" 此處的雞和兔，還可以進行適當(dāng)?shù)奶鎿Q，經(jīng)常被替換的“雞兔”原型如表3所示.

【設(shè)計意圖】通過不同類型的練習(xí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生鞏固本章節(jié)復(fù)習(xí)的內(nèi)容和基本思想，抓住該類問題的本質(zhì)特征來解決實際問題.提煉出該類問題的一般模型和建構(gòu)一般觀念下解決該類方程的基本套路.

任務(wù)4：變化過程，函數(shù)表達.

問題7" 除了前面幾種方法求解問題，小學(xué)階段我們還采用列表法來解決“雞兔同籠”的問題，下面是班級某一位同學(xué)的列表數(shù)據(jù)（見表4）.

根據(jù)上面的列表過程，你可以用函數(shù)法來求解本題嗎？

分析：在小學(xué)學(xué)習(xí)階段我們是根據(jù)上面列表法（枚舉法）可知，從雞的只數(shù)為0，兔的只數(shù)為35開始，分別計算腳的總數(shù)為2×0+4×35=140，直到腳的總數(shù)出現(xiàn)94時，即為答案.到了初中，我們從列表中可以發(fā)現(xiàn)有以下兩個規(guī)律.

（1）雞的只數(shù)每增加1時，兔的只數(shù)就減少1，這個變化過程是有規(guī)律可循的，而且這個變化限定在35的范圍內(nèi)，也就是雞兔總數(shù)為35只，來控制整個變化過程.

（2）腳的總數(shù)變化也是有規(guī)律可循的，隨著雞的只數(shù)每增加1時，腳的總數(shù)隨之減少2，這個變化是可以用函數(shù)來表示的.這個變化符合函數(shù)的三個要素，雞兔腳的總數(shù)隨雞的只數(shù)變化，這個變化過程中兩個變量，雞的只數(shù)確定時，腳的總數(shù)隨之有唯一確定的值與之相對應(yīng)，所以雞兔腳的總數(shù)是關(guān)于雞的只數(shù)的函數(shù).

解法一：若設(shè)腳的總數(shù)為y，雞的只數(shù)為x，則這個變化規(guī)律可以用一次函數(shù)y=-2x+140（0≤x≤35，且x為整數(shù)）來表達.因為腳的總數(shù)為94，即y=94代入這個函數(shù)解析式

即可得到x=23，則兔的只數(shù)為35-23=12.

解法二：根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系可以直接得到，設(shè)雞為x只，則兔為（35-x）只，腳的總數(shù)y=2x+4（35-x），經(jīng)過化簡可以得到y(tǒng)=-2x+140（0≤x≤35，且x為整數(shù)）.

解法三：針對部分理解困難的學(xué)生，先由變化規(guī)律發(fā)現(xiàn)是一次函數(shù)，設(shè)解析式為y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0），用待定系數(shù)法即可求解.

【設(shè)計意圖】學(xué)生在小學(xué)經(jīng)歷過列表法來尋找答案的過程，訓(xùn)練學(xué)生直觀感知能力和邏輯推理能力，但是對于雞兔總數(shù)比較大的情況會顯得相對比較復(fù)雜.初中階段學(xué)生通過變量之間的關(guān)系、一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)知道列表本身就是函數(shù)表達的一種重要方式，所以根據(jù)列表求函數(shù)解析式，再解決相應(yīng)的問題就順理成章.

任務(wù)5：課堂小結(jié)，分享收獲.

問題8" 結(jié)合“雞兔同籠”問題，你認為小學(xué)和初中的學(xué)習(xí)過程中最大的不同點在什么地方？

問題9" 從方程與函數(shù)關(guān)系角度出發(fā)，談?wù)勍ㄟ^本節(jié)課學(xué)習(xí)你有哪些收獲.

【設(shè)計意圖】 通過課堂小結(jié)進行反思和總結(jié)小學(xué)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同點，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高，形成系統(tǒng)的單元結(jié)構(gòu)化的知識框架，小初銜接從知識到方法，從思想到能力培養(yǎng)，從常量到變量，通過本節(jié)課學(xué)生再次體會從代數(shù)式到方程再到函數(shù)的內(nèi)在一致性，在學(xué)習(xí)過程中滲透大單元教學(xué)的理念.

4" 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的小初銜接教學(xué)思考

數(shù)學(xué)小初銜接教學(xué)的切入點很多，除了緊扣核心素養(yǎng)表現(xiàn)的一致性、教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一致性、數(shù)學(xué)思想方法的一致性、學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的一致性四條路徑，教師還可以關(guān)注以下幾個方面的問題.

4.1" 關(guān)注小初相同主題內(nèi)容的銜接教研

小初銜接教學(xué)可以從教材內(nèi)容作為切入點，選擇小學(xué)和初中都有的主題，結(jié)合這些主題背后所表達的編寫意圖，特別是核心素養(yǎng)在小學(xué)和初中的表現(xiàn)形式，以及背后所蘊含的基于“三會”的本質(zhì).除了“雞兔同籠”，還有“楊輝三角”“尋找規(guī)律”“三角形內(nèi)角和為180°”“四邊形和特殊的四邊形”等相關(guān)主題和內(nèi)容，可以嘗試用主題式教研的方式，讓小學(xué)教師和初中教師就同一個主題內(nèi)容進行教學(xué)展示.通過這樣的教研活動才能真正讓小學(xué)、初中教師近距離地了解彼此，走進對方.

4.2" 明確核心素養(yǎng)導(dǎo)向的整體教學(xué)目標

“雞兔同籠”這一主題，在小學(xué)和初中教材都有多次重復(fù)出現(xiàn)，需要教師在教學(xué)中根據(jù)核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性，清晰核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，確定以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的單元教學(xué)目標，從核心素養(yǎng)表現(xiàn)的整體性和階段性出發(fā)，制定不同學(xué)段的教學(xué)目標，最終實現(xiàn)相同主題育人和核心素養(yǎng)落地的目標.

4.3" 用任務(wù)驅(qū)動的問題推動課堂教學(xué)實施

在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的整體教學(xué)目標明晰的基礎(chǔ)上，教學(xué)必須落實到每一個課時，在每節(jié)課的教學(xué)實施過程中，需要把目標分解為不同的任務(wù)，采用任務(wù)驅(qū)動的問題教學(xué)法，通過設(shè)置情境、布置任務(wù)、提出問題，并且不斷追問的方式把學(xué)生的思維引向深處，在學(xué)生獨立思考，團隊合作，師生問答等活動中讓思維在課堂上真實可見，學(xué)生的思維生長在課堂上真實發(fā)生.

參考文獻

［1］［3］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［4］ 段振富，林茜.一致性視角下的函數(shù)主題教學(xué)的思路、結(jié)構(gòu)與實踐——以人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)“冪函數(shù)”為例［J］.福建基礎(chǔ)教育研究，2024（4）：49-52.