摘" "要：利用Phyphox軟件可以研究中國古代音律，尋找十二音律，深入探討影響音調(diào)高低的因素?；诔踔形锢斫滩牡膶嶒?，進行跨學科拓展。在融入信息技術(shù)的同時，將中國傳統(tǒng)文化元素有效融入中學物理教學中。

關(guān)鍵詞：古代音律；實驗探究；Phyphox軟件；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）1-0078-6

《義務(wù)教育物理課程標準（2022年版）》提出，要將社會主義先進文化和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化等重大主題教育有機融入課程教學［1］。李春密等人指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為物理教學提供了重要的教育資源，有利于營造文化浸潤的課堂氛圍，是踐行核心素養(yǎng)培育的關(guān)鍵載體［2］。因此，需要積極開發(fā)適合的物理實驗教學資源，以提升中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的承載力。

各版本初中物理教科書中均采用“鋼尺振動”實驗來探究影響音調(diào)高低的因素。實驗過程大致如下：將鋼尺放在桌面上，一端伸出桌邊，然后撥動鋼尺，學生聽聲音并觀察振動的快慢；接著改變鋼尺伸出桌面的長度，確保振動幅度相同，再進行幾次實驗。該實驗簡單直觀地說明了振動頻率決定音調(diào)，但探究過程顯得過于粗糙，趣味性和應(yīng)用性也不強。

在物理實驗中融入現(xiàn)代信息技術(shù)，可以彌補傳統(tǒng)實驗的不足，同時提升學生的科學素養(yǎng)和技術(shù)素養(yǎng)［3］。本文利用Phyphox軟件研究中國古代音律，利用傳感器測量樂音的頻率變化，變“學生聽”為“學生測”，并將定性分析變?yōu)槎刻骄俊１緦嶒炞⒅亟虒W活動的跨學科性，適合作為初中物理的跨學科實踐項目。在具體實施時，需要基于“創(chuàng)設(shè)情境—解析情境—情境驅(qū)動—再情境化”的教學流程，引導學生在傳統(tǒng)文化氛圍中建構(gòu)并應(yīng)用知識。

1" " 創(chuàng)設(shè)情境——古代音律的歷史背景

據(jù)《考工記·磬氏》記載，人們最初采用“聽音”來調(diào)整石磬的厚薄，這樣的調(diào)音方法精度太低，需要更加科學的方法來確定樂器的音律［4］?！豆茏印さ貑T》中的“三分損益法”是我國有記載的最早的定律方法。管子及其學派用“三分損益法”求得五聲音階，后世又增添了“變徵”和“變宮”，拓展到七聲音階。殷商時期出土的五音孔陶塤已能發(fā)出11個不同音調(diào)的標準音，這證明早在公元前13世紀，我國就能確定半音和標準音，并建立了七聲音階［5］?！秴问洗呵铩ひ袈善吩敿毭枋隽恕叭謸p益法”，并提出了十二音律。然而，基于“三分損益法”的十二音律無法實現(xiàn)回宮轉(zhuǎn)調(diào)，因為它是一種不平均的律制［5］?！扒妩S”音的頻率并不是精確地比“黃鐘”音高兩倍，這兩個音律對應(yīng)的琴弦長度也無法精確滿足兩倍關(guān)系。直到明朝，朱載堉發(fā)明了十二平均律，求得音律間的等比關(guān)系，首次解決了十二音律無法回宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題［4］。西方古代采用的定律方法與“三分損益法”在數(shù)理上是相通的，統(tǒng)稱為“五度相生法”。以C音為宮音，現(xiàn)代國際上通用的音名與我國古代“五聲”“十二律”的對應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

