摘"要：在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，優(yōu)化教學(xué)模式以提升教學(xué)效果，是我們需要持續(xù)探索與實(shí)踐的課題，也是當(dāng)前高等教育教學(xué)改革的一個(gè)重要方向。本文闡述了問題教學(xué)法的內(nèi)涵以及將其實(shí)施在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，并以判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性為例，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)置一系列問題，通過對(duì)這些問題的分析和解決，讓學(xué)生充分理解并掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定方法，還深入討論了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施問題教學(xué)法時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)，以便更好地提升教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：問題教學(xué)法；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)改革與實(shí)踐；正項(xiàng)級(jí)數(shù)

中圖分類號(hào)：O193""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The"Implementation"and"Practical"Application"of"The

ProblemBased"Teaching"Method"in"Advanced"Mathematics"Education

Wang"Pan

School"of"Science"Xuchang"University"HenanXuchang"461000

Abstract：In"the"teaching"of"advanced"mathematics，optimizing"the"teaching"mode"to"enhance"the"teaching"effect"is"a"subject"we"need"to"continue"to"explore"and"practice，and"it"is"also"an"important"direction"of"the"current"teaching"reform"in"higher"education.This"article"initiates"by"elucidating"the"fundamental"concepts"of"the"problembased"teaching"approach"and"the"significance"of"its"implementation"in"the"teaching"of"advanced"mathematics.It"employs"the"analysis"of"convergence"for"positiveterm"series"as"a"demonstration，guiding"students"in"constructing"a"series"of"questions，which，through"their"examination"and"resolution，enables"them"to"fully"grasp"and"internalize"the"methods"for"assessing"the"convergence"of"such"series.Finally，this"article"thoroughly"examines"the"essential"aspects"to"be"mindful"of"when"employing"problembased"teaching"in"advanced"mathematics，with"the"ultimate"goal"of"improving"both"teaching"standards"and"efficiency.

Keywords：Problembased"Teaching"Method；Advanced"Mathematics；Teaching"Reform"and"Practice；PositiveTerm"Series

高等數(shù)學(xué)作為理工科高校專業(yè)必修課程，其主要目的是幫助學(xué)生掌握分析、演算以及推理等方面的知識(shí)和技能，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力，且為學(xué)生未來的工作和研究奠定了深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為他們的職業(yè)發(fā)展提供了有力的支持。然而，通過對(duì)一些理工科高等數(shù)學(xué)課程的課堂調(diào)研結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程時(shí)仍然面臨較多的問題和挑戰(zhàn)［1］。這些問題的根源在于，傳統(tǒng)的教學(xué)模式和教學(xué)方法往往過于注重知識(shí)的傳授和技能的訓(xùn)練，而忽視了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這對(duì)于高校培養(yǎng)應(yīng)用型人才來說是非常不利的。因此，如何提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，使學(xué)生能夠獲得有利于未來發(fā)展的學(xué)習(xí)能力和思維方式，已成為高等數(shù)學(xué)教育研究的重要課題［23］。

1"問題教學(xué)法的內(nèi)涵和意義

問題教學(xué)法是一種教學(xué)方法，它通過將教材知識(shí)以問題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在問題中自主收集信息，提出假設(shè)問題并分析問題，在此基礎(chǔ)之上，提供解決問題的方案進(jìn)行評(píng)估和改進(jìn)，從而使學(xué)生更好地理解和掌握教材知識(shí)，提高他們的問題解決能力和綜合素質(zhì)。問題教學(xué)法不僅符合知識(shí)傳承和創(chuàng)新的要求，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)需求，因此，在教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用［45］。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用問題教學(xué)法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，能夠改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，使學(xué)生在參與和互動(dòng)中學(xué)到知識(shí)。同時(shí)，該教學(xué)方法還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，使學(xué)生在解決問題的過程中不斷提高自己的綜合素質(zhì)［69］。

2"問題教學(xué)法在教學(xué)中的應(yīng)用——以判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為例

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是由無窮多個(gè)相同的數(shù)項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是其中一種特殊的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其所有的數(shù)項(xiàng)都是大于零的。在常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法中，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法是一種非常重要的方法，它可以幫助我們判斷一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，以及收斂的速度如何。此外，正項(xiàng)級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)、收斂半徑計(jì)算等方面也有廣泛的應(yīng)用。因此，正項(xiàng)級(jí)數(shù)在常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中具有非常重要的地位，它不僅是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一種特殊形式，而且在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于給定一正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un，該如何判斷其斂散性。若limn→∞un≠0，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，該級(jí)數(shù)必發(fā)散，因此下文考慮的正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足limn→∞un=0。

問題1：能否利用級(jí)數(shù)收斂的定義來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un的斂散性？

例1：判斷級(jí)數(shù)∑∞k=11n（n+2）是否收斂。

解：該級(jí)數(shù)顯然是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?/p>

sn=11·2+12·3+…+1n（n+1）

=1-12+12-13+…+1n-1（n+1）

=1-1（n+1），

從而limn→∞sn=limn→∞1-1（n+1）=1，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義可知，級(jí)數(shù)∑∞k=11n（n+2）收斂。