2" " 解析情境——劃分音律的數(shù)理原理

2.1" " 中國古代劃分音律的數(shù)學方法

“三分損益法”包含了“三分損一”和“三分益一”兩種計算，前者通過將弦長乘以得到新的弦長，后者通過將弦長乘以來計算。“三分損益法”最早用于古代五聲音階的弦長比例計算?！妒酚洝ぢ蓵酚涊d了具體的計算方法：“九九八十一以為宮，三分去一，五十四為徵，三分益一，七十二以為商，三分去一，四十八以為羽，三分益一，六十四以為角”［6］。古人以宮音為最低音，對應(yīng)的弦長也是最長，記為81；先三分損一得到徵音，它的弦長為81×=54；再在前者基礎(chǔ)上三分益一得到商音，其弦長為54×=72；接著，三分損一得到羽音，其弦長為72×=48；最后，三分益一得到角音，其弦長為48×=64。按弦長由長到短排列，便得到了宮、商、角、徵、羽五聲音階，它們的弦長之比為81：72：64：54：48。我們?nèi)匀豢梢栽谖迓曇綦A的基礎(chǔ)上繼續(xù)應(yīng)用“三分損益法”，交替計算得到比例為81：72：64：54：48：42：57。弦長比例為57所對應(yīng)的音律本應(yīng)當使用三分損一得到下個音律，但為了控制所衍生出的音律都在一個八度音之內(nèi)，需要重復使用一次三分益一。此后，通過損益交替計算。按弦長由長到短排列，可得古代十二音律所對應(yīng)的弦長之比，如表1所示。

對比表中的“黃鐘”和“清黃”兩個音可知，用“三分損益法”得到的十二音律是一種不平均的律制，“清黃”音不能恰好比“黃鐘”音高八個音，對應(yīng)的弦長也無法滿足2：1的關(guān)系。明代朱載堉發(fā)明的“十二平均律”解決了這個問題，他以作為每兩個相鄰音律對應(yīng)的弦長之比［4］。數(shù)學上可表述為Ln+1= ?！笆骄伞笔沟枚煽梢詮娜魏我粋€音開始，解決了音差和不能回宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題。在計算各弦長的精確比例后，發(fā)現(xiàn)用“十二平均律”和“三分損益法”得到的兩組數(shù)據(jù)有驚人的巧合，但“十二平均律”更為精確。

2.2" " 弦樂器發(fā)出不同音律的物理依據(jù)

古希臘哲學家畢達哥拉斯最早通過實驗得出了琴弦定律：在固定弦的張力一定的情況下，弦的有效長度與其振動頻率成反比。公元17世紀，數(shù)學家梅森在前人的基礎(chǔ)上總結(jié)了琴弦振動的規(guī)律：琴弦振動的頻率與線密度成反比，與張力成正比，與琴弦的半徑成反比［7］。因此，理想情況下，琴弦振動的各次諧波頻率滿足公式fn=。其中， fn表示各次諧音的頻率，n為諧音序數(shù)，L為琴弦的有效長度，T為琴弦的張力，ρ為琴弦的線密度。

撥動琴弦后，琴弦會發(fā)生橫振動、縱振動、倍頻振動和扭轉(zhuǎn)振動等幾種振動。其中，縱振動、倍頻振動和扭轉(zhuǎn)振動的能量相較于橫振動要小得多，產(chǎn)生的諧波僅對聲音的音色產(chǎn)生影響［7］。在琴弦的橫振動過程中，占總弦長的各個分段琴弦也會進行橫振動，分別產(chǎn)生 n 次諧音。然而，這些諧音對音色的影響較大，真正決定聲音頻率高低的則是有效琴弦橫振動的頻率。

2.3" " 問題的提出與猜想

為什么古人通過改變弦長比例能夠發(fā)出十二個不同的音律？“天將雨，琴弦緩”“風雨之變可以知音律”，古人發(fā)現(xiàn)天氣會影響樂器的發(fā)聲。這可能是由于空氣濕度改變了弦上的張力，從而導致音調(diào)發(fā)生變化。因此，我們需要探究古代琴弦樂器發(fā)出不同音律的物理原因，這實際上是研究不同比例、長度、粗細和張力的弦在進行橫振動時頻率之間的關(guān)系。這可以通過測量對應(yīng)于十二個音律的十二個比例的弦所發(fā)出的聲音頻率來實現(xiàn)。

有效琴弦的橫振動頻率決定了聲音的頻率高低，而高次諧音并不影響最終聲音頻率的高低。因此，可以將琴弦振動的各次諧波頻率公式中的n賦值為1，從而得到理論頻率公式

f=（1）

當弦長L為自變量且不改變弦的張力和線密度時，弦的振動頻率應(yīng)與弦長成反比關(guān)系；當取為自變量時，弦的振動頻率應(yīng)與其成正比關(guān)系。此時， f與的函數(shù)圖像的斜率會隨著張力的增大而增大，隨著線密度的減小而減小。

3" " 情境驅(qū)動——物理實驗探究

在“解析情境”階段，學生對劃分音律的數(shù)理原理已有初步認知，自然會思考古代琴弦樂器發(fā)出不同音律的物理學原理。在學生提出問題并進行猜想后，教師應(yīng)引導學生將物理知識從傳統(tǒng)文化情境中抽象出來。在實驗探究過程中，學生能夠有效地建構(gòu)知識。

3.1" " 設(shè)計實驗目的

（1）了解古代音律學中的“三分損益法”和“十二平均律”，探究其與現(xiàn)代音律之間的關(guān)系。

（2）應(yīng)用“三分損益法”和“十二平均律”劃分弦長，利用Phyphox軟件測量聲音頻率，控制張力和線密度不變，探究弦長與橫振動頻率之間的關(guān)系。

（3）控制琴弦的線密度不變，改變張力，探究弦上張力與橫振動頻率之間的關(guān)系。

3.2" " 設(shè)計實驗方案

方案一：如圖2所示，將橡皮筋套在空心的塑料立方體盒子上。用記號筆在橡皮筋上分別標記“宮商角徵羽”對應(yīng)的弦長。用鑷子夾住標記處以控制有效弦長，然后用手撥動橡皮筋。接著，使用手機中Phyphox軟件的“歷史頻率”功能測量聲音頻率，如圖3所示。

方案二：如圖4所示，將尤克里里作為實驗工具。其左側(cè)有四個可調(diào)轉(zhuǎn)軸，能夠?qū)?yīng)琴弦上的張力。四根琴弦由不同粗細的尼龍材料制成。從圖4的側(cè)視圖中可以看到，尤克里里頸部的琴弦下貼合著十二條凸出的白色條紋。用卡尺向下輕按頸部的琴弦，使其緊貼條紋即可改變有效弦長。這樣的設(shè)計確保琴弦在按壓過程中形變量極小。與用鑷子改變弦長并測得的數(shù)據(jù)對比，這種按壓方式因增大張力引起的頻率測量誤差可控制在2 Hz以內(nèi)。

首先，標記十二個音律對應(yīng)的弦長位置，每次按壓標記位置以改變弦長。接著，用撥片在空腔位置輕撥琴弦，使用手機中的Phyphox軟件測量聲音頻率，然后對其他琴弦進行多次實驗。同樣，也可以改變同一根琴弦的張力，記錄不同弦長與聲音頻率的數(shù)據(jù)，作為對比實驗。

方案一的具體實驗數(shù)據(jù)如表2所示。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)點過少且誤差較大，原因在于所用橡皮筋過短，無法準確刻畫出十二個音律對應(yīng)的弦長，僅能對五聲音階的頻率進行初步測量。尤克里里模型作為實驗工具，更加便于改變弦長和張力的大小。因此，下面將采用方案二進行深入探究。

3.3" " 選取實驗器材

方案二的實驗器材簡單易得，包括尤克里里、刻度尺、安裝Phyphox軟件的智能手機、撥片和螺絲刀。

3.4" " 探究弦長與頻率的關(guān)系

尤克里里頸部琴弦下有十二條凸出的白色條紋，通過刻度尺測量頭部固定端與每一條白色條紋到尾部固定端的距離。根據(jù)上文提到的“三分損益法”和“十二平均律”的數(shù)學規(guī)律，計算得到對應(yīng)音律的理論弦長，如表3所示。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，測得的按板弦長與基于“三分損益法”的弦長理論值以及基于“十二平均律”的弦長理論值高度近似，這體現(xiàn)了西方音律與我國傳統(tǒng)音律之間的相通之處。