由例1可以看出，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義來判斷級(jí)數(shù)的斂散性，實(shí)際上需要求出級(jí)數(shù)的部分和的極限，但對(duì)于有些級(jí)數(shù)來說，其部分和的極限是不容易求出的，因此需要引入其他方法來判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

問題2：能不能根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un的特點(diǎn)來判斷其斂散性？

不妨假設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn=u1+u2+…+un，顯然部分和數(shù)列{sn}單調(diào)遞增，且有s1≤sn，根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則，若能找到數(shù)列{sn}的上界，則數(shù)列收斂，從而得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un亦收斂。反過來，若正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂，易得部分和數(shù)列{sn}有界。這樣一來，我們就得到了正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)基本定理，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un亦收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列{sn}有界。若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列無上界，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un必發(fā)散。這樣一來，將研究正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題轉(zhuǎn)化為更簡單的研究部分和數(shù)列有界性的問題。

例2：判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=01n！是否收斂。

解：因?yàn)?/p>

sn=1+1+12！+13！+…1（n-1）！

≤2+11·2+12·3+…1（n-2）·（n-1）

≤2+（1-12）+（12-13）+…（1n-2-1n-1）

≤3-1n-1

≤3，

所以該級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{sn}有界，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=01n！收斂。

利用基本定理判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的關(guān)鍵在于找出部分和數(shù)列的上界，但在實(shí)際計(jì)算中，由于所考慮級(jí)數(shù)的復(fù)雜性，該方法往往會(huì)不太適用。

問題3：能不能通過比較正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un與已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)來確定其斂散性？

設(shè)∑∞n=1un和∑∞n=1vn是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，存在正整數(shù)N和正常數(shù)k，對(duì)任意的n≥N時(shí)，都有un≤kvn，借助正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理，可得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法：若∑∞n=1vn收斂，∑∞n=1un亦收斂；若∑∞n=1un發(fā)散，∑∞n=1vn亦發(fā)散。若我們只關(guān)心部分和極限的情況，可以將比較判別法用其極限形式給出。由比較判別法到比較判別法的極限形式，降低了找到合適級(jí)數(shù)的難度，即從“找到二者的大小關(guān)系”到“找到近似等價(jià)形式”（也就是從＜到～），可操作性提高，因而極限形式在運(yùn)用中更顯得方便。

例3：判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1sin2nπ53n是否收斂。

解：因?yàn)閟in2nπ53n≤13n，而級(jí)數(shù)∑∞n=113n收斂，故級(jí)數(shù)∑∞n=1sin2nπ53n是收斂。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的基本思想是通過比較已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)與待判斷級(jí)數(shù)的項(xiàng)，來推斷待判斷級(jí)數(shù)的收斂性。在使用比較判別法時(shí)，先要對(duì)所考慮的級(jí)數(shù)的收斂性有一個(gè)大致的估計(jì)，進(jìn)而找到一個(gè)斂散性已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，通過比較待判斷級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)與選擇的比較級(jí)數(shù)的相應(yīng)項(xiàng)，最終得到待判斷級(jí)數(shù)的斂散性。但要另外找到一個(gè)適當(dāng)?shù)恼?xiàng)級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)，在實(shí)際生活中往往不是一件輕而易舉的事情。

問題4：能不能通過正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un的一般項(xiàng)來確定其斂散性？

基于比較判別法，將等比級(jí)數(shù)取做比較級(jí)數(shù)，即可得到達(dá)朗貝爾比值判別法與柯西根值判別法。該兩種方法直接用待判級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)構(gòu)造判別式，不必另找比較級(jí)數(shù)，只需研究這個(gè)判別式就可判定級(jí)數(shù)的斂散性。

例4：判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂。

（1）∑∞n=1n！3n2""""（2）∑∞n=12n4n+13n

解：（1）因?yàn)閡n=n！3n2，且limn→∞un+1un=limn→∞（n+1）！3（n+1）2·3n2n！=limn→∞n+132n+1=0＜1，所以由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級(jí)數(shù)∑∞n=1n！3n2收斂。

（2）因?yàn)閡n=2n4n+1，且limn→∞nun=limn→∞n2n4n+13n=limn→∞2n4n+13=18＜1，所以由柯西根值判別法知，級(jí)數(shù)∑∞n=12n4n+13n收斂。

在實(shí)際計(jì)算中，如果數(shù)列通項(xiàng)出現(xiàn)連乘（比如階乘）、冪的形式或者相除可以約分的分式，此時(shí)比式形式可以約分，容易求極限，這時(shí)候使用達(dá)朗貝爾比值判別法比較好；如果數(shù)列通項(xiàng)出現(xiàn)n次方的時(shí)候用柯西根值判別法比較方便。從理論上來說，凡是能用達(dá)朗貝爾比值判別法判斷其斂散性的級(jí)數(shù)，必定也能用柯西比值判別法來判斷其斂散性，但反之不成立。對(duì)于比值法與根值法失效的情形，其級(jí)數(shù)的斂散性應(yīng)另尋他法加以判定，通常是構(gòu)造更精細(xì)的比較級(jí)數(shù)。