確保實驗在安靜的環(huán)境中進行，打開手機中Phyphox軟件的“歷史頻率”功能，平放尤克里里。左手固定樂器，右手用撥片輕輕撥動空腔上方的一號琴弦，確保手機采集到的數(shù)據(jù)點聚集成一條清晰的直線。導出數(shù)據(jù)即可獲得初始弦長振動的發(fā)聲頻率。在接下來的實驗中，左手使用卡尺等工具按壓琴弦至緊貼下方的凸出白色條紋，從而改變一號琴弦的有效弦長。右手撥動琴弦并記錄實驗數(shù)據(jù)。通過這種方法，可以依次測得十二條凸出白色條紋所對應(yīng)的有效弦長的發(fā)聲頻率，以用于探究十二音律對應(yīng)的音調(diào)關(guān)系。

對一號弦的實驗數(shù)據(jù)進行歸類，隨后更換為二、三、四號弦作為實驗對象，重復步驟實驗操作。

3.5" " 探究張力與頻率的關(guān)系

選擇同一根弦作為實驗對象，比如只使用一號弦做實驗，用螺絲刀松開樂器頭部旋鈕的螺絲，適當轉(zhuǎn)動一號弦對應(yīng)的旋鈕，調(diào)節(jié)弦上張力，再用螺絲刀固定螺絲，記此時旋鈕的位置為初始狀態(tài)，重復“探究弦長與頻率的關(guān)系”中的實驗操作，記錄實驗數(shù)據(jù)。

將位于初始狀態(tài)的一號弦對應(yīng)的旋鈕分別擰緊0.125圈、0.25圈、0.375圈以增大一號弦上的張力，分別重復“探究弦長與頻率的關(guān)系”中的實驗操作，記錄實驗數(shù)據(jù)。

3.6" " 數(shù)據(jù)分析與實驗結(jié)論

3.6.1" " “探究弦長與頻率的關(guān)系”數(shù)據(jù)分析

實驗以尤克里里不同粗細的四根弦作為研究對象，探究了其弦長與頻率之間的關(guān)系。為方便分析圖像，以弦長的倒數(shù)作為自變量，以振動發(fā)聲頻率作為因變量。四根弦實驗數(shù)據(jù)的線性擬合結(jié)果如圖5所示。

實驗中用四根弦獲得的數(shù)據(jù)均能較好地進行線性擬合，這一結(jié)果成功驗證了公式（1）：當弦長L為自變量，且不改變弦的張力和線密度時，弦的振動頻率應(yīng)與弦長成反比關(guān)系。此外，我們發(fā)現(xiàn)四個線性擬合圖像的斜率差異顯著，這說明弦的粗細和松緊程度也是影響弦振動發(fā)聲頻率的重要因素。

3.6.2" " “探究張力與頻率的關(guān)系”數(shù)據(jù)分析

弦的松緊程度反映了弦上張力的大小。本實驗僅以一號弦作為對象，成功控制了弦的線密度不變。如圖6所示，分別將一號弦對應(yīng)的旋鈕旋轉(zhuǎn)0.125圈、0.25圈和0.375圈后，所測得的增大弦上張力的情況下，十二條凸出的白色條紋所對應(yīng)的有效弦長的發(fā)聲頻率。在弦長相同的條件下，弦上張力的增大導致發(fā)聲頻率升高。經(jīng)過線性擬合后發(fā)現(xiàn)，對于同一根弦，增大張力使得函數(shù)圖像的斜率變大。這一現(xiàn)象符合理論頻率公式（1）所預測的結(jié)果：在控制弦的線密度不變的情況下，線性擬合函數(shù)圖像的斜率會隨著張力的增大而增大。