問題5：能不能利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法來判斷一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性？

例5：判斷下列級(jí)數(shù)∑∞n=1n105ncosnπ6是否收斂。

解：因?yàn)閚105ncosnπ6≤n105n，且對(duì)于級(jí)數(shù)∑∞n=1n105n而言，limn→∞（n+1）105n+1·5nn10=limn→∞15·n+1n10=15＜1，所以由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級(jí)數(shù)∑∞n=1n105n收斂，故級(jí)數(shù)∑∞n=1n105ncosnπ6收斂且絕對(duì)收斂。

在上述例題中，為了判定所求級(jí)數(shù)的斂散性，同時(shí)用到了比較判別法和達(dá)朗貝爾比值判別法。實(shí)際計(jì)算中可能需要結(jié)合多種方法，或者使用數(shù)值方法來驗(yàn)證結(jié)果，特別是對(duì)于復(fù)雜的級(jí)數(shù)。

通過對(duì)以上問題的分析和解答，在解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性問題時(shí)，我們可以根據(jù)下面的步驟進(jìn)行：

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定方法圖

以上5個(gè)問題的設(shè)計(jì)是層層遞進(jìn)的關(guān)系，通過帶領(lǐng)學(xué)生解決這些問題，使學(xué)生在解決問題的過程中對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷方法有了更深入的理解，為學(xué)生解決其他級(jí)數(shù)斂散性問題提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3"問題教學(xué)法在教學(xué)中的注意事項(xiàng)

通過上節(jié)應(yīng)用可以看出，在教學(xué)過程中應(yīng)用問題教學(xué)法，需要考慮到學(xué)生實(shí)際情況和問題之間的層次性，因此在問題教學(xué)法的應(yīng)用中，教師應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

（1）問題的設(shè)計(jì)：教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，盡可能避免生硬地將知識(shí)或技能灌輸給學(xué)生。因此，教師應(yīng)該設(shè)計(jì)針對(duì)學(xué)生實(shí)際情境相關(guān)的問題，問題的難度不宜過大也不宜過小，應(yīng)適中，以便學(xué)生能夠在一定的時(shí)間內(nèi)完成，同時(shí)也能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性［1012］。

（2）問題的引導(dǎo)：教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過主動(dòng)收集信息、提出假設(shè)和問題、分析問題、提供解決方案并進(jìn)行評(píng)估和改進(jìn)，積極參與學(xué)習(xí)過程。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，提出自己的觀點(diǎn)和想法，并通過與其他學(xué)生的交流和討論，不斷完善自己的解決方案。

（3）問題的解決：教師在解決問題時(shí)，應(yīng)該提供必要的指導(dǎo)和支持，促進(jìn)學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)和反思總結(jié)，幫助學(xué)生解決問題。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和交流，分享自己的解決方案和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生能夠獨(dú)立思考和解決問題。

（4）問題的評(píng)價(jià)：教師在評(píng)價(jià)學(xué)生的問題解決能力時(shí)，可以通過肢體語言進(jìn)行有效的評(píng)價(jià)鼓勵(lì)，增強(qiáng)學(xué)生的參與感和自信心。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和交流，分享自己的解決方案和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生能夠獨(dú)立思考和解決問題。

（5）問題的反思：教師在引導(dǎo)學(xué)生反思問題解決的過程和方法時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生反思問題解決的過程和方法，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，提高學(xué)生的問題解決能力。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和交流，分享自己的解決方案和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生能夠獨(dú)立思考和解決問題。

（6）問題的拓展：教師在拓展問題的范圍和深度時(shí)，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，拓展問題的范圍和深度，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和閱讀能力。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和交流，分享自己的解決方案和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生能夠獨(dú)立思考和解決問題。

（7）問題的應(yīng)用：教師在應(yīng)用問題教學(xué)法時(shí)，應(yīng)該將問題教學(xué)法應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中，高質(zhì)量地完成學(xué)科教學(xué)任務(wù)，訓(xùn)練學(xué)科能力與學(xué)科思維，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)。教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論和交流，分享自己的解決方案和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也應(yīng)該給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生能夠獨(dú)立思考和解決問題［13］。

綜上所述，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用問題教學(xué)法具有多種優(yōu)勢，它可以發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)和主動(dòng)精神，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力［14］。因此，教師需要在教學(xué)實(shí)踐中做到對(duì)問題教學(xué)法的深刻理解和認(rèn)識(shí)，并根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況以及在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)和反饋，及時(shí)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和調(diào)整教學(xué)策略和方法，以提高教學(xué)質(zhì)量和效率。

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基金項(xiàng)目：2021年度許昌學(xué)院教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目（XCU2021YB043）

作者簡介：王攀（1984—"），女，漢族，河南許昌人，博士研究生，講師，研究方向：微分方程。