3.6.3" " 實驗誤差分析

從理論上講，當弦長縮短為原長的一半時，頻率應(yīng)恰好增加至原頻率的兩倍。然而，由于尤克里里本身的弦長誤差以及Phyphox軟件的測量誤差，一號弦的原弦長發(fā)出340.01 Hz的聲音，而最短的弦發(fā)出682.44 Hz的聲音，誤差為2.42 Hz，屬于合理的系統(tǒng)誤差。

根據(jù)理想弦頻率公式（1），當以為自變量時，弦的振動頻率應(yīng)與其成正比關(guān)系且截距應(yīng)為0。然而，通過擬合圖像可知，四根弦對應(yīng)數(shù)據(jù)的線性擬合函數(shù)的截距并不為0，且各自不同。造成這一誤差的原因是多方面的：四根弦本身的粗細和張力各不相同，實驗過程中撥動弦的手法和力度也不盡相同，最終導致數(shù)據(jù)處理結(jié)果存在較大的誤差。

4" " 再情境化——傳統(tǒng)文化的延伸與拓展

在這一階段中，教師可以選用其他關(guān)于音律的傳統(tǒng)文化情境來豐富學生的認知，同時可以補充現(xiàn)代科學對音律的一些新研究成果?！包S鐘”音是十二音律的標準基音，歷朝歷代的“黃鐘”音由皇室規(guī)定且各不相同。目前，國際上設(shè)定的標準音 A 為 440 Hz。確定標準基音后，其他音律則根據(jù)一定的律制生成。人們普遍認為，正是這些簡單的數(shù)學比率使和弦聽起來悅耳。然而，一項新發(fā)表于《自然·通訊》雜志的研究表明，人們實際上并不喜歡完美符合特定數(shù)學比率的和弦，而是更傾向于有輕微偏差的和弦［8］。

5" " 結(jié)" 語

現(xiàn)代信息技術(shù)為開發(fā)傳統(tǒng)文化教學資源提供了新的渠道。本文通過實驗，利用信息化手段描述了古代音律劃分的物理原理，將課程標準中強調(diào)的科學探究、科學論證能力與中國傳統(tǒng)文化的人文底蘊有機結(jié)合。這不僅增強了學生的文化自信，也促進了學生核心素養(yǎng)的全面培養(yǎng)。

在教學前，教師應(yīng)從核心素養(yǎng)出發(fā)，設(shè)計融入傳統(tǒng)文化的教學目標。例如，通過分析古人劃分十二音律的原理，基于Phyphox軟件探究琴弦的弦長、張力與頻率之間的關(guān)系，提升學生的科學探究能力。為營造文化浸潤的課堂氛圍，教師還需采用情境教學模式，通過多種表現(xiàn)形式，如聽樂曲、看視頻、讀故事等，來創(chuàng)設(shè)情境。隨后，從傳統(tǒng)文化中的音律規(guī)律和物理學中的弦振動原理兩個角度解析情境，使學生能夠發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。在情境驅(qū)動下，引導學生完成探究實驗，讓知識在情境中呈現(xiàn)。最后，教師應(yīng)引導學生在新情境中應(yīng)用所建構(gòu)的知識，實現(xiàn)對傳統(tǒng)文化的延伸與拓展。

參考文獻：

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［2］李春密，劉佳琪，王艷芳.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有機融入中學物理教學的關(guān)鍵問題及實施路徑［J］.物理教學探討，2024，42（4）：1-6.

［3］榮永勝.信息技術(shù)與初中物理教學整合的初步研究［J］.中國教育技術(shù)裝備，2015（15）：154-155.

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［7］袁威.不同彈撥力度下琵琶琴弦振動特性及聲學品質(zhì)的研究［D］.濟南：山東建筑大學，2022.

［8］Marjieh R， Harrison P M C，Lee，H，et al. Timbral effects on consonance disentangle psychoacoustic mechanisms and suggest perceptual origins for musical scales［J］.Nature Communications，2024，15（1）：1482.

（欄目編輯" " 賈偉堯）